第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语与不等式的跨模块整合，通过新考法题（跨学科、数学史）及综合应用题型，渗透数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|选择1/填空12/解答16-18|集合运算、子集关系判断|以集合概念为基础，通过不等式表示集合，构建“集合-条件-应用”逻辑链| |常用逻辑用语|选择2/4/7/解答19|充分必要条件、命题真假及否定|结合集合与不等式，形成“命题-条件-推理”的逻辑推理体系| |不等式|选择3/5/6/8/填空10/11/13/14/15/解答20|求最值、含参不等式、跨学科应用|以不等式性质为核心，关联函数、向量等知识，体现“性质-模型-应用”的数学建模过程|

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．【新考法】“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 7．下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则或” B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件 D．已知命题：，；命题：，，则“为真命题”. 8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 9．【新考法】由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若，，且，则实数取值的集合是____________. 11．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 12．已知集合，，若，则实数__________． 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 14．若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 15．【新考法】已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 17．（15分）已知集合，． (1)若，求A，B及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 18．（15分）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 19．（15分）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 20．（16分）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C B D A D B C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 12. 13． 7 14． 15．120 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）， 故等价于，解得，（4分） 故， ，是的充分不必要条件，故为的真子集， 故或，解得；（7分） （2）为真命题，若，则，解得， 若，需满足或， 解得或， 综上，实数的取值范围是或.（14分） 17．（15分） （1）当时，由，解得，所以，（2分） 由，解得，所以，（5分） 所以，则．（7分） （2）由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以，（11分） 已知，可得解得， 所以实数a的取值范围为．（15分） 18．（15分） （1）由题意得， 所以，（3分） 当时，， ，（7分） （2），， ①若，则，解得；（9分） ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是．（15分） 19．（15分） （1）若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则.（4分） 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为；（9分） （2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为．（15分） 20．（16分） （1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为.（5分） （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为，（8分） （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为.（10分） （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为.（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，无意义，所以推不出， 当时，，所以， 即能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 3．【新考法】“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 4．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 5．已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】因为 ，所以 ，即 . 所以，即 . 所以. 当且仅当 ，即 时等号成立. 6．已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 7．下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则或” B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件 D．已知命题：，；命题：，，则“为真命题”. 【答案】D 【详解】选项A中，命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”，故A错误； 选项B中，命题“，”的否定是“，，故B错误； 选项C中，函数在区间上单调递减”的充要条件是：，故C错误； 选项D中，已知命题：，；， 因为，所以时，，时，，故命题是假命题，是真命题；故不论命题真假，则“”总为真命题，故D正确. 故选：D 8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】∵2是与的等比中项， ∴，∴，即， 结合可得，， ∴ ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为， 故选：B. 9．【新考法】由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； 有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确. 故选：C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 11．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【详解】若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题. 12．已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 13．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 14．若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 15．【新考法】已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________. 【答案】120 【详解】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有种不同的值， 但是，，，，，，只有7个数， 可知必有两种7个数的和相等，设这个和为， 令，那么，任取7个数的和就等于，，，，，这8个取值和的集合为， 且 则. 因为为整数，所以是7的倍数，由可知，是7的倍数， 再因为，所以.可知. 因此，，，，中最大数为：，最小数为：， 因此，他们的积为. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）， 故等价于，解得， 故， ，是的充分不必要条件，故为的真子集， 故或，解得； （2）为真命题，若，则，解得， 若，需满足或， 解得或， 综上，实数的取值范围是或. 17．（15分）已知集合，． (1)若，求A，B及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）当时，由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以，则． （2）由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以， 已知，可得解得， 所以实数a的取值范围为． 18．（15分）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， ， （2），， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 19．（15分）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则. 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为； （2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为． 20．（16分）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为.(3) 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $