第五章 平面向量与复数（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦平面向量与复数综合应用，以基础运算为根基，几何直观与实际情境为载体，覆盖核心考点与新考法，体现知识整合与素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|约6题|含纯虚数判断、模长计算、复平面位置等，结合方程应用|从概念（虚数单位）到运算（加减乘除），再到几何意义（复平面内点与向量），形成“概念-运算-应用”链条| |平面向量|约15题|涵盖坐标运算、线性表示、数量积、投影向量，结合三角形、正六边形等图形及引体向上实际情境，含动态范围问题|从线性运算（加减、数乘）到数量积（模长、夹角），再到几何应用（图形表示、投影），融入运动变化思想，体现“代数运算-几何直观-实际应用”逻辑|

第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A 2．若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 则. 故选：A. 3．如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 4．已知，，，若与共线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 已知，，根据向量数乘与加法的坐标运算法则可得： ， 因此， 由于与共线，根据平面向量共线的坐标充要条件可得： ， 整理得，解得. 5．如图，正六边形的边长为1，下列说法正确的是（   ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【详解】 对A，，则在上的投影向量为，A正确； 对B，由图易得，直线平分，且为正三角形，根据平行四边形法则有 ，与共线且同方向，易知，均为含的直角三角形，故 ，故 ，B错误； 对C，正六边形边长为1，因此, 正六边形每个内角为，在顶点C处，，也就是向量与的夹角为, 而与是方向相反的向量，因此与的夹角为：, 代入公式：,C错误; 对D，，D错误. 6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量为. 向量在向量上的投影向量的模长为. 7．【新考法】在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】画出受力分析图，如图所示：    平衡状态时，受重力 和两臂拉力 、 作用， 根据平衡条件可得 ，即 . 因为 ，设 ，  可得 ，即 ，其中 . 对于①，当 时， 取得最大值，此时 取得最小值 ，故①正确； 对于②，当 时，， 则 ，故②正确； 对于③，当 时，， 则 ，故③正确； 对于④，由平衡条件可知 ，结论中缺少系数 ，故④错误； 对于⑤，由 可知，当 增大时，其中， 增大， 减小， 分母减小，则 增大，即两臂夹角越大越费力，故⑤错误. 综上所述，正确的结论有①②③，共 个. 8．【新考法】若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、分别是、方向的单位向量，它们的和沿角的角平分线方向， 由可得角的平分线与边垂直，所以， 又，可得，又，解得， 向量在向量上的投影向量为. 9．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，所在的直线为直角坐标系的轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设扇形的半径为1，则，， 设，所以， ． 因为，所以， 解得 所以， 由此可知，，，． 因为,所以. 当,即时,,此时取最大值. 当时,因为即; 当时,因为 所以. 由于,且不含端点,故. 综上,的取值范围是. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 【答案】或 【详解】设，由为单位向量且， 则有，解得或， 所以或. 11．已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】2 【详解】由复数是纯虚数， 可得，解得. 12．在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】， 所以； ， ， , 与所成的夹角为， ， 令，则 当时，的最大值为. 13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 【答案】 【详解】，已知，， 所以， 已知三点共线，则与共线， ，且，不共线，所以存在一个实数，使得：， 即，则，故. 14．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 【答案】 【详解】； 又，因此； 则 因此； 故的虚部为. 15．【新考法】如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    【答案】 【详解】由是中点，故， 是中点，则， 是中点，则， 所以 整理得，即 由，得分满足， 由定比分点向量公式 ， ， 由已知，，得，故， 又，代入得 ， 所以， 由，得，当且仅当时取等号. 代入得最大值： . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知是虚数单位，复数，． (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)5(2)(3) 【详解】（1）当时，，所以， 所以． （2）， 因为复数是纯虚数，所以， 解得， 所以． （3）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，即， 所以，实数m的取值范围是． 17．（15分）已知为实数，为虚数单位，复数． (1)当时，求； (2)若复数的实部与虚部相等，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)10(2)(3) 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）因为复数的实部与虚部相等， 所以，所以， 所以； （3）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以， 所以. 18．（15分）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）， 故， ，则，解得． （2），解得， 由余弦定理， 则，解得， ， ． （3）由可知是中点，是中线， 则， 则，故， 由余弦定理， 两式相减得，解得， 故． 19．（15分）已知复数，其中为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求的值； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意得：，所以； （2）当时，，由复数是关于的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以， 所以； （3）当时，，所以复数所对应的平面向量为， 当时，，所以复数所对应的平面向量为， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 所以， 所以. 20．（16分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以，又，则，所以， 又，所以； （2）因为，且，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； （3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，，由得， 因为，，，所以设，， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当或时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围是. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 4．已知，，，若与共线，则实数（    ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边长为1，下列说法正确的是（   ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模长为（    ） A． B． C． D． 7．【新考法】在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 8．【新考法】若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．已知扇形中，点为弧上任意一点（不含点，），若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 11．已知复数是纯虚数，则实数______. 12．在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________． 14．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 15．【新考法】如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________．    三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知是虚数单位，复数，． (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17．（15分）已知为实数，为虚数单位，复数． (1)当时，求； (2)若复数的实部与虚部相等，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 18．（15分）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 19．（15分）已知复数，其中为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求的值； (3)当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 20．（16分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)若，且，，求的面积； (3)如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A B C A D B A D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．或 11．2 12. 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）当时，，所以， 所以．（4分） （2）， 因为复数是纯虚数，所以， 解得， 所以．（10分） （3）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，即， 所以，实数m的取值范围是．（14分） 17．（15分） （1）当时，，所以， 所以；（4分） （2）因为复数的实部与虚部相等， 所以，所以， 所以；（9分） （3）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以， 所以.（15分） 18．（15分） （1）， 故， ，则，解得．（4分） （2），解得， 由余弦定理， 则，解得， ， ．（10分） （3）由可知是中点，是中线， 则， 则，故， 由余弦定理， 两式相减得，解得， 故．（15分） 19．（15分） （1）由题意得：，所以；（4分） （2）当时，，由复数是关于的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以， 所以；（10分） （3）当时，，所以复数所对应的平面向量为， 当时，，所以复数所对应的平面向量为， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 所以， 所以.（15分） 20．（16分） （1）因为，所以由正弦定理得， 所以，又，则，所以， 又，所以；（4分） （2）因为，且，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积；（10分） （3）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，，由得， 因为，，，所以设，， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当或时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围是.（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $