第04讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线、平面位置关系，以空间中点线面的向量表示为基础，通过平面法向量搭建工具桥梁，系统梳理空间平行与垂直关系的向量表示，形成从概念到工具再到应用的完整学习支架。 资料以知识点与题型紧密结合为特色，基础题型覆盖方向向量、法向量及平行垂直证明，提升题型聚焦已知位置关系求参数，培养学生数学思维（推理、运算）与数学语言（向量模型表达）。课中助力教师分层教学，课后学生可针对性练习，有效查漏补缺。

第04讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 2 知识点2 平面的法向量 2 知识点3 空间平行关系的向量表示 3 知识点4 空间垂直关系的向量表示 3 题型一 直线的方向向量 4 题型二 平面的法向量 5 题型三 证明异面直线的平行与垂直 5 题型四 证明直线与平面的平行与垂直 6 题型五 证明平面与平面的平行与垂直 8 【提升】题型六 已知平行与垂直，求其它 10 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 题型一 直线的方向向量 1. （多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 2. 已知空间直角坐标系中的点，平面过点并且与直线垂直，动点是平面内的任意一点，则直线的一个方向向量为 ， 3. 如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)；(2)． 题型二 平面的法向量 4. （多选）已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 题型三 证明异面直线的平行与垂直 5. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 6. （多选）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 7. （多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 题型四 证明直线与平面的平行与垂直 8. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 9. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 11. 如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 12. 如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    题型五 证明平面与平面的平行与垂直 13. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14. （多选）在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 16. （多选）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．存在，使得平面 B．当时，存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【提升】题型六 已知平行与垂直，求其它 17. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 18. 在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 19. （多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 20. 正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 21. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22. 已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点． (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 23. 已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 24. 如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 目录 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 2 知识点2 平面的法向量 2 知识点3 空间平行关系的向量表示 3 知识点4 空间垂直关系的向量表示 3 题型一 直线的方向向量 4 题型二 平面的法向量 5 题型三 证明异面直线的平行与垂直 6 题型四 证明直线与平面的平行与垂直 8 题型五 证明平面与平面的平行与垂直 12 题型六 已知平行与垂直，求其它 17 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 题型一 直线的方向向量 1. （多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 2. 已知空间直角坐标系中的点，平面过点并且与直线垂直，动点是平面内的任意一点，则直线的一个方向向量为 ， 【答案】 （答案不唯一） 【详解】直线的一个方向向量为， 3. 如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由已知可得，长方体顶点A，B，，的坐标分别为，，，． 因为向量，所以直线的一个方向向量为． （2）因为向量，所以直线的一个方向向量为． 题型二 平面的法向量 4. （多选）已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】BC【详解】由题意知，，因为，所以与不是共线向量，即A错误；的单位向量为，所以的单位向量为，即B正确； ，所以与夹角的余弦值为，即C正确；设平面的一个法向量为，则即， 令，则，所以，即D错误,故选：BC. 题型三 证明异面直线的平行与垂直 5. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 6. （多选）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 【答案】BD 【详解】由为正方体， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则､. 对于选项，，则，故错误； 对于选项，，则，故正确； 对于选项，，故，故错误； 对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确. 故选：. 7. （多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 题型四 证明直线与平面的平行与垂直 8. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 9. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 10. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 11. 如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不垂直，理由见解析. 【详解】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，，分别的中点，得， ，显然平面的一个法向量， 则，于是，有平面，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，，则有，而， 于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面， 所以与平面不垂直. 12. 如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【详解】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 题型五 证明平面与平面的平行与垂直 13. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意或. 故选：B. 14. （多选）在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 【答案】AD 【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则, 则, 则， 故，即， 而平面，故平面，A正确； 由于，且没有倍数关系， 即两向量不共线，故不平行，B错误； 由于平面，平面，, 故为异面直线，则，，，四点不共面，C错误； 由于平面， 故平面，又平面，故平面平面，D正确， 故选：AD 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 16. （多选）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．存在，使得平面 B．当时，存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】ACD 【详解】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 又点分别是的中点， 所以， A：设平面的一个法向量为，， 所以，取，解得， 设，，若平面，则， 所以， 所以当或（舍）成立，此时为的中点；故A正确； B：延用A中的解答，，若平面，则， 则，当且仅当时成立，故B错误； C：   当与D重合时，因为，且面，面，此时平面平面，故C正确； D：延用A中的解答，，则，因为， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 故选：ACD 【提升】题型六 已知平行与垂直，求其它 17. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，.故选：D. 18. 在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 19. （多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 【答案】AC 【详解】对A：因为正方形的面积为4，点到平面的距离为， 所以，即四棱锥的体积为定值，故选项A正确； 对B：把截面补形为四边形，易得， 故平面被正方体所截得的截面多边形为四边形，故选项B错误； 对C：以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，设， 设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则，解得， 所以存在点G，使平面．故选项C正确； 对D：设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则， 则，，分别解得，， 显然和不平行，所以不存在点G，使平面．故选项D错误． 故选：AC． 20. 正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 【答案】 【详解】建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，， ，．设，，， 又，则， 解得． 再根据如图2所示，作的平行线，分别为，，的中点，连接， 因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直平面的垂线上． 连接，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故，故， 由题可设，，所以， 又，所以，解得， 所以，所以， 所以球的表面积为． 故答案为：. 21. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）取中点，连接，如图， 又为的中点，，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，，若存在使得平面平面， 且，，则，解得，，则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则，，可得． 存在使得平面平面，此时 22. 已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点． (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面，所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即，综上，的最大值为，． 23. 已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 24. 如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）如图，连接，因为，所以．所以A，E，D，F四点共面． 因为在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点， 所以，．因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）如图，记的中心为O，连接， 由（1）平面，而平面，故， 又平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 过作直线，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是正三角形，，所以，，． 所以，，，，． 所以，． 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为，， 所以． 因为平面，所以， 即，解得， 此时．故DF的长为6． 学科网（北京）股份有限公司 $