第八章 平面解析几何（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦平面解析几何核心知识，以题组形式整合直线、圆、椭圆、双曲线等模块，覆盖概念辨析、性质应用及综合交汇问题，突出逻辑推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1、填空10|以充分必要条件、直线与圆位置关系为主，考查定义理解|从几何量关系到代数表达，构建概念与性质的关联| |曲线性质|选择2-5、7-8、填空14-15|聚焦离心率、渐近线、焦点三角形，强调公式推导与参数计算|通过标准方程串联a,b,c关系，形成性质应用的逻辑链| |交汇创新|选择6、9、填空12|涉及光线反射、向量几何、动态最值，体现跨模块整合|以几何直观为起点，用坐标法转化为代数问题，发展模型观念| |解答综合|解答16-20|椭圆背景下的方程求解、面积最值、定点定值证明，注重步骤完整性|从方程建立到性质应用，再到综合论证，培养推理与表达能力|

第八章 平面解析几何（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 3．双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 5．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 7．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 9．【新考法】已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 11．已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 12．【新考法】在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 13．已知圆：，过原点的一条直线与圆相切，且与焦点为的抛物线交于异于原点的点，若，则焦点的坐标为_____________． 14．双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 15．已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知椭圆的焦距为，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，求的取值范围． 17．（15分）椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积取最大值时的直线方程； (3)若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 18．（15分）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 19．（15分）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 20．（16分）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第八章平面解析几何（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题共45分) 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 6 8 9 答案 心 D B A A B D B 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 3 2626 2V7 10.1±√2 11.412.14/-0.7513.(6,0) 14. 3/3 15.7 三、解答题：本题共5小题，共5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) (1)焦距2c=22 ,放c=V 2,椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为0，故=5， =1 由a2=b2+c2得b=V5,故椭圆的方程为53.(4分) (②)直线'过点8,0 ,与椭圆交于M,N两点，故直线斜率一定存在，设直线'方程为”=x-3》,设 M,.N(,HG,W)由OM+0O丽=0丽2>0得 ,由 x+2=元x 次十因为点n在精氨上，所等+号-， G+,+- 代入得5 3 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 53 联立 y=kx-3),得(6+5k2)x2-30k2x+452-15=0,（7分) A=(30-46+582X456-150即2< 4 x+X2= 30k245k2-15 3+5k2,七3= 3+52,因为M'N两点，在直线上， 故y+5=年-3)+k-3)=k+x)-6k=-,18% 3+5k2, G+++=A4-180108-36 代入5 3 得(3+5k2)25k2+3,(10分) 13则曾0月，因为子所以3s1号 5t 4 则0≤2<4因为2>0，所以2e(0,2).（14分y 17.(15分) c 1 (1):椭圆离心率e=。-2,·a=2c x2y2 又a=+c,2=3c2,椭圆方程可化为4C+3C=1 3) 4c2 c2 .c2=1,a2=4,b2=3, 2y2」 -=1 “.椭圆C的标准方程为43.(4分) (2)由题意得左顶点4(-2,0)，设直线l的方程为y=k(x+2k≠0). 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=k(x+2) 联立 任号-1去，整理 y (3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0 16k2 己知x=-2是方程的一个根，设B(xa,ya）由韦达定理得x+。=3+4, 3+44+26-8x2 16k2 .X8= 3+4k2, 12k 代入直线方程得ya=k(xB+2)= 3+4k2: 的面积 ,其中 △AOB S-OA |OA=2 5x2 12k12k| 2 3+4k23+4k2 k=士 :k≠0，由基本不等式得3+4k2≥2V34k2=4W5k,当且仅当3=42即=2时等号成立 ss12k1=5 、.4W5k|,即△AOB面积最大值为V5,此时 2, 线的方程头-9+ .10分) (3)在y=《x+2中令x=0,得y=2k,.E(0,2). ,P是线段AB的中点， p== 8k2 2 3+4以，=4业=6k 2 3+4k2, 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.直线OP的斜率 xp 4k 假设x轴上存在定点M(m,O)满足题意，则直线ME的斜率e 2k-0--2k 0-m m .ME⊥OP, kk人监强2 该结果与k的取值无关，对任意k≠0均成立. 3 M ,0 .