第18讲 直线与抛物线的位置关系讲义（知识详解+10典例精讲+课后作业）2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册暑假预习

第18讲 直线与抛物线的位置关系 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与抛物线的位置关系 知识点02：弦长问题 知识点03：抛物线的中点弦问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与抛物线的位置关系 题型02：求抛物线的切线方程 题型03：直线与抛物线交点相关问题 题型04：根据韦达定理求参数 题型05：求直线与抛物线相交所得弦的弦长 题型06：抛物线中的三角形或四边形面积问题 题型07：抛物线的中点弦 题型08：抛物线焦点弦的性质 题型09：抛物线中的参数范围及最值 题型10：抛物线中的定点、定值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 【例1】判断直线与抛物线的位置关系。 解：第一步：联立直线与抛物线方程 第二步：代入消元 将代入得： 展开整理： 第三步：计算判别式 方程为一元二次方程，其中 第四步：判定结论 ，因此直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点。 答：直线与抛物线相切。 【知识点02】弦长问题 设直线与抛物线交于两点，联立方程消元得二次方程，弦长通用公式： 1. 以为变量： 2. 以为变量： 抛物线专属结论：过抛物线焦点的弦，焦点弦长 。 【例2】已知直线与抛物线交于两点，求弦的长度。 解：第一步：联立方程消元 代入得： 整理得： 第二步：韦达定理求值 ，直线斜率 第三步：代入弦长公式 答：弦长 【知识点03】抛物线的中点弦问题 设抛物线弦，端点，弦中点，满足。 以抛物线为例： 两式作差： 因式分解： 整理得中点弦斜率公式： 【例3】已知抛物线的一条弦的中点为，求弦所在直线的方程。 解：第一步：设点并代入抛物线方程 设，两点在抛物线上： 第二步：点差法作差变形 两式相减： 第三步：代入中点条件求斜率 由中点得： 直线斜率： 第四步：求直线方程 由点斜式： 整理得： 答：弦所在直线方程为 【题型01】判断直线与抛物线的位置关系 【典例1-1】直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过点，∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1-1】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式1-2】过点且倾斜角为的直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交且有两公共点 B．相交且有一公共点 C．有一公共点且相切 D．无公共点 【答案】C 【分析】先求出直线方程，然后再联立直线与抛物线方程，通过零点的个数，判断两者之间的位置关系即可． 【详解】因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为， 将与联立可得， 所以且有重根， 所以该直线与抛物线有唯一公共点且相切. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，属于基础题． 【变式1-3】已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且 ，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ； (2)直线PB与曲线C相切，证明见解析. 【分析】（1）根据设点法和向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量的坐标计算和直线与曲线的联立即可求解. 【详解】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为． 因为 ， 所以. 所以． ∴点P的轨迹方程为 ． （2）    直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为， 点A的坐标为． 因为， 所以． 所以点B的坐标为． 所以直线PB的斜率为． 因为 所以． 所以直线PB的方程为 代入， 得. 因为 所以直线PB与曲线C相切． 【题型02】求抛物线的切线方程 【典例2-1】（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设切线方程为，与抛物线方程联立方程组，消元，然后由判别式等于0求得，得切线方程. 【详解】设切线方程为， 由得， 所以，解得或， 所以切线方程为或，即或. 【变式2-1】抛物线在处的切线方程为______． 【答案】 【分析】设出切线，联立抛物线与切线消x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程. 【详解】设切线为，联立抛物线与切线消x得，由得，故切线为. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为_____. 【答案】或 【分析】设切线方程，再联立令求解即可． 【详解】由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 【变式2-3】已知抛物线的一条切线的斜率为3，求这条切线方程． 【答案】. 【分析】设出切线方程，联立抛物线方程后利用求出，得到切线方程. 【详解】设切线方程为，与抛物线方程联立得：， 由得：， 所以这条切线方程为，即． 【题型03】直线与抛物线交点相关问题 【典例3-1】（25-26高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 【答案】B 【分析】由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案. 【详解】由可得,将代入方程，解得, ，可得轴，从而点的纵坐标为2或， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，依题意，即，解得. 所以直线的斜率为. 【变式3-1】（24-25高二下·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则__________. 【答案】/0.25 【分析】由题意可得直线的方程为，与抛物线方程联立方程组，求得的坐标，进而求得中点的坐标，进而可得的坐标，计算可求值. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，直线的方程为， 由，可得，整理得， 解得或，当时，，当时，， 所以，，所以， 又中点，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 【变式3-3】（25-26高二上·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算求出即可求解； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. 【详解】（1）抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； （2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 【题型04】根据韦达定理求参数 【典例4-1】抛物线与直线交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为，直线与x轴交点的横坐标是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立抛物线与直线方程，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，结合，求出答案. 【详解】，消去y得，可知， 令得，所以，其他选项均不正确. 故选：B 【变式4-1】已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】利用韦达定理和抛物线的定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设直线，，， 联立，整理得， 则，故. 因为，， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选:C. 【变式4-2】抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，且线段的中点的横坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】设，与抛物线方程联立可得，由可构造方程求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，可设，，， 由得：，， 又线段中点横坐标为，，又，. 故答案为：. 【变式4-3】已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线方程求出，可得抛物线的方程； （2）设，联立直线和抛物线的方程，消元写出韦达定理，将用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得的值． 【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为； （2）设，联立，得， ，得，则， 因为，则， 则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意； 综上，m的值为． 【题型05】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【典例5-1】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 【变式5-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则=_____ 【答案】 【分析】由抛物线性质求解抛物线方程；解得焦点坐标，表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【详解】由抛物线的性质，故抛物线.焦点坐标为 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设，联立， 所以，故. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 【答案】13 【分析】求出抛物线的方程，利用弦长公式求解即可. 【详解】由抛物线 的焦点为 ，可得 ，即 ， 抛物线方程为 ， 过焦点 且斜率为 的直线 方程为 ， 联立抛物线方程与直线方程：， 得 ，整理得 ， 设 ， ，则 ， ， 弦长公式为： 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 【题型06】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【典例6-1】已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用抛物线的定义求得点P的横坐标，进而求得纵坐标，然后由求解. 【详解】因为抛物线C：， 故由，解得， 所以， 所以的面积为． 故选：D 【变式6-1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段检测）设点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则的面积是__________. 【答案】 【分析】设直线方程，设，，联立直线和抛物线方程，结合抛物线定义以及韦达定理，得出坐标，以及直线方程，利用两点之间距离公式和点到直线的距离公式，即可求出结果. 【详解】由题知，设直线为， 联立，得， 设，，则， 所以，，不妨令， 则，， 所以，， 所以，直线为，即， 所以， 又到直线距离为， 所以的面积为. 故答案为： 【变式6-2】已知抛物线：的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)128 【分析】（1）根据已知条件列出方程，解方程即可得出结果； （2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出相关点的坐标，进而利用基本不等式计算最小值，最后求解四边形的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 因为，所以，解得，所以的方程为．    （2）由（1）知，直线的斜率存在且不为0． 设直线的方程为，，， 由消去得，则， 所以，因为点G是AB的中点， 所以，同理得， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为8． 根据对称性，不妨取，即直线AB的方程为， 则，同理得，故． 【变式6-3】（25-26高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 【答案】(1); (2); 【分析】(1)由点P在抛物线上及，结合抛物线定义求p，得到方程； (2)联立直线AB:与抛物线方程，结合韦达定理与，可解得的值，再利用弦长公式和点到直线的距离求解. 【详解】（1）    因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）知，，， 易知过点F的直线斜率不为0，设其方程为， 将代入，得到， 设，，则，， ， ， ，， 因为P在以为直径的圆上， 所以， 即， 化简得：，解得：或. 当时，直线为，此时 但与重合，舍去. 当时，直线为，此时，， 则, 点到直线的距离：， 所以的面积为. 【题型07】抛物线的中点弦 【典例7-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 【变式7-1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 【变式7-2】若点是抛物线的弦的中点，则弦的长为_______ 【答案】 【解析】设出点的坐标，分别代入抛物线的方程，两式相减，利用中点纵坐标求得直线的斜率，从而求得的方程，最后联立方程组，利用弦长公式，即可求解. 