第七章 立体几何与空间向量（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦立体几何与空间向量知识整合，通过概念辨析、计算推理及实际应用，系统构建空间观念与逻辑推理体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1,6|空间线面关系判定、充要条件分析|从线面垂直定义到空间位置关系推理，强化数学思维的严谨性| |几何体计算|选择2,3,9,填空10-12|体积表面积、球与截面、异面直线成角|以三视图、直观图为基础，衔接几何体度量与空间距离计算，体现数学眼光的空间感知| |空间向量应用|选择5,7,解答17-20|平行六面体棱长、动点轨迹、线面角|结合向量工具解决空间几何证明与计算，构建“几何问题代数化”逻辑链条| |实际应用|填空13-15|鳖臑外接球、卫星覆盖、方斗体积|以传统文化与现实情境为载体，渗透模型意识，实现数学语言对现实世界的表达|

第七章 立体几何与空间向量（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A A C C C D B D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．/ 11． 12. 4 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） (1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面；（7分） (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面.（14分） 17．（15分） （1）(1)法一：证明：连接交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以，又， 所以. （5分） 法二：证明：取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面；（5分） （2）由（1）法二知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为.（10分） （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积.（15分） 18．（15分） （1）(1)证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为,的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，， 又平面，所以平面；（4分） （2）由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2．（10分） （3）法一：取中点，连接，又为的中点， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 由（2）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面内，过作，所以平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 法二：设点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为平面，，， 所以； 因为，，， ， 由得 ，解得， 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（15分） 19．（15分） 【详解】(1) 连接， 在斜三棱柱中，与交于点，所以为的中点， 又D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面（5分） (2)因为四边形是矩形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面（10分） （3） 连结， 因为，，所以为正三角形， 所以， 由（2）可知平面， 平面平面， 因为， 所以平面， 所以是在平面上的投影， 所以是直线与平面所成的角， 在正中，，所以， 在中，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 20．（16分） （1）连接交于点，连接. 四边形为菱形，为的中点. 为的中点， .       平面，平面        平面.（5分） (2)（i）（ii）存在点， （2）（i）取中点为，连，连接 四边形为菱形，，. 三角形为正三角形，. 平面平面，平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. 三角形和三角形都为正三角形，且， . 所以. 因为， 与平面所成的角为. （10分） （ii）由（i）知，在三角形中，， 在三角形中，，， . 假定存在点，使得到平面的距离为 ， 又， ， 又， ， 存在点，当时，使得点到平面的距离为.（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 立体几何与空间向量（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“”，则“与内所有直线垂直”，故“与内无数条直线垂直”，必要性成立， 若“与内无数条直线垂直”，但这些直线均平行，则无法得到“”，充分性不成立， 故“与内无数条直线垂直”是“”的必要不充分条件. 2．某圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 因为侧面积为，所以， 所以圆锥的高为， 则该圆锥的体积为. 3．已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，． 4．已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斜二测画法可知，， 则． 5．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 6．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】选项A：线面平行的判定要求，题干未说明不在平面内，若，则不满足，因此A错误； 选项B：面面垂直的性质定理要求，题干未说明在平面内，若不在中，无法推出，因此B错误； 选项C：由，，可得；又，根据面面垂直的判定定理，可得，因此C正确； 选项D：题干未说明不在平面内，若，满足条件但不满足，因此D错误. 7．如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG． 因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以． 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 因为平面ABCD，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG，则平面EFG． 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG． 因为，所以． 因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 8．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）    A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 由，则， 所以， 因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误； 由， 且， 所以，故A错误，B正确. 9．若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得， 所以， 故，两点间距离的最大值为. 25 C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 【答案】/ 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 11．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 【答案】 【详解】由题知此球为长方体的外接球，球的半径为， 此球的表面积为：. 12．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________. 【答案】4 【详解】过作轴，垂足为，过作轴，交轴于点， 易知为等腰直角三角形，由， 得，所以， 故的边上的高为. 13．