2.1.1等式的性质与方程的解集课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 高中数学人教B版(2019)必修一 主讲人： 1 1．掌握等式的性质． 2．理解方程的解集 1．掌握等式的性质，会进行等式的恒等变换．(逻辑推理) 2．了解十字相乘法，会用十字相乘法分解因式．(数学运算) 3．理解方程的解集，会求简单方程的解集．(数学运算) 课标解读 素养目标 2 尝试与发现 1.初中学习过哪些等式的性质？ 2.用符号语言和量词表示上述等式的性质 1.对称性：如果a=b,那么b=a; 2.传递性：如果a=b,b=c，那么a=c 3.四则运算性质. (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式,等式仍成立; 符号语言：如果a=b,那么a+c=b+c (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 符号语言：果a=b,c≠0,那么ac=bc. 知识点一　等式的性质 3 尝试与发现 补全下列(1)(2)中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准: (1)a2-b2=(a+b)(a-b) (平方差公式); (2)(x+y)²=x2+2xy+y2 (两数和的平方公式); (3)3x-6=0; (4)(a+b)c=ac+bc; (5)m(m-1)=0; (6)t3+1=(t+1)(t2-t+1). 如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式(1)(2)(4)(6) 对任意实数都成立， 而等式(3)(5) 只是存在实数使其成立: 例如3x-6=0只有x=2时成立，取其他数时都不成立. 4 1．(1)概念：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (2)重要恒等式 ①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2； ②a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 知识点二　恒等式 ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)； (教材)练习A5已知“任意t和s，都有t3+s3=(t+s)(t2-ts+s2)”是真命题，借助这个结论将t3-m3进行因式分解。 5 ④(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (教材)练习B1将(a+b)3展开，并由此得到(a-b)3的展开式. (教材)练习B2将(a+b+c)2展开，并由此得到(a-b-c)2的展开式 ⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， (a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc， ， 6 例 1(教材)化简(2x+1)2-(x-1)2 解：(方法一) 可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即 (2x+1)2-(x-1)2 =4x2+4x+1-(x2-2x+1) =3x2+6x. (方法二) 可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 (2x+1)2-(x-1)2 =[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)] =3x(x十2) =3x2+6x 7 (教材)练习A4.求证:对任意的x，a，b， 都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 2.十字相乘法（二次项系数是1） 恒等式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 下面我们利用这个恒等式来进行因式分解 令D=ab且C=a+b，则 (x+a)(x+b)=x2+Cx+D 1×b+1×a=a+b=C 8 (1)x2＋3x＋2；解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)． 1×2＋1×1＝3 (2)x2＋5x－6；解：x2＋5x－6＝(x＋6)·(x－1) (3)x2－2x－8；解：x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)． 1 6 1 －1 1 1 1 2 1×(-1)＋1×6＝5 1 －4 1 2 1×(－4)＋1×2＝－2 (4)x2＋5x－14解：x2＋5x－14=(x＋7)(x－2) 1 －2 1 7 1×(－2)＋1×7＝5 “十字相乘法”因式分解练习(1) 9 证明恒等式 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 并由此探讨 Ex2+Fx+G 的因式分解方法. 尝试与发现 2.十字相乘法（二次项系数不是1） 令ac=E，ad+bc=F，bd=G (ax+b)(cx+d)=Ex2+Fx+G a b c d a×d＋c×b＝ad+bc 例如:3x2+11x十10 3x2+11x十10=(x十2)(3x+5). 1 2 3 5 1×5＋3×2＝11 10 (2)6x2－7x－5；解：6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5) 2 1 3 －5 2×(-5)＋3×1＝-7 (3)6x2＋5x－1；解：6x2＋5x－1＝(6x－1)(x＋1) 6 －1 1 1 6×1＋1×(－1)＝5 (4)2x2－7x＋3； 解：2x2－7x＋3＝(2x－1)(x－3) 2 －1 1 －3 2×(－3)＋1×(－1)＝-7 (1)3x2＋11x+10；解：3x2＋11x+10＝(3x+5)(x＋2) 3 5 1 2 3×2＋1×5=11 “十字相乘法”因式分解练习(2) 11 知识点二　方程的解集 1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值. 2.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 3.解集书写：{x1，x2，x3} 4.解方程 (1)一元一次方程 3x十5=－1 解集为{－2}  解集为{－4} (2)一元二次方程 (4x十1)(x－1)=0 解集为{1，－ }  (教材例2) x2－5x十6=0 解集为{2,3} 12 (3)含参数 (教材例3)关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数 解：当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以 ， 解得 x= ，此时解集为 当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解， 此时解集为∅. 综上，当a≠0时，解集为; 当a=0时，解集为∅. 能直接在等式 ax=2的两边同时除以a，从而得到x= 吗? 为什么? 尝试与发现 13 巩固训练 1．下列分解因式正确的是(　C　)A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)B．m2－2m＋1＝(m＋1)2C．a2－16＝(a＋4)(a－4)D．x3－x＝x(x2－1) 解析：对于A，原式不能分解，错误；对于B，原式＝(m－1)2，错误；对于C，原式＝(a＋4)·(a－4)，正确；对于D，原式＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)，错误． 14 2．求下列方程的解集： (1)x2－6x＋9＝0； 解：x2－6x＋9＝0可化为(x－3)2＝0，x＝3．因此解集为{3}． (2)x3－x＝0. 解：x3－x＝0可化为(x＋1)x(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1．因此解集为{－1，0，1}． (3)(x2－4x)2－2(x2－4x)－15＝0. 解：(x2－4x)2－2(x2－4x)－15＝[(x2－4x)－5][(x2－4x)＋3]＝(x2－4x－5)·(x2－4x＋3)＝0， 即(x＋1)(x－5)(x－1)(x－3)＝0.解得x1＝－1，x2＝1，x3＝3，x4＝5．所以方程的解集为{－1，1，3，5}． 15 3．若3是方程x2＋ax－3＝0的一个解，则此方程的解集为(　C　) A．{3} B．{－2} C．{3，－1} D．{1，3} 解析：将x＝3代入方程得a＝－2，x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，因此方程的解集为{3，－1}，故选C． 4．若关于x的分式方程 无解，则实数a的值为(　D　)A．2 B．3 C．4 D．5 解析：去分母得x＋1＝a，移项得x＝a－1，由分式方程无解，得到x－4＝0，解得x＝4，所以a－1＝4，所以a＝5，故选D． 16 本节要点回顾 1.等式的性质 2.恒等式(1)重要恒等式(2)十字相乘法 3.方程的解集 17 感谢观看！ 18 $$