第二章 有理数及其运算 单元测试卷（二） 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》单元卷，以文化情境与真实问题为载体，覆盖有理数核心知识，适配单元复习，提升运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|科学记数法、数轴应用、绝对值|结合江口沉银遗址（文化传承）、七进制计数（传统数学）| |填空题|6题18分|有理数乘法、新定义运算|含“24点”游戏（运算能力）、连分数（抽象能力）| |解答题|7题72分|混合运算、工程问题、除方概念|工程问题（模型意识）、除方探究（创新应用）|

第二章《有理数及其运算》-北师大版数学七年级上学期 单元测试卷（二） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（2026·眉山）眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2026七上·东阳期末）下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都相等，则下列方格中数字能被确定是（　　） A B C D E F G H I -5 J K A．A B．E C．K D．以上都不能 3．（2026七上·临平期末）已知数轴上的点A、B分别表示数a，b，其中-1<a<0，-1<b<0，且|a|=3|b|，若a-b=c、数c在数轴上用点C表示，则点A、B，C在数轴上的位置可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2026七上·温州期末）下列计算结果正确的是(　　) A．2+(-2)÷3=0 B． C． D． 5．把(＋5)－(＋3)－(－1)＋(－5)写成省略括号的和的形式是（　　） A．－5－3＋1－5 B．5－3－1－5 C．5＋3＋1－5 D．5－3＋1－5 6．（2026七上·潮南期末）王博在做课外习题时遇到这样的一道题：，其中●是被涂损而看不清的一个数，他翻开答案后得知该题的计算结果为15，则●表示的数是（　　） A．10 B．或 C． D．10或 7．（2026七上·深圳期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 8．如果甲、乙、丙三人合做一项工程，每天可以完成工程的 ，如果甲单独做这项工作需15天，现在甲先做7天，剩下的由乙、丙合作，完成这项工作还需要多少天?（　　） A．1.5天 B．2.5天 C．4天 D．6天 9．（2025七上·武安期中）已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x时，代数式x19﹣x+2的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 10．（2025七上·武汉月考）我们常用的十进制数，如2639=2×103＋6×102＋3×10¹＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制(如2513=2×73＋5×72＋1×7¹＋3)，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（2026七上·潮南期末）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是　 　 12．（2026七上·旌阳期末）下列说法中，正确的是　 　．（请填写正确的序号） ①若，则； ②若，则； ③若m是有理数，则不可能是负数； ④若，且时，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为或 13．（2025七上·上城期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算(可用括号)列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜(J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1)。小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗?请列出算式　 　.(写出一种即可) 14．定义：分数(m，n为正整数且互为质数)的连分数(其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1)，记作. 例如：，的连分数为，，则　 　. 15．（2025七上·岳阳期末）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，① 则，② ，得． 通过阅读，请用你学到的方法计算：　 　． 16．（2025七上·中山期中）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么，　 　． 三、解答题（共7题，共72分） 17．（2026七上·隆昌期末）计算： （1） （2） 18．（2025七上·海珠期末）计算： （1） （2） 19．（2025七上·余姚期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来： -22， - （-1）， - |-2|， 3 20．（2024七上·珠海期中）某工艺品加工厂计划一周生产工艺品2450个，平均每天生产350个，受其他因素影响，实际每天的产量与计划的产量相比有出入，下表是该厂某周的生产情况记录表：（超产记为正，不足记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 ＋10 ＋8 ＋16 （1）根据表格可知，前三天共生产工艺品___________个； （2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）已知该加工厂实行计件工资制度，每生产一个工艺品可得40元，以周为考核，若每周超额完成任务，则超过的部分每个另外奖励50元，每少生产一个扣45元，试求该加工厂在本周需要支付的工资总额． 21．（2026七上·七星关期末）七星关区某学校位于碧海大道上（碧海大道近似看成一条直线），该校涵盖了12个校区，秉持着“自然教育”理念，推行“一三五+德育体系”．新学期开学，家长为了了解部分校区规划情况，该校教师开车带领家长朋友们从校本部出发，向东行驶2千米到达店子校区参观，继续向东行驶千米到达前所校区参观，然后向西行驶千米到达青龙校区参观，再向东行驶千米到达汉屯校区参观，最后回到校本部．如图所示，回答下列问题： （1）如图，以校本部为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请在数轴上表示出青龙校区和汉屯校区的位置． （2）青龙校区在校本部的什么地方？距离校本部多远？ （3）店子校区距青龙校区多远？ （4）若该校教师的轿车1千米消耗油，整个参观过程中，轿车一共消耗多少升油？ 22．定义新运算：若 N>0)，则b 叫作以a 为底 N 的对数，记作log2N=b.例如：因为 所以log5125=3.因为 ，所以log11121=2. （1）填空： 　 　，　 　； （2）如果log5|m-4|=2，求m的值； （3）若 log327+log4x=log232，求2(x-1)的值. 23．（2025七上·中山期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2+2写作2③，读作“2的3次商”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）写作（-3）④，读作“-3的4次商”，一般地，把写作an，读作“a的n次商”. 初步探究 （1）直接写出计算结果：5②　 　，　 　； （2）下列关于除方说法中，错误的是 　 　（只有一个正确答案）. A.当m≠0时， B.当m≠0时， C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D. n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方→乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：　 　； （4）比较：　 　；（填“>”“<”或“=”） （5）计算： 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：76000=7.6×104. 故答案为：A. 【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：设任意相邻三个数的和为， ∵，， ∴， ∴， 同理，，，，， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即的值可确定， ∵，，、的值无法确定， ∴、不能确定． 故答案为：A. 【分析】设任意相邻三个数的和为，根据“任意相邻三个数的和都相等”可得，，，据此解答即可． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵-1<a<0，-1<b<0，且∣a∣=3∣b∣， ∴去绝对值得-a=-3b，即a=3b． ∵a，b均为负数，且∣a∣>∣b∣， ∴a<b<0． 又∵a-b=c，将a=3b代入得c=3b-b=2b． ∵b<0， ∴c<0，且∣c∣=2∣b∣． ∵∣a∣=3∣b∣，∣c∣=2∣b∣，∣b∣=∣b∣， ∴∣a∣>∣c∣>∣b∣，即a<c<b<0． 综上，点A，B，C在数轴上从左到右的顺序为A，C，B，且均在-1与0之间． 故答案为：A. 【分析】先根据∣a∣=3∣b∣及a，b均为负数，推出a=3b，从而得到a<b<0；再将a=3b代入a-b=c，得c=2b，可知c<0；接着由∣a∣=3∣b∣，∣c∣=2∣b∣，推出∣a∣>∣c∣>∣b∣，即a<c<b<0；最后确定三点均在-1与0之间，从左到右顺序为A，C，B，逐一对照选项找出对应选项A． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：A. 2+(-2)÷3= ，A错误； B. ，B错误； C. ，C正确； D. ，D错误. 故答案为：C 【分析】有理数混合运算的顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的。 5．【答案】D 【解析】【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号． 【解答】原式=（+5)+（-3)+（+1)+（-5)=5-3+1-5． 故选D． 【点评】必须统一成加法后，才能省略括号和加号． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：设被涂损的数为 ，则原方程为： 化简得： 根据绝对值的定义，分两种情况： ，解得 ，解得 所以，●表示的数是 10或-4， 故答案为：D。 【分析】设被涂损的数为 ，将题目转化为含绝对值的方程 ，先化简方程，再根据绝对值的定义分情况讨论，求出 的值。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 【分析】根据绝对值的性质逐项进行判断即可求出答案. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：， （1-）÷=4（天）. 故答案为：C. 【分析】先求出 乙、丙合作合作的工作效率，进而得出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵三个有理数a，b，c的积是负数， ∴这三个数是两正一负或三负， 又∵这三个数的和是正数， ∴这三个数是两正一负， 不妨设a＞0，b＞0，则c＜0， ∴x1+1﹣1＝1， ∴x19﹣x+2 ＝119﹣1+2 ＝1﹣1+2 ＝2， 故答案为：B． 【分析】先分析出这三个数是两正一负，再求出x1+1﹣1＝1，最后将其代入x19﹣x+2计算即可. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：1×73+3×72+2×7+6 =1×343+3×49+2×7+6 =343+147+14+6 =510 故答案为：B . 【分析】类比现在我们的十进制“满十进一”， 可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数. 11．【答案】120 【解析】【解答】解：要使抽取的3张卡片数字积最大，需利用“负负得正”的规则，优先选择绝对值大的负数与正数组合： 从卡片、、、、中，选择、、，其积为： ． 故答案为：120． 【分析】根据 “负负得正” 的有理数乘法规则，选择绝对值最大的两个负数 −6、−5 与最大的正数 +4 相乘，即可得到最大积。 12．【答案】①③④⑤ 【解析】【解答】解：①由，得，①符合题意； ②由，得，故，②不符合题意； ③当时，；当时，，故不可能为负数，③符合题意； ④由且，得，则，④符合题意； ⑤由，可知、、中负数的个数为或或， 当负数的个数为时，设为负数，、为正数，那么， 当负数的个数为时，设、为负数，为正数，那么，则， 当负数的个数为时，则、、都是负数，那么，则， ⑤符合题意． 综上，符合题意的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【分析】本题考查相反数和绝对值的概念，需理解定义并运用相关性质分析各选项。 13．【答案】11+10+5-2=24(答案不唯一) 【解析】【解答】解：11+10+5-2=24， 故答案为：11+10+5-2=24. 【分析】利用四则运算符号连接，使得四个数的运算结果为24即可. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：根据题意，可得出，要求的数为：。 故答案为： 【分析】首先根据题意列出算式，进而进行计算，即可得出答案。 15．【答案】 【解析】【解答】解：设，① 则，② ，得 ∴． 故答案为：． 【分析】本题考查有理数的混合运算及错位相减求和，设和为S，再乘公比4得4S，两式相减消去中间项，作差后化简得结果. 16．【答案】 【解析】【解答】解：由对数的定义可知： ， ； ， ． 代入原式： 故答案为：. 【分析】先求出，，再将其代入计算即可. 17．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】本题主要考查有理数的混合运算，重点考察含乘方的运算顺序和运算律的应用，解题时需熟练掌握相关运算法则。 （1）运算顺序解析：首先计算乘方运算，然后进行乘除运算，最后完成加减运算； （2）简便运算提示：该小题可利用乘法分配律进行简化计算。 18．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【解析】【分析】（1）先根据乘法分配律把计算得，再根据有理数的乘法运算法则求解，然后计算加减即可. （2）先把计算乘方，然后计算乘除得，最后计算加减． 19．【答案】解：，，. 在数轴上表示如下： . 【解析】【分析】对含有乘方、绝对值、相反数的数进行化简，明确每个数的具体值；接着将化简后的数在数轴上找到对应位置；最后依据数轴上数的大小规律（左边的数小于右边的数），用“<”连接各数. 20．【答案】（1）1051 （2）解：本周产量最多的一天比最少的一天多生产（个）； （3）解：∵（个）， ∴超额完成任务，比计划多生产个，即本周总的生产了个， ∵每生产一个工艺品可得元，超过的部分每个另外奖励元， ∴（元）， ∴这一周应付出的工资总额为元． 【解析】【解答】解：（1）前三天共生产工艺品（个）； 【分析】 （1）利用前三天的计划工作量加上与计划超过或不足的量即可； （2）先分别确定出产量最多的一天和产量最少的一天的工作量，再作有理数的减法运算即可； （3）先求出本周与计划相比的量可得超出或不足的部分，再求出实际生产量，再按照计件工资方案计算即可． 21．【答案】（1）解：青龙校区在 汉屯校区在 如图， （2）解：由（1）可得，青龙校区在校本部的西边，距离校本部 （3）解： 答：店子校区距青龙校区 （4）解： 答：整个参观过程中，轿车一共消耗升油 【解析】【分析】(1)本题考察数轴的应用（表示有理数），以校本部为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，计算各校区位置：青龙校区位置为 ，汉屯校区位置为 ，在数轴上对应位置标出两点； (2)本题考察正负数的实际意义，数轴上负数表示向西，正数表示向东，青龙校区对应数为 ，故在西边，距离为该数的绝对值 7km； (3)本题考察数轴上两点间距离的计算，店子校区位置为 2，青龙校区位置为 ，两点间距离为 ； (4)本题考察有理数加法在路程计算中的应用，总路程为各段行驶距离的绝对值之和（行驶距离无方向），即 ，再乘以每千米耗油量 0.5L，得到总耗油量。 22．【答案】（1）1；4 （2）解：因为log5|m-4|=2，所以|m-4|=25，解得m=29或m=-21，所以m的值为29或-21. （3）解：因为 所以3+log4x=5，所以. 当x=16时，2(x-1)=2×(16-1)=30. 【解析】【解答】解：(1)因为： ，所以log33=1. 因为 而 所以 故答案为1，4. 【分析】(1)根据“如果 则 进行解答即可； (2)根据新定义的运算，得出再根据绝对值的定义求出答案即可； (3)根据新定义的运算求出 ，进而得到 再根据新定义运算求出结果即可. 23．【答案】（1）1；-； （2）C （3）（）n-2； （4）= （5）解： =12+（-）6-2÷25-2×4-（-48）÷44-2 =12+÷8×4-（-48）÷16 =12++3 =15. 【解析】【解答】解：（1） 5② =5 ÷5=1；=（-）÷（-）÷（-）=-××=-； 故第1空答案为：1；第2空答案为：-； （2）A： 当m≠0时，，所以A正确； B：当m≠0时，，所以B正确； C：正数的n次商结果是正数，负数的偶次商结果是正数，负数的奇次商结果是负数，所以C错误； D：n次商等于它本身的数是1 ，所以D正确。 故答案为：C； （3）a（n）=a÷a÷a÷a÷...÷a=a××××...×=（）n-2； 故答案为：（）n-2； （4） =（-）8-2=；=（）5-2=； 所以=， 故答案为：=， 【分析】（1）根据除方的定义进行计算即可得出答案； （2）根据除方的定义逐项进行计算，即可得出答案； （3）根据文字叙述以及除方的定义，进行推导归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的结论，把除方转化成乘方进行计算，即可得出答案； （5）根据（3）的结论，把除方转化成乘方，并进行有理数的混合运算，即可得出答案。 学科网（北京）股份有限公司 $