【新考法】为了提升城市中心的网络覆盖率，工程师在广场的一角设计了一座特殊的微型5G信号塔，该信号塔支架结构满足以下几何特征：①主桅杆垂直水平地面；②地面上的两个加固拉索锚点连线满足．如下图所示，经测量主桅杆的高度米，地面上两条直角边米，米．若将该信号塔的四个顶点，，，视为一个几何体的顶点，该几何体在古代《九章算术》中记载称之为“鳖臑”，则该“鳖臑”外接球的表面积为________． 【答案】 【详解】三棱锥可以补全长方体，三棱锥的外接球和长方体的外接球是同一个外接球， 所以， 所以外接球的表面积. 14．如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为．已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为______．（结果中保留反余弦的符号） 【答案】 【详解】如下图所示， ，， 因为， 所以，则， 因此弧长为． 15．【新考法】“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台. 如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为__________. 【答案】 【详解】设原盛满米的正四棱台容器的高为，上底面边长，下底面边长. 由题意可知，取出米后，米的高度下降一半， 则剩余米的部分是一个高为的正四棱台， 取出米的部分也是一个高为的正四棱台. 设高度下降一半处的截面（即剩余米的上底面）边长为， 由棱台的几何性质可知，该截面边长为上下底面边长的算术平均数， 即. 设米的密度为，剩余米的质量为. 取出米的体积为 ， 剩余米的体积为. 因为米的质量与体积成正比，所以， 解得. 故剩余的米的质量为. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 17．（15分）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)略(2).(3) 【详解】（1）(1)法一：证明：连接交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以，又， 所以. 法二：证明：取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2）由（1）法二知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 18．（15分）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）(1)证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为,的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，， 又平面，所以平面； （2）由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． （3）法一：取中点，连接，又为的中点， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 由（2）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面内，过作，所以平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：设点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为平面，，， 所以； 因为，，， ， 由得 ，解得， 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． 19．（15分）如图，在斜三棱柱中，与交于点，四边形是矩形，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】(1) 连接， 在斜三棱柱中，与交于点，所以为的中点， 又D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面 (2)因为四边形是矩形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面 （3） 连结， 因为，，所以为正三角形， 所以， 由（2）可知平面， 平面平面， 因为， 所以平面， 所以是在平面上的投影， 所以是直线与平面所成的角， 在正中，，所以， 在中，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20．（16分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，，，是正三角形. （i）求与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）连接交于点，连接. 四边形为菱形，为的中点. 为的中点， .       平面，平面        平面. (2)（i）（ii）存在点， （2）（i）取中点为，连，连接 四边形为菱形，，. 三角形为正三角形，. 平面平面，平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. 三角形和三角形都为正三角形，且， . 所以. 因为， 与平面所成的角为. （ii）由（i）知，在三角形中，， 在三角形中，，， . 假定存在点，使得到平面的距离为 ， 又， ， 又， ， 存在点，当时，使得点到平面的距离为. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 立体几何与空间向量（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知直线和平面，则“与内无数条直线垂直”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．某圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 3．已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 6．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（   ）    A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 9．若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 25 C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 11．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 12．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________. 13．【新考法】为了提升城市中心的网络覆盖率，工程师在广场的一角设计了一座特殊的微型5G信号塔，该信号塔支架结构满足以下几何特征：①主桅杆垂直水平地面；②地面上的两个加固拉索锚点连线满足．如下图所示，经测量主桅杆的高度米，地面上两条直角边米，米．若将该信号塔的四个顶点，，，视为一个几何体的顶点，该几何体在古代《九章算术》中记载称之为“鳖臑”，则该“鳖臑”外接球的表面积为________． 14．如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为．已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为______．（结果中保留反余弦的符号） 15．【新考法】“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台. 如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为__________. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 17．（15分）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．（15分）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（15分）如图，在斜三棱柱中，与交于点，四边形是矩形，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（16分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，，，是正三角形. （i）求与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $