06-2.2.4 均值不等式及其应用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“均值不等式及其应用”，通过题组设计从对均值不等式的理解切入，逐步延伸到比较大小、求最值、证明及实际应用，构建从基础到能力提升的学习支架，衔接等式与不等式知识脉络。 其亮点在于结合易错题警示、解题模板及实际问题（如仓储费用优化、运动场地设计），以数学眼光观察现实问题，通过一题多解（如常数代换法、柯西不等式）培养数学思维，用数学语言严谨表达推理过程。学生能深化知识理解与应用能力，教师可借助丰富题组与方法指导提升教学效率。

第二章 等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对均值不等式的理解 1.[易错题][2026海南海口第一中学月考]设a,b∈R,且a<b<0,则 ( ) A. < 　　     B. >  C. ≥ 　　    D. + >2     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为a<b<0,所以 > ,故A错误; 对于B,因为a<b<0,所以 < <0,所以- >- >0, 又-a>-b>0,所以 ·(-a)> ·(-b)>0,即 > ,故B错误; 对于C,因为a<b<0,所以 <0, >0,所以 < ,故C错误; 对于D,因为a<b<0,所以 >0, >0,所以 + ≥2 =2, 当且仅当 = ,即a=b时,等号成立, 又a<b,所以 + >2,故D正确. 易错警示　利用均值不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三个条件同时满足才能得 出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 2.不等式a2+ ≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2　　     B.a=±2 C.a= 　　    D.a=±      D     解析　该不等式等号成立的条件为a2= , 即a=± . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025四川德阳月考]已知a,b∈R,则“ab>0”是“ + >2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     B     解析    ab>0时, >0, >0,∴ + ≥2,当且仅当a=b时取等号,故充分性不成立;  + >2时, -2>0,∴ >0,∴ab>0,必要性成立,故为必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用均值不等式比较大小 4.[教材习题改编][2025广东江门鹤山月考]已知x>0,A=x-2,B=- ,则A与B的大小关系是 ( ) A.A≥B　　    B.A≤B　　    C.A>B　　    D.A<B     A     解析　∵x>0,∴ >0,∴A-B=x-2+ ≥2 -2=0,当且仅当x=1时,等号成立,故A≥B. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东枣庄第九中学月考]已知a>b>0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.b> > 　　    B. >b>  C. > >b　　    D. > >b     C     解析　由a>b>0,得 > > =b. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏扬州中学月考]小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则  ( ) A.a<v< 　　     B. <v<  C. <v< 　　    D. <v<b     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设从甲地到乙地的距离为c,则小王从甲地到乙地往返的时间分别是 和 , 所以v= = = , 由0<a<b,得 + >2 ,可得 < ,即v< ,故B错误; v-a= -a= = ,由0<a<b,得 >0,即a<v,故A正确; 由a+b>2 ,得 > >v, > >v,故C,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.某市一外贸公司第一年的产值增长率为a,第二年的产值增长率为b,这两年的平均产值增长率为x,则x 与 的大小关系是___________.     x≤      解析　由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤ = ,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x≤1+  ,即x≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用均值不等式求最值 8.[2026吉林长春期末]已知0<x<4,则 + 的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　     C.2　　    D.      B     解析　由0<x<4,得4-x>0,则 + = [x+(4-x)] =  5+ +  ≥  5+2  = , 当且仅当 = ,即x= 时取等号, 所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　解决分式形式的代数式的最大(小)值问题时,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”, 如本题中的x+(4-x)是定值4,从而进行常值代换求最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025山东潍坊期中]已知正实数x,y满足x+y=2,则 + 的最小值是 ( ) A.1+2 　　    B.2+2 　　    C.5　　    D.      A     解析     + = + =1+ + ≥1+2 =1+2 ,当且仅当 = ,即x=4-2 ,y=2 -2时等号 成立,所以 + 的最小值是1+2 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026北京中国人民大学附属中学月考]已知x>0,y>0,且 + = ,则x+y的最小值为 ( ) A.5　　    B.6　　    C.7　　    D.8     A     解析    解法一(常值代换法):x+y=(x+3)+y-3=[(x+3)+y]×2 -3(“1”的代换) =2 -3≥1+4 =1+4=5, 当且仅当 = ,且 + = ,即x=1,y=4时取等号,故x+y的最小值为5. 解法二(消元法):由 + = 得y= = +2(分离常数), 所以x+y=x+ +2=x+1+ +1(配项)≥1+2 =1+4=5,当且仅当x+1= ,且 + = ,即x= 1,y=4时等号成立,故x+y的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 拓展解法    万能k法:令k=x+y,k>0,则y=k-x,代入 + = ,整理得x2+(3-k)x+6-k=0,方程有解即Δ≥0,解得 k≥5或k≤-3(舍去)(要满足k>0),所以x+y的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2025广东汕头期中]设正实数a,b满足a+4b=1,则下列说法中正确的有 ( ) A. 的最大值为  B. + 的最小值为9 C. +2 的最大值为  D.a2+b2的最小值为      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, =  ≤ = ,当且仅当a=4b= 时,等号成立,所以 的最大值为 ,故A正确; 对于B, + =(a+4b) =5+ + ≥5+2 =9,当且仅当 = ,即a=2b= 时,等号成立,所以 +  的最小值为9,故B正确; 对于C, ≤( )2+(2 )2=a+4b=1,当且仅当 =2 ,即a=4b= 时,等号成立,所以( +2 )2≤ 2,则 +2 ≤ ,所以 +2 的最大值为 ,故C正确; 对于D,a=1-4b,由0<1-4b<1得0<b< ,则a2+b2=(1-4b)2+b2=17 + ≥ ,当且仅当b= 时,等号成立, 所以a2+b2的最小值为 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025天津津南期中]已知x>0,y>0,x+2y=1,则 的最小值为__________.     25     解析     = =1+ =1+ ≥1+ =1+ =25,当且仅当x=2y= 时,等号 成立,所以 的最小值为25. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025安徽宿州期中]若x>2,则y= 的最小值为_________.     8     解析　因为x>2,所以x-2>0, 所以y= = =x-2+ +4≥2 +4=8,当且仅当x-2= ,即x=4时取等号, 所以y= 的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用均值不等式进行证明 14.[2026河北保定十八校联考]已知x>0,y>0,证明: (1)  ≥4;(2)  ≥4. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为x>0,y>0,所以x+ ≥2,当且仅当x=1时,等号成立, y+ ≥2,当且仅当y=1时,等号成立. 故  ≥4,当且仅当x=y=1时,等号成立. (2)因为x>0,y>0,所以xy>0.   =xy+ +2 ≥2 +2=4, 当且仅当xy=1时,等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026上海吴淞中学月考]已知a,b都是正实数,且a+b=1,求证: (1) ≥4;(2) + ≤ . 证明    (1)因为a,b>0,所以a+b≥2 ,所以1≥2 ,平方得1≥4ab, 所以 ≥4,当且仅当a=b= 时,等号成立,得证. (2)要证 + ≤ ,即证( + )2≤2,即证a+b+2 =1+2 ≤2, 只需证 ≤ ,即证ab≤ ,即证 ≥4,由(1)可知 ≥4成立,所以 + ≤ 成立. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　柯西不等式:设a1,a2,b1,b2∈R,且b1,b2≠0,则( + )·( + )≥(a1b1+a2b2)2,当且仅当 = 时等 号成立. 第(2)问由柯西不等式得[( )2+( )2](12+12)≥( ×1+ ×1)2,即2(a+b)≥( + )2,即( + )2≤2,所 以 + ≤ ,当且仅当a=b= 时,等号成立,所以 + ≤ 成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　利用均值不等式解决实际问题 16.[2026山西大同期中]某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均 仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之 和最小,则每批应生产产品( ) A.30件　　    B.60件　　    C.80件　　    D.100件     B     解析　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y= = + ≥2 =3 0,当且仅当 = ,即x=60时等号成立, 故每批应生产产品60件. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026山东泰安二中月考]某地方政府准备建造一个面积为3 000平方米的矩形运动场地(如图所示, 包括阴影部分和中间三个矩形区域),其中阴影部分为走道,走道宽度均为2米,中间的三个矩形区域铺设 塑胶地面(其中两个小矩形的形状、大小相同),塑胶地面总面积为S平方米. (1)设矩形运动场地相邻的两边分别为x米和y米,试写出S关于x的关系式,并给出x的取值范围; (2)怎样设计能使S取得最大值?并求出最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意得xy=3 000,则y= , 由已知得 解得6<x<500. 由2a+3×2=x,得a= , 则S= ×(y-4)+ ×(y-6)=  =(x-6)(y-5)=(x-6)  =3 000-5x-6× +30 =3 030- ,6<x<500. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)得S=3 030- ,6<x<500, 所以S=3 030- ≤3 030-2 =3 030-2×300=2 430, 当且仅当5x= ,即x=60,y=50时等号成立. 所以当x=60,y=50时,S取得最大值2 430. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用均值不等式求最值及应用 1.[2026浙江嘉兴三校联考阶段测试]已知x,y为正实数,则 + 的最小值为 ( ) A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.8     C     解析　令t= ,则t>0,故 + = + =t+ =t+2+ -2≥2 -2=6,当且仅当t+2= , 即t=2时取等号,所以 + 的最小值为6. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东日照实验高级中学段考]已知0<x< ,则 + 的最小值为 ( ) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.4     C     解析　因为0<x< ,所以3-2x>0,所以 + = + =  [2x+(3-2x)] 利用 [2x+(3-2x)]=1 进行代换  =  2+ + +2  ≥  = , 当且仅当 = ,即x= 时等号成立,所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东济南月考]已知x,y为正实数,且x+y=1,则 的最小值为 ( ) A.24　　    B.25　　    C.6+4 　　    D.6 -3     B     解析　因为x,y为正实数,且x+y=1,所以 = = = + = (x+y)=13+ +  ≥13+2 =25, 当且仅当 即 时,等号成立, 所以 的最小值为25. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025黑龙江哈尔滨第七十三中学校月考]设a>0,b>0,已知M= ,N= ,则下列说法 正确的是 ( ) A.M有最小值　　     B.M没有最大值 C.N有最大值 　　    D.N有最小值      ABD     解析　因为a>0,b>0,所以M= = + ≥2 =2,当且仅当 = ,即a=b时,等号成立,故A,B正确; 当a>0,b>0时, = ≤ ,即 ≤ ,所以N= ≥ ,当且仅当a=b时,等 号成立,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏苏州期中]∀x∈(-1,+∞),x2+(1-k)x+1-k≥0恒成立,则实数k的取值范围为( ) A.(-∞,-1]　　    B.(-∞,0] C.(-3,1]　　     D.(-∞,1]     D     解析　由x>-1得x+1>0,则由x2+(1-k)x+1-k≥0得k≤ ,则问题转化为k≤ 对任意x∈(-1,+∞) 恒成立,因为 = =x+1+ -1≥2 -1=1,当且仅当x+1= ,即x=0时,等 号成立,所以k≤1,即实数k的取值范围为(-∞,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖南祁阳一中段考]设正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的最大值为  ( ) A.2　　    B. 　　    C.1　　    D.      A     解析　正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,则z=x2-xy+4y2, 所以 = = ≤ = ,当且仅当 = ,即x=2y时,等号成立,所以当 取得最 大值时,x=2y,z=6y2,则 + - = + - =- + =-  +2, 又y>0,所以当 =2,即y= 时, + - 取得最大值,为2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025浙江温州期中]已知正实数x,y满足xy+x+y=8,则下列说法正确的是 ( ) A.xy的最大值为2 B.x+y的最小值为4 C.x+2y的最小值为6 -3 D. + 的最大值为1     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由xy+x+y=8得x+y=8-xy,由x>0,y>0得x+y=8-xy>0,所以0<xy<8, 由xy≤ = ,可得(xy)2-20xy+64≥0,即(xy-16)(xy-4)≥0,解得xy≤4或xy≥16, 又0<xy<8,所以0<xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以xy的最大值为4,故A错误; 对于B,由xy+x+y=8,得xy=8-(x+y),由x>0,y>0得xy=8-(x+y)>0,所以0<x+y<8, 由(x+y)2≥4xy=4[8-(x+y)],可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0,即(x+y-4)(x+y+8)≥0,解得x+y≤-8或x+y≥4,又0<x+y <8,所以4≤x+y<8,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以x+y的最小值为4,故B正确; 对于C,由xy+x+y=8,得y= ,由y>0得 >0,解得-1<x<8,又x>0,所以0<x<8,x+2y=x+2· =x-2+ =x +1+ -3≥6 -3,当且仅当x+1= ,即x=3 -1时,等号成立,所以x+2y的最小值为6 -3,故C正确; 对于D,由A可知0<xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,且x+y=8-xy, 则 + = = = -1,0<xy≤4,所以 -1≥1,即 + ≥1,所以 + 的最小值为1,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南邵阳二中月考]若“∃x∈ x  ≤x≤2 ,3x2-λx+1<0”是假命题,则实数λ的最大值为______ ____.     2  解析　由题意得“∀x∈ x  ≤x≤2 ,3x2-λx+1≥0”是真命题, 故当x∈ x  ≤x≤2 时,3x+ ≥λ恒成立,即λ≤ , 由均值不等式,得3x+ ≥2 =2 ,当且仅当3x= ,即x= 时,等号成立,故λ≤2 . 则实数λ的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025山西太原期中]若m>n>0,则m+ + 的最小值为__________.     5      解析　因为m>n>0,所以m+n>0,m-n>0, m+ + = (m+n)+ + (m-n)+ , 因为 (m+n)+ ≥2 =3 ,当且仅当 (m+n)= ,即m+n=3 时,等号成立, (m-n)+  ≥2 =2 ,当且仅当 (m-n)= ,即m-n=2 时,等号成立, 所以m+ + ≥3 +2 =5 ,当且仅当 即m= ,n= 时,等号成立, 所以m+ + 的最小值为5 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用均值不等式进行证明 10.[2026江苏南京期中]已知a,b,c均为正实数. (1)若a+b+c=2,求证: + + ≥ ; (2)求证: + + ≥ + + ; (3)若 + + =1,求证:a+b+c≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)由a,b,c均为正实数,且a+b+c=2, 可得 + + =  (a+b+c)=  1+ + + +1+ + + +1 =   + + + + + +3 ≥ × 2  +2 +2 +3 = , 当且仅当 = , = , = ,即a=b=c= 时等号成立, 故 + + ≥ . (2)由a,b,c>0及均值不等式可得a+b≥2 ,当且仅当a=b时等号成立, 即(a+b)2≥4ab,即 ≥4, 则 + = ≥ . 同理, + ≥ , + ≥ , 第1讲　描述运动的基本概念 所以2 ≥ + + , 即 + + ≥ + + ,当且仅当a=b=c时等号成立. (3)由a,b,c均为正实数,且 + + =1,得a+b+c=(a+b+c) =1+ + + +4+ + + +9=14+ +  + + + + ≥14+2 +2 +2 =36, 当且仅当 = , = , = ,即a=6,b=12,c=18时等号成立, 故a+b+c≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　利用权方和不等式求解: (1) + + = + + ≥ = ,当且仅当 = = ,即a=b=c= 时等号成立,故 + + ≥ . (2) + = + ≥ = ,当且仅当 = 时等号成立, 同理 + ≥ , + ≥ , 故 + + ≥ + + ,当且仅当a=b=c时等号成立. (3) + + = + + ≥ = ,当且仅当 = = ,即a=6,b=12,c=18时等号成立,故a+b+c≥3 6. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知集合D={(x1,x2)|x1+x2=2,x1>0,x2>0}. (1)求 + 的最小值; (2)对任意(a,b)∈D,证明: + ≥ . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为x1>0,x2>0,且x1+x2=2, 所以x1+x2≥2 ,所以x1x2≤1(当且仅当x1=x2=1时,等号成立), 则 + = -2x1x2≥4-2=2, 故 + 的最小值为2. (2)证明:因为(a,b)∈D,所以a>0,b>0,a+b=2, 所以 + = + = +  =  (a+2+b+2) =  ≥  = , 当且仅当 = ,即a=b=1时取等号. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用均值不等式解决实际问题 12.[2026安徽滁州中学月考]某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活 动,已知该款食品年销量x(吨)与年促销费用t(万元)之间满足函数关系式x=2- (k为常数),如果不开展 促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨食品需再投入 32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品售价定为“平均每吨食品生产成本的1.5倍”与“平 均每吨食品促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求k的值; (2)将下一年的利润y(万元)表示为关于促销费用t(万元)的函数; (3)该食品企业下一年的促销费用投入多少万元时,该款食品的利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知,当t=0时,x=1,所以1=2- ,解得k=2. (2)由(1)知k=2,故x=2- , 则由题意可得该款食品的年生产成本为32x+3= 万元, 故年销售收入为 万元, 所以y=  + t- -t=- - t+ (t≥0). (3)由(2)知y=- - t+ (t≥0), 因为- - t+ =- - + =- +  ≤-2 + =26.5, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当 = ,即t=6时,等号成立. 所以该食品企业下一年的促销费用投入6万元时,该款食品的利润最大. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　均值不等式与“杠杆原理”的融合 13.[2026湖南邵阳二中月考]一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长 之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放 在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡, 最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g,为什么? (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,那么要 使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少?请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设天平左臂长为m,右臂长为n(m≠n),第一次放的黄金为x g,第二次放的黄金为y g, 则5m=xn,my=5n(杠杆原理),得x= ,y= , 所以x+y= + ≥2 =10, 当且仅当 = ,即m=n时取等号, 又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g. (2)设第三次放的黄金为z g,则10m=zn, 代入 = ,可得2x=z, 故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2 =10 ,当且仅当3x=y,即x= ,y=5 时取等号, 此时λ= = = ,因此当λ= 时,三次黄金质量总和最小. 第1讲　描述运动的基本概念 $