第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一数学第二章“一元二次函数、方程和不等式”单元拔尖卷，覆盖单选、多选、填空、解答题型，通过真实情境与梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配单元复习拔高需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、充分必要条件、范围问题|结合地方期中题，基础概念与逻辑推理并重| |多选|3/18|基本不等式、二次不等式解集|多选项分层考查，如第10题融合最值与符号运算| |填空|3/15|比较大小、整数解问题、恒成立|第13题通过整数解个数考查参数分析，体现数学思维严谨性| |解答|5/77|范围求解、函数与不等式综合、实际应用|第17题以花园面积为情境，第18题含证明与最值，第19题涉及恒成立，综合考查数学建模与运算能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【解答过程】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·天津·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识判断即可. 【解答过程】由，得，解得. 因为推不出，且推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（5分）（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【解答过程】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C. 4．（5分）（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【解答过程】已知，且，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 5．（5分）（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 7．（5分）（25-26高二上·宁夏中卫·期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得． 【解答过程】解：∵不等式有解， ∴， ∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时取“＝”， ∴，故，即， 解得或， ∴实数m的取值范围是． 故选：B． 8．（5分）（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】解：因为不等式对任意恒成立， 所以，， 因为，对称轴为，在上单调递减， 所以，当时，有最小值， 所以， 所以， 当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足. 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】直接根据不等式的性质逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以，， 所以，，即A正确，B错误； 所以，，即C错误，D正确； 故选：AD. 10．（6分）（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知为正实数，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为-4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式，结合基本不等式“1”的妙用逐项求解. 【解答过程】对于A，由，，得， 当且仅当时取等号，因此的最小值为1，A正确； 对于B，由，，得，则 ，当且仅当， 即时取等号，与矛盾，即上述等号不成立，B错误； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，，得 ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设，若关于的不等式的解集为，则（　　） A． B．关于的不等式的解集为 C．关于的不等式的解集为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】由已知以及根与系数的关系可得，和的关系以及，即可判断A；然后把，分别代入B，C，D所求的表达式，结合一元一次不等式、一元二次不等式、基本不等式即可得所求，从而判断B，C，D． 【解答过程】因为不等式的解集为， 则，解得，，且，故A正确； 关于的不等式转化为，即不等式为，则其解集为，故B不正确； 关于的不等式转化为，即不等式为，则其解集为，故C正确； ， 当且仅当，即时，的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津河北·阶段检测），，，则有P__________Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 【答案】 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】因为 ，当且仅当时，等号成立. 所以 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【解答过程】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，； （2） 【解题思路】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 16．（15分）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）方程的两根为1和，且，及求解； （2）原不等式可以化为，对a分类讨论求解． 【解答过程】（1）关于的不等式的解集为， 方程的两根为1和，且， 由韦达定理得：，解得. （2）原不等式可以化为 . 方程的两根为， ①当，即时，不等式即为，解集为， ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为 综上所述，当时，不等式解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 17．（15分）（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 19．（17分）（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)求解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【解题思路】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式化为，分和结合两根大小讨论求解； （3）不等式转化为，分离参数得出，换元，整理得出，进而根据基本不等式，即可得出范围. 【解答过程】（1）当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； 当，即时，由不等式的解集为， 则，即，解得， 综上，实数的取值范围为. （2）不等式，即， 当，即时，原不等式化为，解得； 当，即时，方程， 即的两根为，， 若，则，，所以原不等式的解集为， 若，则，，所以原不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）不等式即，对恒成立， 即，因为， 所以，对恒成立， 令， 令，则， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故即可. 所以实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（5分）（25-26高一上·天津·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 5．（5分）（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 6．（5分）（25-26高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 7．（5分）（25-26高二上·宁夏中卫·期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知为正实数，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为-4 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（6分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设，若关于的不等式的解集为，则（　　） A． B．关于的不等式的解集为 C．关于的不等式的解集为 D．的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·天津河北·阶段检测），，，则有P__________Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 13．（5分）（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为__________． 14．（5分）（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 16．（15分）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 17．（15分）（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为x m，鲜花种植的总面积S.    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 19．（17分）（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)求解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $