9.7 变量间的相关关系、统计案例 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦变量相关关系与统计案例，通过基础巩固、综合辨析、实际应用三层设计，实现从概念理解到数据建模的能力进阶，培养数学思维与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|χ²检验、回归方程基础|单选1-4结合教材例题，如血清预防感冒χ²推断，强化概念应用| |中档层|相关系数、残差分析|多选5-7融合多考点，如多选7通过残差分布比较模型拟合效果| |综合层|独立性检验、回归预测|解答题11-12关联生活情境，如强基计划能力指标回归预测，提升数据建模能力|

9.7　变量间的相关关系、统计案例 一、 单选题 1 [2026镇江一中期初]某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，将500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×2列联表计算得χ2的观测值χ2≈3.918，则认为这种血清能起到预防感冒的作用，此推断出错的可能性不超过(　　) 附表： P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 A. 2.5% B. 5% C. 95% D. 97.5% 2 [2025莆田二模]为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下： 母亲身高x/cm 164 166 166 166 168 女儿身高y/cm 165 165 166 167 167 根据最小二乘法(即(yi－i)2取最小），y关于x的经验回归方程为(　　) A. ＝x－1 B. ＝x＋1 C. n＝x＋83 D. ＝166 3 [2025福州质检]有一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设＝xi，＝yi.由这组数据得到新成对样本数据(x1＋，y1＋)，(x2＋，y2＋)，…，(xn＋，yn＋).利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论中一定正确的是(附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－；样本相关系数r＝，决定系数R2＝1－，其中i＝xi＋)(　　) A. 两条经验回归直线都过点(，) B. 两条经验回归直线的截距相同 C. 两组数据的样本相关系数相同 D. 两组数据的决定系数不同 4 [2025九江二模]植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官．已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x(单位：cm)与氮元素吸收量y(单位：mg/天)的相关数据，如下表所示： x 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 y 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 x 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 y 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得＝21.2，＝0.58及经验回归方程为＝0.025x＋，则下列结论中正确的是(　　) A. ＝－0.05 B. 变量y与x的样本相关系数r<0 C. 若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应的经验回归方程不变 D. 在一定范围内，小麦的根长度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg 二、 多选题 5 [2025济南一模]为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，下列结论中正确的是(　　) 附表： α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 A. 若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 6 [2026南京临江高级中学期初]已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为＝x＋3.4，则下列结论中正确的是(　　) x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数r＝，经验回归方程斜率＝，截距＝－. A. ＝2.3 B. 当x＝5时，对应样本点的残差为0.6 C. 表中y的所有样本数据的70百分位数是11 D. 去掉样本点(3，10)后，y与x的样本相关系数不变 7 [2025西充中学一模]已知一组样本数据(xi，yi)，i∈{1，2，3，…，100}，其中xi>1 895，＝2×105，＝970，求得其经验回归方程为＝－0.02x＋1，残差为i.对样本数据进行处理，令x′i＝ln (xi－1 895)，得到新的样本数据(x′i，y′i)，求得其经验回归方程为＝－0.42x＋2，其残差为i.i，i的分布如图1，图2所示，且～N（0，σ），～N（0，σ），则下列结论中正确的是(　　) 图1 图2 A. xi与yi负相关 B. 1＝49.7 C. σ<σ D. 处理后的决定系数变大 三、 填空题 8 [2026随州一模]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．得到数据如下表：, 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y/min 53 65 71 76 85 根据上表可得经验回归方程＝x＋中的＝0.75，则经验回归方程＝x＋中的＝　　　　；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为 　　　　min. 9 [2026沧州八县一中模拟]利用变量x，y的5对实验数据，求得y关于x的经验回归方程为＝－x＋1.若这5对数据对应的点都在该经验回归直线上，则它们的样本相关系数为________． 10 已知x，y的取值如下表： x 1 2 3 4 y 32 48 72 88 根据表中的数据求得y关于x的经验回归方程为＝19.2x＋12，则表中第2个记录数据的残差2＝________． 四、 解答题 11 [2025南通一模]某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 75 90 参加跳绳比赛 25 10 (1) 能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？ (2) 为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究，老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12 [2026镇江一中期初]强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x(考查数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维能力指标y(考查逻辑推理、问题建模等能力).随机抽取5名考生的测试结果如下表： x 6 8 9 t 12 y 2 3 4 5 6 (1) 已知这5名考生的学科知识整合能力指标的平均值＝9. ①求实数t的值； ②求y关于x的经验回归方程＝x＋，并估计当一名考生的学科知识整合能力指标为14时，他的创新思维能力指标的值； (2) 现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立． 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过的概率为m(0<m<1)，第二门科目通过的概率为，第三门科目通过的概率为，通过科目数记为随机变量Y. 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 附：经验回归方程＝x＋中和的最小二乘估计分别为＝，＝－. 9．7　变量间的相关关系、统计案例 1. B　解析：由题意，得观测值χ2≈3.918>3.841，所以认为这种血清能起到预防感冒的作用，此推断出错的可能性不超过5%. 2. C　解析：观察数据，得y与x有关，故D错误．又＝166，＝166，所以经验回归直线必过点(166，166)，故A，B错误，C正确． 3. C　解析：原经验回归直线经过点(，)，而新经验回归直线经过点(2，2)，故A错误；由的计算公式可知，变化前后经验回归直线的斜率不改变，原经验回归直线的截距为＝－，而新经验回归直线的截距为′ ＝2－·2＝2，故B错误；由公式可知两组数据的样本相关系数和决定系数均不变，故C正确，D错误． 4. D　解析：由经验回归直线过样本中心点(，)知，＝0.58－0.025×21.2＝0.05，故A错误；小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关的关系，所以样本相关系数r>0，故B错误；若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，则对应的经验回归方程可能发生改变，故C错误；由经验回归方程＝0.025x＋，得在一定范围内，小麦的根长度每增加1 cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025 mg，故D正确． 5. BC　解析：对于A，B，若α＝0.100，则2.706<2.727，认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错误，B正确；对于C，D，若α＝0.010，则6.635>2.727，认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误．故选BC. 6. BCD　解析：由表中数据，得＝＝3，＝＝10.因为经验回归方程为＝x＋3.4，且经过点(3，10)，所以10＝3＋3.4，解得＝2.2，故A错误；当x＝5时，＝2.2×5＋3.4＝14.4，残差为15－14.4＝0.6，故B正确；因为5×70%＝3.5，所以表中y的所有样本数据的70百分位数是从小到大排列的第4个数，为11，故C正确；因为＝3，＝10，所以去掉样本点(3，10)后，y与x的样本相关系数计算公式中的分子、分母的值都不发生变化，所以相关系数的值不变，故D正确．故选BCD. 7. ABD　解析：在经验回归方程＝－0.02x＋1中，－0.02<0，所以xi与yi负相关，故A正确；由题意，得 ＝2×103，＝9.7.又样本中心在经验回归直线上，所以9.7＝－0.02×2×103＋，解得1＝49.7，故B正确；由题图1的数据波动较大，得i比i更集中，所以σ<σ，故C错误；因为题图1的残差平方和比题图2的残差平方和大，所以处理后的回归模型的拟合效果更好，所以决定系数变大，故D正确．故选ABD. 8. 47.5　92.5　解析：由题意，得＝×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，＝×(53＋65＋71＋76＋85)＝70.因为经验回归直线＝x＋必过样本中心点(30，70)，且＝0.75，所以0.75×30＋＝70，解得＝47.5，即＝0.75x＋47.5.当x＝60时，＝0.75×60＋47.5＝92.5，故估计加工的零件个数为60时所花费的时间为92.5min. 9. －1　解析：由经验回归方程知y与x负相关．因为这5对数据对应的点都在经验回归直线上，所以它们的样本相关系数为－1. 10. －2.4　解析：因为y关于x的经验回归方程为＝19.2x＋12，当x2＝2时，2＝19.2×2＋12＝50.4，所以表中第2个记录数据的残差2＝y2－2＝48－50.4＝－2.4. 11. (1) 提出假设H0：学生参加跳绳比赛与学生的性别无关， 则χ2＝≈7.792>6.635， 所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关． (2) 利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人， 则未参加跳绳比赛的女生有9人，参加跳绳比赛的女生有3人． 记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A， 则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝， 所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是. 12. (1) ①由表中的数据，得＝＝9，解得t＝10. ②由题意，得＝＝＝0.7， 所以＝4－9×0.7＝－2.3. 故所求经验回归方程为＝0.7x－2.3， 当x＝14时，＝0.7×14－2.3＝7.5， 所以当一名考生的学科知识整合能力指标为14时，他的创新思维能力指标的预测值为7.5. (2) 由题意，得X～B， 所以E(X)＝3×＝. 由题意，得Y的可能取值为0，1，2，3， 则P(Y＝0)＝(1－m)×＝－， P(Y＝1)＝m×＋(1－m)××＋(1－m)×＝－， P(Y＝2)＝m××＋m××＋(1－m)××＝＋， P(Y＝3)＝m××＝， 所以E(Y)＝－＋2＋3×＝＋m. 当E(X)＝E(Y)时，＝＋m，解得m＝； 当E(X)>E(Y)时，>＋m，且0<m<1， 所以0<m<； 当E(X)<E(Y)时，<＋m，且0<m<1， 所以<m<1. 故当m＝时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；当0<m<时，该考生更应报考甲高校；当<m<1时，该考生更应报考乙高校． 学科网（北京）股份有限公司 $