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减，可得， 所以直线的方程为，即， 代入抛物线的方程得，则， 则， 即弦的长为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中涉及到曲线的弦的中点和斜率时，可采用“点差法”求解，得出直线的方程式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 【变式7-3】（2025高二上·浙江温州·专题练习）过点作抛物线的弦，恰被点平分，求的所在直线方程及弦的长度. 【答案】， 【分析】解法1、利用点差法，设，得，则，根据点斜式即可求直线方程；解法2、设，联立曲线方程，根据韦达定理即可求得斜率，得到直线方程及弦长. 【详解】解法1：设以为中点的弦端点坐标为， 则有，两式相减，得. 又， 则， 所以所求直线的方程为，即， 点在抛物线内，所以直线符合条件， 由整理得，，则. 由弦长公式得，. 解法2：设所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又是的中点，， 所以所求直线的方程为. 由整理得，，则. 由弦长公式得，. 【题型08】抛物线焦点弦的性质 【典例8-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 【答案】3 【分析】焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出，即得解. 【详解】抛物线的准线方程为. 设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′， 则有， ∵M到y轴距离为1，∴， 所以． 故答案为：3 【变式8-2】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（    ） A．的坐标为 B． C．的最小值为2 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据抛物线的性质求焦点坐标即可判断，对于B，设直线，联立方程组结合根与系数的关系求即可判断，对于C，结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值即可判断，对于D，根据抛物线定义利用表示，进一步计算即可判断. 【详解】对于A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，故的坐标为，故A正确； 对于B，设直线，联立，得， 方程的判别式， ，， ，， 故，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； 对于D，由， 得，故D正确. 【变式8-3】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）由已知得出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线焦半径公式求解. 【详解】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故    【题型09】抛物线中的参数范围及最值 【典例9-1】（2026高二·全国·专题练习）已知直线（斜率大于0）过点，且与抛物线交于两点，，若抛物线上存在一点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，利用向量加法的坐标表示可得，设直线方程为①，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入①式解出的范围，最后令解出，结合函数单调性求范围即可. 【详解】设，，， 则，，，，，， 因为，所以，解得， 代入方程得，即①， 设直线方程为，联立消去得， 所以，即，，， 代入①得，即，则，解得， 故，解得， 对于，令，得， 易知函数在单调递增，故当时，， 所以的取值范围为， 故选：A 【变式9-1】（24-25高二下·浙江·阶段检测）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设为曲线上一点，利用点到直线的距离公式可得，可求最小值. 【详解】设为曲线上一点，则， 则到直线的距离为， 当且仅当令，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式9-2】（多选）已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D．抛物线C上的动点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，求出，从而得到，求出；B选项，联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，由焦点弦弦长公式求出；C选项，在B选项基础上求出，结合焦半径公式得到；D选项，设，表达出点到直线的距离为，求出最小值. 【详解】A选项，由抛物线，可得焦点为， 因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A正确； B选项，联立方程组，整理得， 设，则，， 由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确； C选项，由，解得， 根据抛物线的定义，可得， 所以，所以C错误； D选项，设是抛物线上的任意一点，可得， 则点到直线的距离为， 当时，，所以D正确. 故选：ABD. 【变式9-3】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入抛物线方程可得答案. （2）由题可得，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及题意可得关于t的不等式，据此可得答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 【题型10】抛物线中的定点、定值 【典例10-1】已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的直线方程为，从而得解. 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 【变式10-1】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为，顶点为，其上两点（均异于原点）满足，则直线过定点_____；过点作于点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设直线，与抛物线方程联立，再根据，由求解；由，设，与抛物线方程联立，求得点C的坐标，再利用两点间的距离求解. 【详解】如图所示， 不妨设直线，， 由，得， 所以，从而． 由可知，解得， 此时满足题意， 所以直线，过定点． 因为，所以不妨设， 由,得,即，又， 所以． 因为，所以， 即的取值范围是． 多解 由二级结论“若直线与抛物线交于两点，为坐标原点， 且，则直线过定点，反之亦成立”，知直线过定点． 设，直线与轴的交点为，则． 因为，所以， 所以，即． 设圆心，所以， 又两点均异于原点，所以， 即的取值范围是． 故答案为：， 【变式10-2】（多选）（25-26高二下·浙江·期中）抛物线，分别为坐标原点和抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，表示直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．当时，弦长等于8 B．的最小值为6 C．为定值 D．当存在时，的中垂线恒过定点 【答案】AC 【分析】设，对于A，求出直线的方程，联立方程，再根据焦点弦公式求解即可；对于B，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据焦半径公式结合基本不等式即可判断；对于C，根据数量积的坐标公式判断即可；对于D，求出中垂线的方程判断即可. 【详解】由题意，设， 对于A，当时，直线的方程为， 联立，消得，， 则， 所以，故A正确； 对于B，易得直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消得， 则，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，由B选项得， 即为定值，故C正确； 对于D，由B选项得， 则线段的中点坐标为，线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为， 即， 该方程含三次项，无法对任意找到固定点使得等式成立， 所以当存在时，的中垂线不过定点，故D错误. 【变式10-3】（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】(1)，； (2)证明:由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【详解】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）略 知识点01直线与抛物线的位置关系 1. 判定核心方法 将直线方程与抛物线标准方程联立，消去一个变量得到方程，通过方程类型与判别式判定位置关系（以开口向右抛物线 为例）。 2. 位置关系判定规则 ① 联立得一元二次方程（二次项系数不为0）： ② 联立得一元一次方程（二次项系数为0）： 直线与抛物线对称轴平行/重合，相交且仅有1个交点（非相切）。 3. 核心易错点 抛物线与直线有一个交点不等价于相切，必须区分：判别式为0是相切，平行对称轴为相交，二者本质不同。 知识点02直线与抛物线的弦长问题 1. 通用弦长公式 设直线与抛物线交于，直线斜率为，利用韦达定理求解，无需求单点坐标： 2. 焦点弦专属公式（必考） 针对抛物线，若弦过抛物线焦点，则焦点弦长： 3. 解题核心思路 联立方程→整理二次方程→利用韦达定理得→代入弦长公式求值，简化运算流程。 知识点03抛物线中点弦问题（点差法） 1. 点差法核心原理 设抛物线弦，端点，弦中点，满足。 以为例，代入两点作差： 2. 中点弦斜率公式 3. 适用场景与注意事项 适用于已知中点求弦斜率、弦所在直线方程、中点轨迹问题，规避复杂联立运算。 关键验证：点差法求出直线后，必须代入抛物线验证，排除无交点的伪弦情况。 知识点04本节核心总结与高频易错点 1. 核心知识体系 以联立方程、韦达定理为基础，掌握位置关系判定、弦长计算、中点弦点差法三大核心题型，是圆锥曲线解答题基础考点。 2. 高频易错汇总 （1）混淆相切与平行对称轴的单交点情况，误用判别式判定位置关系； （2）随意套用焦点弦长公式，仅过焦点的弦可使用； （3）点差法解题忽略验证判别式，出现伪弦错误； （4）死记中点弦斜率公式，未根据抛物线开口方向灵活推导，导致公式套用错误。 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 2．（24-25高二上·贵州黔西南·期末）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可. 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为：， 当且仅当时等号成立，此时， 所以点到直线的最短距离为. 故选：B. 3．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，由得出与的等式，再由基本不等式即可求解的最小值． 【详解】由题可知，直线的斜率不为0，设直线方程为， 代入抛物线方程整理得，，， ， 则， 所以，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 而没有固定的最小值，因为当直线的斜率变化时， 可以取到不同的值，不存在固定的最小值. 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 6．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，设点的横坐标为，利用抛物线的性质可得，，结合是等腰直角三角形解出即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点为, 过点作轴于点， 设点的横坐标为，则，由抛物线的性质得， 因为直线的斜率为1，所以，是等腰直角三角形， 所以，即，解得， 故选：B 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】由求出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解． 【详解】设．因为， 所以，则16，解得． 由抛物线的对称性，不妨取，则直线的斜率， 所以直线的方程为． 由得，解得或，则 ，故的面积是． 故选：A. 8．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 二、多选题 9．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义与性质依次验证选项即可，对于C，只需要考虑是否存在内角为的情况即可. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 10．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 11．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 【答案】 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有，解得， 因此抛物线方程为，焦点，    如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 【答案】 【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 14．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 【答案】4 【分析】由抛物线的定义分析可得，再解三角形可得. 【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4.      四、解答题 15．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 16．（25-26高二上·广西北海·期末）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理可求答案； （2）联立方程，根据向量关系求出斜率，结合抛物线定义可求答案. 【详解】（1）的准线方程为：，故; 易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，由直线l与C相切，可得， 解得，故直线l的方程为或. （2）设，易知直线l的斜率存在，设直线l: , 联立，，则，； 因为，所以，即有； 代入上式可得，解得，即； . 17．（25-26高二上·宁夏·期末）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为2，求的面积. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据，求面积即可. 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2）由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 18．（25-26高二下·海南·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． (1)求抛物线的标准方程和线段的长． (2)求的值． 【答案】(1)抛物线的标准方程为， (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦点弦长公式可求得的值； （2）利用抛物线的焦半径公式和韦达定理可求得的值． 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点，，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故． （2）． 19．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 直线与抛物线的位置关系 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与抛物线的位置关系 知识点02：弦长问题 知识点03：抛物线的中点弦问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与抛物线的位置关系 题型02：求抛物线的切线方程 题型03：直线与抛物线交点相关问题 题型04：根据韦达定理求参数 题型05：求直线与抛物线相交所得弦的弦长 题型06：抛物线中的三角形或四边形面积问题 题型07：抛物线的中点弦 题型08：抛物线焦点弦的性质 题型09：抛物线中的参数范围及最值 题型10：抛物线中的定点、定值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 【例1】判断直线与抛物线的位置关系。 【知识点02】弦长问题 设直线与抛物线交于两点，联立方程消元得二次方程，弦长通用公式： 1. 以为变量： 2. 以为变量： 抛物线专属结论：过抛物线焦点的弦，焦点弦长 。 【例2】已知直线与抛物线交于两点，求弦的长度。 【知识点03】抛物线的中点弦问题 设抛物线弦，端点，弦中点，满足。 以抛物线为例： 两式作差： 因式分解： 整理得中点弦斜率公式： 【例3】已知抛物线的一条弦的中点为，求弦所在直线的方程。 【题型01】判断直线与抛物线的位置关系 【典例1-1】直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1-1】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1-2】过点且倾斜角为的直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交且有两公共点 B．相交且有一公共点 C．有一公共点且相切 D．无公共点 【变式1-3】已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且 ，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 【题型02】求抛物线的切线方程 【典例2-1】（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-1】抛物线在处的切线方程为______． 【变式2-2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为_____. 【变式2-3】已知抛物线的一条切线的斜率为3，求这条切线方程． 【题型03】直线与抛物线交点相关问题 【典例3-1】（25-26高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A． B．±1 C． D．±2 【变式3-1】（24-25高二下·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，过的中点作轴的垂线交于点，则__________. 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【题型04】根据韦达定理求参数 【典例4-1】抛物线与直线交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为，直线与x轴交点的横坐标是，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【变式4-2】抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，且线段的中点的横坐标为，则的值为______． 【变式4-3】已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值． 【题型05】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【典例5-1】（24-25高二上·全国·课前预习）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【变式5-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过的直线与交于，两点.若直线的倾斜角为45°，则=_____ 【变式5-2】（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 【变式5-3】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【题型06】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【典例6-1】已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段检测）设点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则的面积是__________. 【变式6-2】已知抛物线：的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积． 【变式6-3】（25-26高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以为直径的圆上，求的面积． 【题型07】抛物线的中点弦 【典例7-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式7-1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若点是抛物线的弦的中点，则弦的长为_______ 【变式7-3】（2025高二上·浙江温州·专题练习）过点作抛物线的弦，恰被点平分，求的所在直线方程及弦的长度. 【题型08】抛物线焦点弦的性质 【典例8-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则_____． 【变式8-2】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（    ） A．的坐标为 B． C．的最小值为2 D． 【变式8-3】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【题型09】抛物线中的参数范围及最值 【典例9-1】（2026高二·全国·专题练习）已知直线（斜率大于0）过点，且与抛物线交于两点，，若抛物线上存在一点，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二下·浙江·阶段检测）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为________． 【变式9-2】（多选）已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D．抛物线C上的动点到直线距离的最小值为 【变式9-3】（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【题型10】抛物线中的定点、定值 【典例10-1】已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为，顶点为，其上两点（均异于原点）满足，则直线过定点_____；过点作于点，则的取值范围是_____． 【变式10-2】（多选）（25-26高二下·浙江·期中）抛物线，分别为坐标原点和抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，表示直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．当时，弦长等于8 B．的最小值为6 C．为定值 D．当存在时，的中垂线恒过定点 【变式10-3】（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 知识点01直线与抛物线的位置关系 1. 判定核心方法 将直线方程与抛物线标准方程联立，消去一个变量得到方程，通过方程类型与判别式判定位置关系（以开口向右抛物线 为例）。 2. 位置关系判定规则 ① 联立得一元二次方程（二次项系数不为0）： ② 联立得一元一次方程（二次项系数为0）： 直线与抛物线对称轴平行/重合，相交且仅有1个交点（非相切）。 3. 核心易错点 抛物线与直线有一个交点不等价于相切，必须区分：判别式为0是相切，平行对称轴为相交，二者本质不同。 知识点02直线与抛物线的弦长问题 1. 通用弦长公式 设直线与抛物线交于，直线斜率为，利用韦达定理求解，无需求单点坐标： 2. 焦点弦专属公式（必考） 针对抛物线，若弦过抛物线焦点，则焦点弦长： 3. 解题核心思路 联立方程→整理二次方程→利用韦达定理得→代入弦长公式求值，简化运算流程。 知识点03抛物线中点弦问题（点差法） 1. 点差法核心原理 设抛物线弦，端点，弦中点，满足。 以为例，代入两点作差： 2. 中点弦斜率公式 3. 适用场景与注意事项 适用于已知中点求弦斜率、弦所在直线方程、中点轨迹问题，规避复杂联立运算。 关键验证：点差法求出直线后，必须代入抛物线验证，排除无交点的伪弦情况。 知识点04本节核心总结与高频易错点 1. 核心知识体系 以联立方程、韦达定理为基础，掌握位置关系判定、弦长计算、中点弦点差法三大核心题型，是圆锥曲线解答题基础考点。 2. 高频易错汇总 （1）混淆相切与平行对称轴的单交点情况，误用判别式判定位置关系； （2）随意套用焦点弦长公式，仅过焦点的弦可使用； （3）点差法解题忽略验证判别式，出现伪弦错误； （4）死记中点弦斜率公式，未根据抛物线开口方向灵活推导，导致公式套用错误。 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·贵州黔西南·期末）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 10．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 11．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 三、填空题 12．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______． 14．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 四、解答题 15．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 16．（25-26高二上·广西北海·期末）设抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点M，直线l过点M. (1)若直线l与C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且，求. 17．（25-26高二上·宁夏·期末）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为2，求的面积. 18．（25-26高二下·海南·期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． (1)求抛物线的标准方程和线段的长． (2)求的值． 19．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $