重难点专训03 三角函数的图像与性质（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以标准形式转化和整体换元为核心，系统整合图像变换、性质分析及天津考法的专项训练 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|三角恒等变换化标准式，整体换元转化为基础三角函数，图像变换“左加右减针对x”|从y=Asin(ωx+φ)定义出发，推导周期、对称、单调等性质，形成“转化-换元-分析”链条| |题型通法及变式提升|4题型（各2典例+2变式）|平移问题抓平移量与ω关系，识图问题用五点法/待定系数法，对称问题令相位=kπ+π/2或kπ，周期问题用化一法/图像法|题型与性质一一对应，从基础变换到综合应用，体现“性质-题型-变式”递进| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新10题|综合题用有界性求最值，参数问题回代检验，特值排除法解选择|结合天津考情，从基础巩固到创新提升，覆盖高频考点与易错点|

重难点专训03 三角函数的图像与性质 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 正余弦平移问题 3 题型2 识图问题 5 题型3 已知对称轴及对称中心问题 10 题型4 周期问题 14 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 25 解题方法及技巧提炼 解题核心套路为先借助三角恒等变换，将函数整理为(y＝Asin(ωx＋φ))标准形式，坚持整体换元，令(t=ωx＋φ)，转化为基础正弦、余弦函数分析。图像变换牢记 “左加右减针对 x，伸缩后平移量要除以 ω”，区分先平移、先伸缩两种路径。求解单调区间、对称轴、零点、值域时，依托 t 的范围结合图像分析；含 ω 范围问题，依据区间约束列出不等式，重点校验区间端点取舍。奇偶性抓住定义域优先原则，利用相位快速判断初相。天津考题常融合零点、恒成立、存在性综合设问，灵活运用三角函数有界性求解最值；选择题可特值排除，大题算出参数范围后务必回代检验，规避边界、符号等高频陷阱。 与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 题型通法及变式提升 题型1 正余弦平移问题 【典例1-1】（2026·天津滨海新区·阶段检测）要得到的图象，只需将函数图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】由可知. 【详解】因为， 则将函数的图象向右平移个单位可得的图象. 故选：B. 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 注意：1.两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． 2.变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 【典例1-2】（2026·天津·学业考试）为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】B 【分析】根据余弦函数平移规律直接判断. 【详解】将图像所有的点向右平移个单位长度，得到图像， 即为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度. 故选：B 【变式1-1】（2025·天津河北·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数解析式化简，然后通过平移变换得到函数解析式，然后求解出函数的单调递减区间，通过对进行赋值选取合适的单调区间即可. 【详解】因为， 函数图象向右平移个单位长度后得到函数，即， 函数的单调递增区间为：，解得， 当时，，故选项A正确； 当时，，选项B错误； 当时，，选项C、选项D错误. 故选：A. 【变式1-2】（2025·天津南开·阶段检测）把函数y=sin(x+)（＞0，||＜）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从逆变换得到函数解析式，再对应系数得到的值. 【详解】图象上的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再向右平移个单位，得到，对应系数可得：，满足题干中的范围限制. 故选：D 题型2 识图问题 【典例2-1】（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个对称中心 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到 D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到 【答案】C 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用三角函数的图象变换可判断CD选项. 【详解】由图象可知，可得，又因为，所以， 所以， 结合图象可知函数的一条对称轴为直线， 且为函数的一个最大值点，即， 所以，则，解得， 设函数的最小正周期为，则，故， 所以，即，解得， 又因为，即，故，， 所以， 对于A选项，， 所以不是函数的一个对称中心，A错； 对于B选项，当时，， 所以函数在区间上单调递减，B错； 对于C选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得到函数的图象，C对； 对于D选项，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数，D错. 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 【典例2-2】（2026·天津西青·模拟预测）函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（    ） A． B．，为函数的对称轴 C．向右移后的函数为偶函数 D．函数的单调递减区间为， 【答案】D 【分析】根据函数的图象，求出函数的解析式，再逐项判断. 【详解】由图象知：，，则，， ，因为在图象上，则， 所以，则，又， 则，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为：， 向右移后得到函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：D 【变式2-1】（2025·天津宁河·一模）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解. 【详解】由题图可得，则， 当时，y取得最小值，为，得， ∵函数的图象过点， ∴，即，又，∴，∴. 当时，. 故选：A. 【变式2-2】（2026·天津滨海新区·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则______；当筒车旋转45秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为______. 