存在定点 、2’满足题意.(15分) 18.(15分) （山由于储圆的离心率为；，所以e=- a2,即a=2c 由于a2=b2+c2,所以b2=3c2, b2y2 解得3c 将x=b代入随圆方程，得a2b2一1，即4c2+3二1 4,0≥V3】 26, 由题意，所截得的线段长为V5,所y2×之c=v5 ，解得c=1,从而Q2=4,b2=3, x2 y2 所以椭圆的方程为4+了1(5分) (2)由(1)可知， 公=3，所以圆的方程为 2+y2=3 设直线'的方程为”=5x+m,因为直线'与圆相切，如图所示， 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d- m=m=5 则圆心到直线，的距离矿+P2 ,解 m=25’(8分) 辅圆上顶点40，v同)，分两种情况讨论： 0当m-2w5时，换，的小程列，+2，代入清圆程+若-1， 化简得5-16r+12-0:解罚x=2或-号。 则尚=2时，y=0当9时， =5,由于<，所以 2.o)255)月 64V5 45-5 3 则6=085与 k 。6店卫究 2-02 5 6 ②当m=-25时，直线，的方程为)=5x-25,代入椭圆方程4+号=山， 化简得5x+16x+12=0:解符x=-2或=写 5, 当x=2时少=0，当=时，y=45 6 64V3 P 5，由于片<⅓2，所以 55 ,0(-2,0) 45535 3v3 则4= k=2=3 -6-02’2-05-5,此时店 5 -2-02 2 飞 综上所述，k2的值为3.(15分) 5/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(15分) (1)由题意可知， a=2 由a2=b+c2 a=2 19 ,解得b=√5’ (a+4物=1 c-1 x2y2 心椭圆的方程：4+31 c I 离心率为e=。2(4分) (2) F(10,BL0),由于直线'斜率不为0，则设直线：x=m+-,B(,C(,为） x=my+-1 联立方任号1.：0m+4护-9-0 6m -9 所以片+片3m2+4出=3m2+4 焦点弦长|BC=1+mV+了-4-1+m [6m)2 4× -9 ,=V1+m2 、12Wm2+1 3m2+4 3m2+4 3m2+4, 12 d=- 点F到直线1的距离V√1+m2√1+m2, 5.cncd 12 =3m2+43m2+1+ 1 Vm2+1 令1=Vm1e≥，所以0=3+在[L)上单调递增，所以0≥0=4， 3m2+1+1≥4 所以 √m2+1,当m=0时等号成立， 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 所以 S.BCF: 3Vm2+1+ 1s3 当 时等号成立， √m2+1 m=0 △F,BC 即 3 面积的最大值为°(10分) B (访 A2,0) 当1⊥x轴时，交点 3 关于x轴对称，.点M,N关于原点对称，以MN为直径的圆 圆心为O,半径为OM OM40 2 :MO∥BE,△BFAAMOA,则BFAE3,OM=1, 又O=05=1,:圆0与辅的截得的弦为 EFF引=2 F F 当直线I斜率存在时，设直线：y=c+k, 设B(,,C(,) 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [y=kx+k 联立方程组 +号-1，得6-er+-12=0: 8k2 4k2-12 则x+x2= 3+4k2,七x3= 3+4k2, -9k2 =2(G+x+名+)-3+4状， 我w◆0则，2 w-2】 丽不器器1*4- 4yiy2 则 -9k2 即FM·FN=1+ 43+4 -36k2 4-2 8k2+4k2-12 =1+ 12+16k2+16k2+4k2-12 =1-1=0 3+4k23+4k2 R即MLF F,M⊥F,N ,同理可证 即点，F在以w为直径的圆上，又：，B在镇上， Fi,F2 ·以W为直径的圆被x轴截得的弦为5，FF2 综上所述：以N为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2.(15分) 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(16分) )由椭圆C,+岁=(a>b≥0.可得4-a,0,B(a,0,右焦点F(可 所以F=(c+a,0),FB=(a-c,0）,所以F.丽=a2-c2=l, 又a2-c2=b2,所以b2=1, 又裤国C%高6*为宁，所以后普段心-分扣-)-c-) c-3 2 解得a=4,所以椭图C的方程为4+广=， :(5分) (2)(i)因 M(,)N(),所以 M(-x,)N(2,-) 又因为M,N在椭圆C上，所以手+=山，草+片-山， 善喜听g-0,等经日 所以44 则低=之业片发 x-为-x-为2x-x号4. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M x(10分) 1 (i)显然直线与x轴不重合，设直线的方程为x=-3,1= >0 x=y-3 由4+y=1,得(+4p2-6+5=0, 所以4=36r-20+4)-16-5列>0，解得1>5 5 由根与系数的关系可得+片=14少=2 所以W=+7-为小=i+70+为广-45=+.42 t2+4, wN-g-g6,0. 南0=MM,有74-P16 t2+4tt2+4, 所以4+-5)=90+16），即4-25r2-164=0, ④，5 解得仁二4或t2=4(舍去)，所以s飞 所以直线的方程为=2y-3 .(16分) 10/10 第八章 平面解析几何（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 3．双曲线的左、右顶点分别为,点在双曲线上（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，, 故， 故，则. 故选：B 4．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为椭圆，所以半焦距满足，即， 故两焦点距离， 因为双曲线与共焦点，所以； 又因为渐近线为，则，即， 代入得，解得， 因为双曲线上的点，则， 两边平方得：， 又因为由，得， 由勾股定理得， 所以将代入得， 解得. 5．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得，， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 6．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 7．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意知：，，. 设，则，，则，， ，. 在中，，，， ，代入数据解得，， 所以. 8．已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的两条渐近线分别为和，由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为， 即，故两条渐近线分别为和， 设抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因此抛物线方程为，由于过外点作抛物线的切点弦方程为， 代入，得，因此直线的方程为， 在轴的截距为当时的值，代入得，即直线在轴的截距为，故D正确. 9．【新考法】已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为坐标原点，，， 所以直线的截距式方程为，即， 因为点在内部， 所以满足不等式组， 由，且，， 当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是； 当时，此时不存在满足题意的正整数， 综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为， 所以，， ， 所以 ， 当点为时，， 当点为时，， 当点为时，， 所以最小值为． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 11．已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 12．【新考法】在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 【答案】 1 / 【详解】以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 所以， 所以， ，则， 所以当时，最小值为． 13．已知圆：，过原点的一条直线与圆相切，且与焦点为的抛物线交于异于原点的点，若，则焦点的坐标为_____________． 【答案】 【详解】由题可知，圆的圆心坐标为，半径为 设过原点的直线方程为，该直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径 ，解得，. 所以直线方程为 将直线方程与抛物线方程联立有， 所以由抛物线定义可知， 解得，. 所以焦点的坐标为. 14．双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 【答案】/ 【详解】由题可知，所以， 又，所以，所以双曲线方程为， 设双曲线的右顶点为，则，双曲线的渐近线方程为， 圆与双曲线都具有对称性，不妨取直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 又，所以，即以为直径的圆半径为，圆心为， 则到直线的距离为，所以. 15．已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 【答案】 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知椭圆的焦距为，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）焦距，故，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为，故， 由得，故椭圆的方程为. （2）直线过点，与椭圆交于，两点，故直线斜率一定存在，设直线方程为，设，由得 ，因为点在椭圆上，所以， 代入得. 联立，得， 即， ，，因为，两点，在直线上， 故， 代入得， 令，则，因为，所以， 则因为，所以. 17．（15分）椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积取最大值时的直线方程； (3)若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)（或、）； (3)存在， 【详解】（1）∵ 椭圆离心率，∴ . 又，∴ ，椭圆方程可化为. 将点代入得，化简得， ∴ ，，. ∴ 椭圆的标准方程为. （2）由题意得左顶点，设直线的方程为. 联立，消去整理得. 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ， 代入直线方程得. 的面积，其中， ∴ . ∵ ，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立. ∴ ，即面积最大值为，此时， 直线的方程为. （3）在中令，得，∴ . ∵ 是线段的中点， ∴ ，， ∴ 直线的斜率. 假设轴上存在定点满足题意，则直线的斜率. ∵ ， ∴ ，即，解得. 该结果与的取值无关，对任意均成立. ∴ 存在定点满足题意. 18．（15分）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 19．（15分）已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为，离心率为(2)（i），（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意可知， 由，解得， ∴椭圆的方程：. 离心率为 （2）（i），，由于直线斜率不为，则设直线， 联立方程组，得： 所以 焦点弦长， 点到直线的距离， ∴， 令，所以在上单调递增，所以， 所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 即面积的最大值为 （ii）， 当轴时，交点，关于轴对称，∴点关于原点对称，∴以为直径的圆圆心为，半径为 ∵，∴，则，∴， 又∵，∴圆与轴的截得的弦为， 当直线斜率存在时，设直线， 设， 联立方程组，整理得， 则，， ， 直线，令，则， 直线，令，则..， 则，， 则 即 即，同理可证， 即点在以MN为直径的圆上，又∵在轴上， ∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为，， 综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2. 20．（16分）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆的左，右顶点分别为、，是椭圆的右焦点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （ⅰ）求证：为定值，并求出这个定值； （ⅱ）若，求直线的方程. 【答案】(1)(2)（ⅱ） 【详解】（1）由椭圆：，可得，右焦点， 所以，所以， 又，所以， 又椭圆的离心率为，所以，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）因为、，所以、， 又因为在椭圆上，所以，， 所以，， 则. （ⅱ）显然直线与轴不重合，设直线的方程为，, 由,得， 所以，解得. 由根与系数的关系可得， 所以， ， 由，得， 所以，即， 解得或（舍去），所以， 所以直线的方程为.. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $