02-3.1 函数的概念与性质-3.1.1 函数及其表示方法-第2课时 函数的表示方法(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的表示方法与分段函数，从列表法、图象法到解析式求法层层递进，通过基础题组搭建学习支架，衔接前后知识，为实际应用与创新题型奠定基础。 其亮点在于结合生活实例（如阶梯水价、出租车计费）培养数学眼光，通过分类讨论与逻辑推理发展数学思维，创新题型“回旋点”强化数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

第三章 函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示方法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的表示方法 1.[2025北京东城期中]已知函数f(x)用列表法表示如下,则不等式f(f(x))≥0的解集为 ( )     A     x -2 -1 0 1 2 f(x) 2 1 0 -1 -2 A.{1,2,0}　　    B.{-1,-2,0} C.{1,2}　　     D.{-1,-2} 解析　由f(f(x))≥0,得f(x)=0或f(x)=-1或f(x)=-2.当f(x)=0时,x=0;当f(x)=-1时,x=1;当f(x)=-2时,x=2. 故不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山西阳泉期末]函数f(x)=x2-2|x|的大致图象是 ( )          C     解析　函数f(x)=x2-2|x| = 其大致图象是C中图象. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025江西抚州期中]已知函数f(x)的图象如图所示,则 ( )   A.f(f(-3))=1 B.若f(x)=4,则x=0 C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5]     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题图可知f(-3)=2,f(2)=1,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确; 对于B,由题图可知直线y=4与f(x)的图象有两个交点,所以f(x)=4时,x不一定为0,B错误; 对于C,D,由题图可知函数f(x)的定义域为[-3,0]∪[2,3],值域为[1,5],C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　分段函数 4.[2026安徽桐城中学期末]为了保护水资源,提倡节约用水,某市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计 费方法如下表: 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 第1讲　描述运动的基本概念 若某户居民某月的用水量为x m3,其缴纳的水费为y元,则以下结论正确的是 ( ) A.y= 　　    B.当x=13时,y=78 C.若y=48,则x=14　　    D.若y=81,则x=13.5     C     解析　对于A,根据题意可知,当0<x≤12时,y=3x,当12<x≤18时,y=3×12+6(x-12)=6x-36, 当x>18时,y=6×18-36+9(x-18)=9x-90, 所以y= A错误; 对于B,当x=13时,y=13×6-36=42,B错误; 对于C,当x=12时,3x=36<48,当x=18时,6x-36=72>48,故6x-36=48,解得x=14,C正确; 对于D,由C中分析知,若y=81,则9x-90=81,解得x=19,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏连云港期末]已知函数f(x)= 则f(f(x))= ( ) A.0　　    B.1　　    C.2　　    D.3     B     解析　当x<0时, f(x)=0,则f(f(x))=f(0)=1; 当x≥0时, f(x)=1,则f(f(x))=f(1)=1. 综上, f(f(x))=1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025四川泸州期中]已知函数f(x)= 若f(a)=3,则a的值为 ( ) A.2　　     B.-4或2 C.0或2　　    D.-4或0或2     B     解析　若a≥0,则f(a)=2a-1=3,解得a=2;若a<0,则f(a)=a2+4a+3=3,解得a=-4或a=0(舍去). 综上所述,a=2或a=-4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东深圳期中]已知函数f(x)=  (1)求f(4), f(f(1))的值; (2)若f(a)=1,求a的值; (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数f(x)的值域(无需写出理由).   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)=  所以f(4)=-2×4+9=1, f(1)=12-2×1=-1, 所以f(f(1))=f(-1)= =-1. (2)①当-1≤a<0时, f(a)= =1, 解得a=1,不满足-1≤a<0,故舍去; ②当0≤a≤3时, f(a)=a2-2a=1,解得a=1± , 又因为0≤a≤3,所以a=1+ ; ③当3<a≤4时, f(a)=-2a+9=1,解得a=4. 第1讲　描述运动的基本概念 综上所述,a的值为1+ 或4. (3)画出函数f(x)的图象,如图所示,   由图可知, f(x)的值域为(-∞,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[教材习题改编]某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动.已知全程30千米,且该城市出租 车的收费标准如下:起步价11元(乘车不超过3千米);行驶3千米后,每千米车费2.2元;行驶10千米后,每千 米车费2.8元. (1)写出同学们乘车的费用f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式; (2)为了节省支出,他们设计了三种乘车方案: ①不换车:乘一辆出租车行驶30千米; ②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米; ③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一次车. 根据(1)中函数f(x)分析哪一种方案最省钱. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当0<x≤3时, f(x)=11, 当3<x≤10时, f(x)=11+(x-3)×2.2=2.2x+4.4, 当10<x≤30时, f(x)=11+7×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6, 所以f(x)=  (2)方案①, f(30)=2.8×30-1.6=82.4, 方案②,2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8, 方案③,3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2, 因为82.4>80.8>79.2,所以方案③最省钱. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　函数解析式的求法 9.[2025河北石家庄期中]已知一次函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)-x,则f(x)=( ) A.x-1　　    B.x+1　　    C.2x-1　　    D.2x+1     B     解析　由题意可设f(x)=kx+b(k≠0), 由f(x+1)=2f(x)-x,得k(x+1)+b=2(kx+b)-x, 即kx+k+b=(2k-1)x+2b,则 解得  则f(x)=x+1. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题][2026吉林长春东北师大附中月考]已知f(x2+1)=x4-1,则函数f(x)的解析式为 ( ) A. f(x)=x2-2x　　     B. f(x)=x2-1(x≥1) C. f(x)=x2-2x+2(x≥1)　　     D. f(x)=x2-2x(x≥1)     D     解析　令t=x2+1(换元法求解析式),则t≥1,x2=t-1, 所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t, 所以f(x)=x2-2x(x≥1). 易错警示　用换元法求函数的解析式时,要先求出中间变量的取值范围,由此确定所求函数的定义域, 解题时防止漏求函数的定义域导致解题不完整. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025四川成都期中]已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-3f  =- ,则f(2)=( ) A.7　　    B.8　　    C.13　　    D.14     C     解析　因为x∈(0,+∞),所以 ∈(0,+∞),所以f -3f(x)=-16x, 联立 消去f ,可得f(x)=6x+ ,所以f(2)=6×2+1=13. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025山东济宁月考]已知函数f(x2+1)=x4-2x2,则f(x)=____________________.     x2-4x+3(x≥1)     解析　令t=x2+1(t≥1),则f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江西新余四中月考]求满足下列条件的函数f(x)的解析式: (1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x; (2)已知函数f(x)满足f(x)+2f =3x. 解析    (1)由题意可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=1得c=1,所以f(x)=ax2+bx+1(a≠0), 因为f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x, 所以 解得 故f(x)=x2-x+1. (2)由f(x)+2f =3x,得f +2f(x)= ,联立两式并消去f ,得f(x)= -x(x≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的表示方法及应用 1.[2026安徽六安期末]已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象如图所示,则f(g(4))=  ( )       C 第1讲　描述运动的基本概念 x 1 2 3 4 y=f(x) 3 1 4 2 A.4　　    B.3　　    C.1　　    D.  解析　由题图知g(4)=2,所以f(g(4))=f(2)=1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.函数f(x)=2|x|- (a∈R)的大致图象不可能为( )  　　     　　     　　          C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　函数的定义域为{x|x∈R,x≠0}. 当a=0时, f(x)=2|x|(x≠0),此时A满足. 当a>0时,若x>0,则f(x)=2x- ,随着x的增大, f(x)的值逐渐增大,图象呈上升趋势;若x<0,则f(x)=- ,其 中y=2x+ (x<0)为对勾函数的一部分,此时D满足. 当a<0时,若x>0,则f(x)=2x+ ,为对勾函数的一部分;若x<0,则f(x)=-2x+ ,随着x的增大, f(x)的值逐渐减 小,图象呈下降趋势,此时B满足. 第1讲　描述运动的基本概念 3.某车辆装配车间每2 h装配完成一辆车,按照计划,该车间今天工作8 h,从开始工作的时刻起,经过的时 间x(单位:h)与装配完成的车辆数y(单位:辆)之间的函数表达式是([x]表示不大于x的最大整数)  ( ) A.y= ,x∈[0,8]　　    B.y= ,x∈[0,8] C.y= x,x∈[0,8]　　    D.y=2[x],x∈[0,8]     A 解析　因为车间每2 h装配完成一辆车,所以当x∈[0,2)时,y=0,x∈[2,4)时,y=1,x∈[4,6)时,y=2,x∈[6,8)时,y =3,x=8时,y=4,故A符合. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数解析式的求法 4.[多选题][2026广东广州广雅中学期末]设f(x)= ,则下列结论正确的是 ( ) A. f(-x)=f(x)　　    B. f =-f(x) C. f(2x)=2f(x)　　    D. f =f(x)     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(-x)= = =f(x),故A正确; f = = = =-f(x),故B正确,D错误; f(2x)= ,2f(x)= ,显然f(2x)≠2f(x),故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025广东八校联盟期中]已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且2f(x)-f =2x+1,则f(x)的最小值为  ( ) A.1+ 　　    B.1+ 　　    C.1+ 　　    D.      A 解析　由2f(x)-f =2x+1,得2f -f(x)= +1,联立消去f ,得f(x)=  +1, 已知x>0,则f(x)=  +1≥ ·2 +1= +1,当且仅当2x= ,即x= 时取等号, 所以当x= 时,f(x)取得最小值,为1+ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026陕西西北工业大学附属中学期末]已知函数f(x)的定义域为R,且f ≠0, f(x+y)+f(x)f(y)=4xy. (1)求f(0)+f 的值; (2)求f(x)的解析式; (3)已知a>0,b>0,a+2b=f ,求 + 的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在f(x+y)+f(x)f(y)=4xy中,令x=y=0,则f(0)+f(0)f(0)=0,即f(0)[1+f(0)]=0,解得f(0)=0或f(0)=-1, 当f(0)=0时,令x=0,y= ,则f +f(0)f =0,即f =0,与题意不符,舍去. 当f(0)=-1时,令x= ,y=- ,则f(0)+f f =-1,即f f =0, 又f ≠0,所以f =0, 故f(0)+f =-1+0=-1. (2)在f(x+y)+f(x)f(y)=4xy中,令y=- ,x=t+ ,得f(t)+f f =-2 , 由(1)知f =0,故f(t)=-2 t+  =-2t-1(抽象函数赋值法求解析式), 故f(x)=-2x-1. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意得a+2b=f =-2× -1=2, ∴a+b+a+3b=2a+4b=4, ∴ + =  (a+b+a+3b)= + + ≥2 + = , 当且仅当 = ,即a=b= 时等号成立. 故 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　分段函数 7.[2025江苏南京六校期中]已知函数f(x)= 若f(a)=2,则f(5-a)的值为 ( ) A.1　　     B.1或0 C.-1或1或0　　    D.1或-1或      B     解析　依题意得 ①或 ②或 ③, ①无解,由②解得a=4,则f(5-a)=f(1)= =1, 由③解得a=6,则f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0. 故f(5-a)的值为1或0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.函数f(x)= 的值域是 ( ) A.[-1,3]　　    B.[-1,4]　　     C.[-2,4]　　    D.[-2,2]     C     解析　当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 则f(x)min=f(-1)=-2,f(x)max=f(-3)=2,则f(x)∈[-2,2]; 当0<x≤5时,f(x)=x-1∈(-1,4]. 综上所述,f(x)∈[-2,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026陕西汉中期中]如图所示,无盖正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯内注 水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t 之间的函数图象可能是( )    　　     　　     　　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　开始注水时,水注入烧杯中,正方体容器中无水,故水面高度为0;烧杯内注满水后,继续注水,正方 体容器中水面开始上升,且上升速度较快;当正方体容器中水面和烧杯水面持平以后,继续注水,正方体 容器中水面继续上升,且上升速度减慢. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025天津河西期中]设A= ,B= , f(x)= 若m∈A,且f(f(m))∈A,则实数m的取值范围 为( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x∈ 时, f(x)=x+ ∈ ,且f = ;当x∈ 时, f(x)=2-2x∈[0,1),且f = .作出f(x)的 图象如图,   由图可知,若f(f(m))∈A,即f(f(m))∈ ,则 ≤f(m)≤1,又m∈A,所以 ≤m≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2026河南焦作一中月考]如图所示,函数f(x)的图象由两条线段组成,则下列关于函数f(x)的 说法中正确的是( )   A. f(2)>f(0) B. f(f(1))=3 C. f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4] D.∃a>0,使不等式f(x)≤a的解集为      BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,可知函数f(x)为分段函数,且其图象过点(0,3),(1,0),(4,3), 当0≤x<1时,设f(x)=kx+b, 将(0,3),(1,0)代入,可得  所以 所以f(x)=-3x+3; 当1≤x≤4时,设f(x)=mx+n, 将(1,0),(4,3)代入,可得  所以 故f(x)=x-1. 故f(x)=  第1讲　描述运动的基本概念 选项A,f(2)=1<f(0)=3,因此A错误. 选项B,f(f(1))=f(0)=3,因此B正确. 选项C,f(x)=2|x-1|-x+1= 因此C正确. 选项D,由函数图象知,若∃a>0,使f(x)≤a的解集为 ,则f =f(2)=a,又f =2, f(2)=1,因此D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　“回旋点”在分段函数问题中的迁移应用 12.[2025广东汕头期中]定义:若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的回旋点.已知函数f(x)=  其中a为常数且a∈(0,1). (1)当a= 时,求f 的值,并判断 是不是f(x)的回旋点; (2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的解析式,并求出f(x)的回旋点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得,当a= 时, f(x)=  ∴f =2× = , ∴f =f =2× = , 又f = ≠ ,∴ 是f(x)的回旋点. (2)当x∈(a,1]时, f(x)= , 对 是否大于a分类讨论,求出y=f(f(x))的解析式  ∵a<x≤1, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴0≤1-x<1-a,∴0≤ <1, 当a< <1,即a<x<a2-a+1时, f(f(x))=f = · = ; 当0≤ ≤a,即a2-a+1≤x≤1时, f(f(x))=f = · = , ∴y=f(f(x))=  当a<x<a2-a+1时,令 =x,解得x= , (方程的解x0需满足两点:一是x0在分段函数对应的定义域内,二是f(x0)≠x0,从而得到回旋点) ∵0<a<1,∴ -a= = >0,a2-a+1- = = >0, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴a< <a2-a+1. ∵f = ,∴x= 不是f(x)的回旋点. 当a2-a+1≤x≤1时, 令 =x,解得x= , ∵0<a<1,∴ -(a2-a+1)= = >0, 1- = = >0,∴a2-a+1< <1. 又f = · = ≠ ,∴x= 是f(x)的回旋点. 综上,y=f(f(x)) 第1讲　描述运动的基本概念 = f(x)的回旋点为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $