07-专题专项练-专题强化练2 利用均值不等式求最值(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“利用均值不等式求最值”专题，从等式与不等式基础出发，通过12道典型题构建递进式学习支架，涵盖基础应用、换元转化到n元均值不等式推广，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学思维与创新意识为核心，通过变量代换、构造方程等方法培养推理能力，结合三角形面积、实际不等式等问题提升数学语言表达。分层训练设计让学生夯实基础并拓展思维，教师可直接用于专题教学提升效率。

第二章 等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练2 利用均值不等式求最值 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026河南驻马店部分学校月考]已知m>n>0,则2m+ + 的最小值为 ( ) A.4 +1　　    B.4 +2　　    C.2 +4　　    D.2 +8     B     解析　因为m>n>0,所以m+n>0,m-n>0, 则2m+ + =m+n+ + +m-n≥2 +2 =4 +2, 当且仅当 即 时等号成立, 故2m+ + 的最小值为4 +2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏盐城期中]已知x+y=2,x>0,y>0,则 + 的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.      B     解析　∵x+y=2,x>0,y>0,∴ + = + = + = + + ≥ +2  = +1= ,当且仅当 = ,且x+y=2,即x= ,y= 时,等号成立, ∴ + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025四川泸州期中]已知x>y>0,则 - 的最小值为 ( ) A.4　　    B.3　　    C.2　　    D.1     D     解析　由题意知x-y>0,x+y>0, 则 - = - = + -3≥2 -3=1,当且仅当 =  ,即x=3y时,等号成立. 故 - 的最小值为1. 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知x>y>0,且x2-y2=1,则2x2+3y2-4xy的最小值为 ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.      B     解析　由已知得x2-y2=(x+y)(x-y)=1. 设x+y=a,x-y=b, 则x= ,y= ,且ab=1,a>0,b>0, 所以2x2+3y2-4xy=2 +3 -4· · = ≥ = =1, 当且仅当a=3b,即a= ,b= 时,等号成立. 故2x2+3y2-4xy的最小值为1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026陕西榆林段考]存在三个实数a1,a2,a3满足下列两个等式:①a1a2a3=2;②a1+a2+a3=0,M表示这三个实 数a1,a2,a3中的最大者,则( ) A.M的最大值是2　 　    B.M的最小值是2 C.M的最大值是 　　    D.M的最小值是2      B     解析　由题意可知,a1,a2,a3中有2个负数,1个正数, 假设a1,a2是负数,a3是正数,则M=a3, 所以a3=-a1-a2≥2 =2 ,则a1a2≤ ,当且仅当a1=a2=-1时取等号. 又a1a2a3=2,所以a1a2a3=2≤ ,即a3≥2,所以M的最小值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山东青岛段测]已知不等式(x-n)· ≤0(n>0)的解集为{x|a≤x≤b},且不等式 + + ≥4 恒成立,则正实数m的取值范围是 ( ) A.[2,+∞)　　    B.[4,+∞) C.[6,+∞)　　    D.[8,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为不等式(x-n) ≤0(n>0)的解集为{x|a≤x≤b},所以a,b是方程(x-n) =0(n>0)的两个 实数根,所以ab=n× =1,且a>0,b>0,则a+b≥2 =2,当且仅当a=b=1时,等号成立.  + + ≥4可化为 + ≥4, 所以m≥4(a+b)- =4(a+b)- , 令t=a+b,则t≥2,则m≥4t- 在t∈[2,+∞)上恒成立,即m≥ , 因为4t- =- (t-4)2+8≤8,当且仅当t=4,即a+b=4,即a=2- ,b=2+ 时,等号成立,所以m≥8,所以m的取值 范围是[8,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026广西钦州第四中学月考]已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则 ( ) A.2a+b的最小值为8 B. + 的最小值为  C.ab的最大值为8 D.b+ 的最小值为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由16=ab+2a+b得b= = -2. 2a+b=2a+ -2=2(a+1)+ -4≥2 -4=8,当且仅当2(a+1)= ,即a=2时取等号,因此2a+b 的最小值为8,A正确;  + ≥2 =2 = ,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此 + 的最小值为  ,B错误; 16=ab+2a+b≥ab+2 ,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0< ≤2 ,即0<ab≤8,因此ab的最大值 为8,C正确; 由b= -2>0及a>0,得0<a<8,所以1<9-a<9, 则b+ = + -2=  -2 第1讲　描述运动的基本概念 = + - ≥2 - = , 当且仅当 = ,即a= 时取等号,因此b+ 的最小值为 ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河北邯郸武安一中月考]若a>0,b>0,则min 的最大值是______.(注:min{x,y}表示x,y中 的较小者) 解析　令h=min ,因为a>0,b>0,所以0<h≤a,0<h≤ , 则h2≤ ,当且仅当a= 时取等号, 而 = ≤ = ,当且仅当 = ,即a=2b时取等号, 因此当a= ,且a=2b,即a= ,b= 时,hmax= ,所以min 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025上海金山期中]已知正实数a,b,c满足a+2b=4,c>1,则 + - + 的最小值为_________. 解析     + - =c =c =c ≥c·2 = c,当且仅当 即  时取“=”, 所以 + - + ≥ c+ = (c-1)+ + ≥2 + = ,当且仅当c=3时取 “=”,所以 + - + ≥ ,当且仅当a=4 -4,b=4-2 ,c=3时取“=”. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025海南部分高中期中]在Rt△ABC中,∠A=90°. (1)若BC=3 ,求S△ABC的最大值; (2)若S△ABC=8,求△ABC周长的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题设知AB2+AC2=BC2=18,且AB,AC>0,AB+AC>3 ,所以AB·AC≤ =9,当且仅当AB =AC=3时取等号, 所以S△ABC= AB·AC≤ ,故S△ABC的最大值为 . (2)由题意得S△ABC= AB·AC=8,则AB·AC=16, 则BC2=AB2+AC2≥2AB·AC=32, (AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC≥4AB·AC=64, 当且仅当AB=AC=4时,上面两个等号均成立, 故BC≥4 ,AB+AC≥8,所以AB+BC+AC≥8+4 , 故△ABC的周长的最小值为8+4 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025安徽马鞍山月考]如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形 ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1. (1)求直角三角形ABC面积的最大值; (2)求正方形ABDE面积的最小值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1, 所以1=a+b+ ≥2 + =(2+ )· ,当且仅当a=b时取等号, 解得0< ≤ , 所以0<ab≤ , 所以S△ABC= ab≤ , 故直角三角形ABC面积的最大值为 . (2)易得正方形ABDE的面积为a2+b2, 因为2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时取等号, 所以a+b≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 所以1=a+b+ ≤ + =( +1)· ,所以a2+b2≥ =3-2 , 所以正方形ABDE面积的最小值为3-2 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点    n元均值不等式的迁移应用 12.[2026四川绵阳外国语学校月考]教材中的均值不等式可以推广到n阶:若a1,a2,…,an>0,则  ≥ ,n∈N*,n≥2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号,利用此结论解决下列问题: (1)若x,y,z>0,求 + + 的最小值; (2)若0<x< ,求x3(2-3x)的最大值; (3)对任意k∈N*,判断 与 的大小关系并加以证明. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得 ≥ =2,所以 + + ≥6,当且仅当 = = ,即2x=y=z时取等 号,所以 + + 的最小值为6. (2)x3(2-3x)=x·x·x·(2-3x)≤ = , 当且仅当x=2-3x,即x= 时取等号, 所以x3(2-3x)的最大值为 . (3) < ,k∈N*. 证明如下: 第1讲　描述运动的基本概念 当k=1时(k=1时需要单独证明), =(1+1)1=2, = = ,则2< ; 当k≥2时, = × ×…× = × ×…× ×1 共(k+1)项相乘,k项为1+ ,1 项为1 ≤  = = = , 显然1+ ≠1,所以等号不能取,所以 < . 综上, < . 第1讲　描述运动的基本概念 $