【答案】 【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，可求出，由时，求出和， 从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标 【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒， 所以，得， 所以， 因为当时，盛水筒M位于点， 所以， 所以， 因为， 所以，得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以当筒车旋转45秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为， 故答案为：, 题型3 已知对称轴及对称中心问题 【典例3-1】（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 处理正弦型函数对称轴、对称中心问题，优先整体换元。对称轴处函数取得最值，令ωx＋φ＝kπ＋；对称中心处函数值为 0，令ωx＋φ＝kπ。相邻对称轴间距T/2)，对称轴与邻近对称中心间距T/4)，可快速推导周期。天津考题常结合已知对称条件求ω，φ，列出等式联立求解；区间内存在对称轴或对称中心题型，转化为相位范围不等式，重视边界取舍。可利用(f(a+x)=f(a-x))、(f(a+x)+f(a-x)=0)验证对称性，算出参数务必回代检验。 【典例3-2】（2026·天津·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断①③；利用代入检验法可判断②；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断④. 【详解】由图象可知，，，故①正确； 从而， 由，， 因为，所以， 从而，故③正确； 因为，所以不是的对称轴，故②错误； 当时，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以，故，即， 从而，即在上的值域为，故④错误. 【变式3-1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦函数、正切函数的性质求出图象的对称中心，结合已知建立方程求解. 【详解】由，得函数图象的对称中心为 由，函数图象的对称中心为， 依题意，对整数，点与重合，则， 因此，，而，所以，，D正确. 【变式3-2】（2026·天津西青·阶段检测）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【详解】选项A，， 其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为， 则函数的周期满足，，，， 一条对称轴方程为，， ，，故A正确； 选项B，，，， ，由，可得或， 的图象在区间内有个对称中心，故B正确； 选项C，，， 在区间上单调递减，故C错误； 选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数，故D正确. 故选：C. 题型4 周期问题 【典例4-1】（2026·天津武清·阶段检测）已知函数则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为3 【答案】B 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断BC选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，，余弦函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，B对； 对于C选项，当时，，余弦函数在上不单调， 所以函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解. 2.利用图像观察求解. 3.定义证明：f（x+T）=f（x）. 4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期） 【典例4-2】（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 【答案】D 【分析】根据新函数的定义化简函数，作出函数的图象，即可利用图象，结合选择逐一判断. 【详解】由题意，画出函数的部分图象， 如图所示： 根据图象可知为的最小正周期，故A错误； 由图象知图象的对称轴方程为，故B错误； 在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数， 转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点， 所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：D 【变式4-1】（2025·天津宁河·一模）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断BC选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，函数在单调递减，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 【变式4-2】（2025·天津宁河·模拟预测）下面有四个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数是最小正周期为的奇函数； 其中真命题的序号是_________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【分析】对于①：整理可得，即可最小正周期；对于②：根据终边相同的角分析判断；对于③：检验可知，即可判断；对于④：根据正切型函数的性质分析判断. 【详解】对于①：因为， 所以函数的最小正周期是，故①正确； 对于②：终边在y轴上的角的集合是，故②错误； 对于③：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故③正确； 对于④：函数是最小正周期为的奇函数，故④错误； 故选：①③. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解. 【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 2．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 3．（天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（三）模拟考数学试题）已知函数，已知是的一个极值点，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（   ） A． B．不是奇函数 C．的对称中心是 D．在上的最小值为 【答案】D 【分析】先由极值点与单调性确定的值，再逐一分析函数奇偶性、对称中心与区间最值. 【详解】由是的极值点，可得，整理得， 当时，， 由在上单调递增，可得， 解得， 结合，得，故A正确； 当时，，， 因此，不是奇函数，故B正确； 令，解得， 因此，的对称中心为，故C正确； 当时，，则， 可得，其最小值为，故D错误. 4．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 5．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 6．（2026·天津武清·模拟预测）若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因最小正周期为，则，结合，可得. 则，其对称中心横坐标满足， 所以对称中心可为：. 选项A：令，得，不符合； 选项B：令，得，不符合； 选项C：令，得，不符合； 选项D：令，得，符合要求. 7．（2026·天津红桥·二模）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【答案】C 【分析】先由最高点与最低点横坐标求出周期，得；再由最高点位置求，结合轴截距求出振幅，确定函数；最后据此逐一验证选项：A周期为错误，B最大值为错误，C的区间符合单调递增区间正确，D化简后不是偶函数错误． 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 由时，函数取最大值，得， 化简得，结合，得， 由函数在轴上的截距为，即，解得， 所以，最大值为，B错误； 对于C，由， 得， 当时，递增区间为，C正确； 对于D，， 该函数不是偶函数，D错误． 8．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由，所以是函数的一条对称轴，故D正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故B错误. 9．（2026·天津河北·二模）已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图象确定，，，得到的解析式，根据函数图象平移的“左加右减”原则，得到的解析式，再分别利用正弦型函数的单调性、周期、对称中心、对称轴的性质，对每个选项分析验证. 【详解】由图像可知，函数最大值为，且，故， 最高点横坐标为，右侧零点横坐标为，因此，得周期. 由，，得. 将代入，得： ，解得，结合，得. 所以. 将向右平移个单位，得：. 选项A：当时，，在上单调递增， 故在上单调递增，正确. 选项B：的最小正周期，错误. 选项C：，故不是对称中心，错误. 选项D：，不是最值，正弦函数对称轴处函数取最值， 故不是对称轴，错误. 10．（2026·天津宝坻·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，结合周期公式求出的值，再逐一验证各选项的正误． 【详解】对于A，，由的最小正周期为得， 则，故A错误； 对于B，由，将函数图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，关于y轴对称，故B正确； 对于C，， 则不关于点对称，故C错误； 对于D，当时，，则，即， 故的最大值为，故D错误． 创新提升 1．（2026·天津河西·三模）已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 正弦函数中，对称中心到相邻对称轴的距离为，已知该距离为， 因此：， 由周期公式（），得：， 所以， 当时，令，则， 此时在时取得最小值，所以. 2．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意，可得且， 即，则有， 解得， 因函数在区间上单调递增，则该函数的最小正周期满足， 即，故由（*）可得，则， 又由可得，则得， 即，因，则，故①错误； 由上分析，得，则，故②错误； 于是，因为，故为偶函数，故③正确； 当时，，要使函数在区间内有个零点，需使， 此时若，则函数有3个极大值，若，则函数有2个极大值，故④错误. 3．（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根， 则方程有且只有两个不同的实数根， 则与的图象仅有两个交点， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为. 4．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 5．（2026·天津东丽·一模）函数在处取得最值，则下列命题正确的是（    ） A．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B．点为图象的一个对称中心 C． D．在区间上单调递减 【答案】D 【详解】由函数在处取得最值，则图象关于直线对称，得，而，则，，所以. 对于A，将的图象向右平移个单位长度后得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误； 对于B，，所以点不是图象的对称中心，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，正弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，D正确. 6．（2026·天津·一模）函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 【答案】 【详解】当时，令，则，所以， 此时零点为正奇数：. 当时，， 此时在上单调递增，最多有一个零点. 因为恰有四个不同零点，所以在上至少有三个零点， 故，此时，在上有且仅有一个零点， 所以时，与轴有3个交点，需满足， 所以实数a的取值范围为. 7．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 若函数在处取得最小值， 则，解得，可得， 又因为，则， 令，解得， 所以在区间上的单调递减区间为. 8．（2026·天津红桥·一模）已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③函数在上一定单调递增； ④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为． 以上说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为函数的图象在轴上的截距为，所以， 因为，所以，①正确； ， 因为在轴右侧的第一个最高点的横坐标为， 所以，，， 则， 所以函数在上单调递增，③正确； ， 所以在轴右侧的第一个最低点的横坐标为，④正确； ，所以 则 故的最大值为， 因为，所以②错误． 9．（2026·天津河北·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】B 【详解】由图象可知：，，所以， 由得. 由，得，又可得. 所以，故A正确； 因为，所以不是函数的对称中心，故B错误； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得，故D正确. 10．（2026·天津和平·一模）已知函数的导函数的部分图象如下图，记，则函数在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由图可得，则，故，解得， 由图可得，解得， 又，则，故，， 则， 当时，， 则，故. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 三角函数的图像与性质 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 正余弦平移问题 3 题型2 识图问题 4 题型3 已知对称轴及对称中心问题 7 题型4 周期问题 8 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 解题核心套路为先借助三角恒等变换，将函数整理为(y＝Asin(ωx＋φ))标准形式，坚持整体换元，令(t=ωx＋φ)，转化为基础正弦、余弦函数分析。图像变换牢记 “左加右减针对 x，伸缩后平移量要除以 ω”，区分先平移、先伸缩两种路径。求解单调区间、对称轴、零点、值域时，依托 t 的范围结合图像分析；含 ω 范围问题，依据区间约束列出不等式，重点校验区间端点取舍。奇偶性抓住定义域优先原则，利用相位快速判断初相。天津考题常融合零点、恒成立、存在性综合设问，灵活运用三角函数有界性求解最值；选择题可特值排除，大题算出参数范围后务必回代检验，规避边界、符号等高频陷阱。 与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 题型通法及变式提升 题型1 正余弦平移问题 【典例1-1】（2026·天津滨海新区·阶段检测）要得到的图象，只需将函数图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 注意：1.两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． 2.变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 【典例1-2】（2026·天津·学业考试）为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式1-1】（2025·天津河北·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·天津南开·阶段检测）把函数y=sin(x+)（＞0，||＜）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则（    ） A． B． C． D． 题型2 识图问题 【典例2-1】（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个对称中心 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到 D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 【典例2-2】（2026·天津西青·模拟预测）函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（    ） A． B．，为函数的对称轴 C．向右移后的函数为偶函数 D．函数的单调递减区间为， 【变式2-1】（2025·天津宁河·一模）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津滨海新区·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则______；当筒车旋转45秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为______. 题型3 已知对称轴及对称中心问题 【典例3-1】（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 处理正弦型函数对称轴、对称中心问题，优先整体换元。对称轴处函数取得最值，令ωx＋φ＝kπ＋；对称中心处函数值为 0，令ωx＋φ＝kπ。相邻对称轴间距T/2)，对称轴与邻近对称中心间距T/4)，可快速推导周期。天津考题常结合已知对称条件求ω，φ，列出等式联立求解；区间内存在对称轴或对称中心题型，转化为相位范围不等式，重视边界取舍。可利用(f(a+x)=f(a-x))、(f(a+x)+f(a-x)=0)验证对称性，算出参数务必回代检验。 【典例3-2】（2026·天津·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·天津西青·阶段检测）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 题型4 周期问题 【典例4-1】（2026·天津武清·阶段检测）已知函数则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为3 1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解. 2.利用图像观察求解. 3.定义证明：f（x+T）=f（x）. 4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期（需要证明是否是最小正周期） 【典例4-2】（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 【变式4-1】（2025·天津宁河·一模）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 【变式4-2】（2025·天津宁河·模拟预测）下面有四个命题： ①函数的最小正周期是； ②终边在y轴上的角的集合是； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数是最小正周期为的奇函数； 其中真命题的序号是_________.（写出所有真命题的序号） 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（三）模拟考数学试题）已知函数，已知是的一个极值点，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（   ） A． B．不是奇函数 C．的对称中心是 D．在上的最小值为 4．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津武清·模拟预测）若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津红桥·二模）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 8．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 9．（2026·天津河北·二模）已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．（2026·天津宝坻·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为 创新提升 1．（2026·天津河西·三模）已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津东丽·一模）函数在处取得最值，则下列命题正确的是（    ） A．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B．点为图象的一个对称中心 C． D．在区间上单调递减 6．（2026·天津·一模）函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 7．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·天津红桥·一模）已知函数的图象在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，关于该函数有下列四个说法： ①； ②； ③函数在上一定单调递增； ④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为． 以上说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·天津河北·一模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 10．（2026·天津和平·一模）已知函数的导函数的部分图象如下图，记，则函数在区间上的值域为（   ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $