第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学复习讲义通过表格梳理和要点归纳系统构建集合与常用逻辑用语知识体系，将元素与集合关系、集合运算、充分条件等要点分层呈现，用对比表格明确子集与真子集性质，突出描述法表示集合等难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分题型突破设计，如集合互异性问题强调参数检验，充分条件判断结合集合包含关系培养推理意识，每个题型配例题与迁移练习。基础达标与能力进阶分层训练，帮助学生用数学语言精准表达，支持教师实施分层教学提升复习效率。

第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义） 复习要点 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 5.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 复习重难点 重点：元素与集合的属于关系，用符号语言刻画集合；集合之间包含与相等的含义，并集与交集的含义，用符号语言刻画集合间的关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义；全称量词与存在量词的意义． 难点：用描述法表示集合；补集的含义；判定全称量词命题和存在量词命题的真假． 知识点 集合的概念 1.元素与集合的相关概念 元素 定义 把研究对象统称为元素 记法 常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示 集合 定义 一些元素组成的 总体 叫做集合,简称为集 记法 常用大写拉丁字母 A,B,C,… 表示 集合相等 构成两个集合的元素是 一样 的 集合中元素的特性 确定性、互异性和无序性 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 属于 a是集合A中的元素 a ∈ A 不属于 a不是集合A中的元素 a ∉ A 3.常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 4. 集合的分类：① 有限集 .② 无限集 .③空集： ⌀ 要点归纳： 1. 判断一组对象能构成集合的条件 (1)能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素; (2)任何两个对象都是不同的; (3)对元素出现的顺序没有要求. 2. 元素的特征 确定性、互异性、无序性. 注意：求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 3. 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 要点速测 1．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 知识点 集合的表示法 1. 集合的表示方法 ①自然语言法：用 文字叙述 的形式来描述集合. ②列举法：把集合的所有元素 一一列举 出来，并用花括号“{　}”括起来的方法.例如、 ③描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合.表示为 {x∈A|P(x)} . 例如、 ④图示法（图）：用平面上 封闭曲线 的内部代表集合. 2. 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 注意：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）. 要点归纳： 1. 用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. 2. 描述法表示集合的两个步骤 要点速测 2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 知识点 集合间的基本关系 1. 子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. 已知集合有个元素，则它有 2n 个子集，它有 2n-1个真子集，它有2n-1 个非空子集，它有2n-2个非空真子集. 要点归纳： (1)求集合子集、真子集个数的三个步骤 提醒:要注意两个特殊的子集:⌀和自身. （2）判断集合间关系的方法 要点速测 3．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 知识点 集合的基本运算 1. 交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3） ， 补集 （1） （2） （3） 2.集合的运算其他相关性质 （1）． （2）,． 3.容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 要点归纳： 1. 求集合并集的基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解. (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解. 2. 求两个集合交集的一般方法 (1)明确集合中的元素. (2)元素个数有限时,利用定义或Venn图求解,元素个数无限时,借助数轴求解. 3.求补集的基本方法 (1)若所给集合中的元素连续且无限,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍. (2)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解. 要点速测 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 知识点 充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 若，则是的充分条件，是的必要条件． 若，则是的充要条件（充分必要条件）． 要点归纳： 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 要点速测 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 知识点 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 2．全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中 任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个，使成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个x0，使成立 要点归纳： 常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 要点速测 6．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 题型1 集合与概念 ▌例1 （25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 解题要点 集合的互异性 1. 集合互异性指集合中任意两个元素互不相同，是高频易错考点。 2. 求解含参集合问题算出参数后，务必代入检验，剔除使集合出现重复元素的解。同时还要兼顾元素满足的原有条件、集合空集情况，不能只验证互异性。遇到元素含字母、方程组求解题型，检验步骤不可省略，防止出现增根失分。 ▌迁移练1-1下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． ▌迁移练1-2（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. ▌迁移练1-3（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 题型2 集合的表示方法 ▌例2 （25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 解题要点 集合的表示法 1. 集合常用列举法、描述法、图示法三种表示方法。 2. 使用列举法时注意元素互异性，不要重复书写元素。 3. 描述法关键看清代表元素，区分数集、点集，留意元素取值范围。解题先要读懂代表元素含义，很多错题源于混淆了代表元素。 4. 图示法多用于交集、并集运算，借助韦恩图简化分析，审题同时关注集合元素限制条件。 ▌迁移练2-1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 【答案】D 【详解】对于A：因为0表示元素，不是集合，所以A错误； 对于B：因为集合的元素具有互异性，所以方程的解集是，所以B错误； 对于C：因为满足不等式的元素有无限个，无法一一列举，所以C错误； 对于D：因为集合的元素具有无序性，所以集合是两个相同的集合，所以D正确. 故选：D. ▌迁移练2-2（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B, ,故，故B错误， 对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 题型3 子集的个数问题 ▌例3 （25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 解题要点 子集个数 1. 若一个集合有n个元素，子集总数为2n，真子集个数为2n-1（除去集合自身），非空真子集为2n-2。 2. 解题首先准确统计集合元素个数，重视元素互异性，防止元素重复导致计数错误。 3. 遇到含参集合，优先讨论空集，空集是任意集合的子集。看 4. 清题干要求，区分子集、真子集、非空子集，审题避免概念混淆造成答案出错。 ▌迁移练3-1（25-26高二下·河南许昌·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． ▌迁移练3-2（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 ▌迁移练3-3（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 题型4 集合间的基本关系及含参问题 ▌例4 （25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 解题要点 用集合间的基本关系解含参问题 1. 利用集合关系求参数，首先分清子集、真子集、相等集合的定义，优先讨论空集情况，空集是任何集合的子集。 2. 若，需要分类讨论与。 3. 求解不等式得到参数范围后，必须检验端点值，避免多出不符合题意的解。同时结合集合互异性排查元素重复问题，最后看清题目是子集还是真子集，二者边界条件存在区别，不可混淆。 ▌迁移练4-1（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. ▌迁移练4-2（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． ▌迁移练4-3（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以，所以. 题型5 集合的基本运算及含参问题 ▌例5 （25-26高二下·江苏南京·期末）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. 解题要点 用集合的基本运算解含参问题 1. 利用集合交、并、补运算求解参数，先理清交集、并集、补集的含义，可借助数轴、韦恩图直观分析。 2. 解题勿忘分类讨论，重点留意集合为空集的情形。 3. 求出参数范围后务必验证端点取值，防止范围扩大。同时结合集合互异性检验，区分题干条件，看清是交集为空、并集为全集等不同要求，避免混淆条件造成范围出错。 ▌迁移练5-1（2026·山东·模拟预测）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，所以或，解得或， 当时，，所以，满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以. ▌迁移练5-2 （2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： ▌迁移练5-3 记全集，已知集合，.若，求的取值范围. 【答案】 【详解】依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为. 题型6 集合的新定义问题 ▌例6 （25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 解题要点 解集合相关的新定义问题 1. 解决集合新定义问题，首要认真读懂题目给出的全新规则，不能套用固有集合结论。 2. 严格依照定义转化条件，结合列举法、数轴、韦恩图辅助分析。 3. 运算过程遵守集合互异性，求出结果后回代验证。 4. 区分新定义与常规交集、并集，杜绝主观臆断，准确翻译题干数学语言，防止理解偏差。 ▌迁移练6-1（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. ▌迁移练6-2 已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. ▌迁移练6-3（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 题型7 充分条件与必要条件的判断 ▌例7 （2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 解题要点 充分条件与必要条件的判定 1. 判定充分、必要条件，先分清条件p与结论q。 2. 若，则p是q充分条件；若，则p是q必要条件。 3. 常借助集合范围判断：小范围推大范围。 4. 注意区分充分不必要、必要不充分，推理时不要颠倒推导方向。 ▌迁移练7-1（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. ▌迁移练7-2（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. ▌迁移练7-3（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 题型8 与充分条件、必要条件相关的含参问题 ▌例8 （25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 解题要点 解与充分条件、必要条件相关的含参问题 1. 解决充分、必要条件含参问题，先划分条件p与结论q，转化为集合包含关系：小范围⇒大范围。 2. 若p是q充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集；若是必要条件则反之。 3. 一定要讨论空集情况，求解参数范围后检验端点。 4. 看清题意是充分不必要还是必要不充分，准确取舍边界，防止推导方向颠倒导致结果错误。 ▌迁移练8-1 （25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. ▌迁移练8-2（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. ▌迁移练8-3（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 题型9 全称量词与存在量词及命题的判定 ▌例9 （2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 解题要点 全称量词与存在量词及命题的判定 1. 判定全称、存在量词命题真假：全称命题需全部元素满足才为真，找到一个反例即为假；存在量词命题只需找到一个符合条件元素即为真。 2. 否定命题时，必须互换全称量词与存在量词，并否定结论，注意不要否定条件。 ▌迁移练9-1（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C ▌迁移练9-2（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； 选项B，，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误. 故选：A. ▌迁移练9-3（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 题型10 与命题的真假有关的含参问题 ▌例10 （25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 解题要点 解与命题的真假有关的含参问题 1. 首先区分全称量词与存在量词命题的真假规则。 2. 若多个命题（p、q）组合，先单独求出每个命题为真时参数范围，再根据“p且q”“p或q”“非p”的真假规则综合分析。 3. 解题注意命题为假时，取其对应范围的补集，切勿直接反向臆断。 4. 最后核对边界数值，防止端点遗漏，同时留意命题隐含的变量限制条件。 ▌迁移练10-1（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. ▌迁移练10-2（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. ▌迁移练10-3（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 难点一 根据集合的元素特征求参数 难点1：根据集合的互异性求参数 第一步：依据题意列出等式，初步解出参数所有候选值。 第二步：将求出的参数依次代入原集合，利用互异性检验，剔除造成集合元素重复的解。 第三步：同时验证参数是否满足题干其他约束条件，不能只检验互异性。 第四步：整理剩余符合全部条件的参数，写出最终答案。 切记检验环节必不可少。 难点2：根据集合的元素个数求参数 第一步，结合题意列出方程，初步算出参数； 第二步，利用集合互异性初步筛除造成元素重复的参数； 第三步，根据要求的元素个数核对，警惕出现多个元素重合，导致集合实际元素数量变少； 第四步，代入逐一验证，同时兼顾题目附加限制条件。 切忌直接解方程就下定论，忽略互异性会改变集合元素总数，是高频失分点。 难点精练 1．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 2．（25-26高二下·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 3.（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 5.若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【答案】/ 【详解】当时，，符合题意； 当时，要使该集合只有一个元素， 必须且只需方程有两个相等的实根， 即，符合题意， 所以满足条件的实数构成的集合为， 故答案为： 难点二 含参等式间集合关系的判定 难点：含参等式间集合关系的判定 4. 第一步：依据集合相等定义且，先观察两个集合元素数量，元素个数不同可直接判定不可能相等。 第二步：结合集合无序性，分类列出元素对应方程组，求出参数所有候选解。 第三步：把参数代入原集合，严格检验互异性，剔除产生重复元素的解。 第四步：二次验证，确认两个集合全部元素完全一致，同时兼顾题目隐含限制条件。 注意不能随意匹配元素，遗漏分类情况，检验环节不可省略，这是该题型最常见失分点。 难点精练 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 3．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 难点三 集合关系与运算求参数 难点：根据集合的互异性求参数 难点精练 1．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 4．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 5．（25-26高二下·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 难点四 与充分、必要条件相关的求参数问题 难点：与充分、必要条件相关的求参数问题 第一步，分清谁是条件p、谁是结论q，不要颠倒两者； 第二步，把p、q翻译成对应的变量取值集合； 第三步，利用口诀：小范围推出大范围，转化为集合包含关系。充分不必要对应真子集； 第四步，求解参数范围，重点讨论空集情况； 第五步，带回端点检验，判断端点能否取到，最后书写正确范围。 切忌推导方向弄反，忽略空集、不验证端点是高频错误。 难点精练 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 1【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 2．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若“”是“”的必要条件，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为“”是“”的必要条件，则集合是集合的子集， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 基础达标 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②2026年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 3．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 4．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【详解】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确. 故选：A. 5．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 【答案】B 【详解】，故命题为真． 又，． 6．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组 成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 8．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 9．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 10．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 11．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 12．（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 13．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 能力进阶 1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误. 对于B，在内无解，所以，故B错误. 对于C，当时，，所以，故C正确. 对于D，由，得，故，故D错误. 2．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 3．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 【答案】AB 【详解】对于A，因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故， 所以，故B正确； 对于C，令，显然不是的子集，此时， 故C错误； 对于D，令，显然，但，所以的充要条件不是，故D错误； 4．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 【答案】1 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（复习讲义） 复习要点 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 5.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定. 复习重难点 重点：元素与集合的属于关系，用符号语言刻画集合；集合之间包含与相等的含义，并集与交集的含义，用符号语言刻画集合间的关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义；全称量词与存在量词的意义． 难点：用描述法表示集合；补集的含义；判定全称量词命题和存在量词命题的真假． 知识点 集合的概念 1.元素与集合的相关概念 元素 定义 把 统称为元素 记法 常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示 集合 定义 一些元素组成的 叫做集合,简称为集 记法 常用大写拉丁字母 表示 集合相等 构成两个集合的元素是 的 集合中元素的特性 、 和无序性 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 属于 a是集合A中的元素 a A 不属于 a不是集合A中的元素 a A 3.常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 4. 集合的分类：① .② .③空集： 要点归纳： 1. 判断一组对象能构成集合的条件 (1)能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素; (2)任何两个对象都是不同的; (3)对元素出现的顺序没有要求. 2. 元素的特征 确定性、互异性、无序性. 注意：求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 3. 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 要点速测 1．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 知识点 集合的表示法 1. 集合的表示方法 ①自然语言法：用 的形式来描述集合. ②列举法：把集合的所有元素 出来，并用 括起来的方法.例如、 ③描述法：把集合中所有具有 的元素所组成的集合.表示为 . 例如、 ④图示法（图）：用平面上 的内部代表集合. 2. 常见集合的表示方法 ①方程的解集： ②不等式的解集： ③函数自变量构成的集合： ④函数因变量构成的集合： ⑤函数图象上的点构成的集合： ⑥方程组的解：或 ⑦奇数集： ⑧偶数集： 注意：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）. 要点归纳： 1. 用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. 2. 描述法表示集合的两个步骤 要点速测 2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 知识点 集合间的基本关系 1. 子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2. 已知集合有个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它有 非空真子集. 要点归纳： (1)求集合子集、真子集个数的三个步骤 提醒:要注意两个特殊的子集:⌀和自身. （2）判断集合间关系的方法 要点速测 3．（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 知识点 集合的基本运算 1. 交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3）， 并集 或 （1） （2） （3） ， 补集 （1） （2） （3） 2.集合的运算其他相关性质 （1）． （2）,． 3.容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 要点归纳： 1. 求集合并集的基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解. (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解. 2. 求两个集合交集的一般方法 (1)明确集合中的元素. (2)元素个数有限时,利用定义或Venn图求解,元素个数无限时,借助数轴求解. 3.求补集的基本方法 (1)若所给集合中的元素连续且无限,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍. (2)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解. 要点速测 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点 充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 若，则是的充分条件，是的必要条件． 若，则是的充要条件（充分必要条件）． 要点归纳： 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 要点速测 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 知识点 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 2．全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中 x，有成立 存在量词命题 M中的一个，使成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有成立 存在量词命题 存在M中的一个x0，使成立 要点归纳： 常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 要点速测 6．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 题型1 集合与概念 ▌例1 （25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 解题要点 集合的互异性 1. 集合互异性指集合中任意两个元素互不相同，是高频易错考点。 2. 求解含参集合问题算出参数后，务必代入检验，剔除使集合出现重复元素的解。同时还要兼顾元素满足的原有条件、集合空集情况，不能只验证互异性。遇到元素含字母、方程组求解题型，检验步骤不可省略，防止出现增根失分。 ▌迁移练1-1下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 ▌迁移练1-2（25-26高一上·广东广州·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 题型2 集合的表示方法 ▌例2 （25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 解题要点 集合的表示法 1. 集合常用列举法、描述法、图示法三种表示方法。 2. 使用列举法时注意元素互异性，不要重复书写元素。 3. 描述法关键看清代表元素，区分数集、点集，留意元素取值范围。解题先要读懂代表元素含义，很多错题源于混淆了代表元素。 4. 图示法多用于交集、并集运算，借助韦恩图简化分析，审题同时关注集合元素限制条件。 ▌迁移练2-1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 ▌迁移练2-2（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 题型3 子集的个数问题 ▌例3 （25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 解题要点 子集个数 1. 若一个集合有n个元素，子集总数为2n，真子集个数为2n-1（除去集合自身），非空真子集为2n-2。 2. 解题首先准确统计集合元素个数，重视元素互异性，防止元素重复导致计数错误。 3. 遇到含参集合，优先讨论空集，空集是任意集合的子集。看 4. 清题干要求，区分子集、真子集、非空子集，审题避免概念混淆造成答案出错。 ▌迁移练3-1（25-26高二下·河南许昌·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 ▌迁移练3-2（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 ▌迁移练3-3（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 题型4 集合间的基本关系及含参问题 ▌例4 （25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 解题要点 用集合间的基本关系解含参问题 1. 利用集合关系求参数，首先分清子集、真子集、相等集合的定义，优先讨论空集情况，空集是任何集合的子集。 2. 若，需要分类讨论与。 3. 求解不等式得到参数范围后，必须检验端点值，避免多出不符合题意的解。同时结合集合互异性排查元素重复问题，最后看清题目是子集还是真子集，二者边界条件存在区别，不可混淆。 ▌迁移练4-1（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 ▌迁移练4-2（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-3（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型5 集合的基本运算及含参问题 ▌例5 （25-26高二下·江苏南京·期末）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 解题要点 用集合的基本运算解含参问题 1. 利用集合交、并、补运算求解参数，先理清交集、并集、补集的含义，可借助数轴、韦恩图直观分析。 2. 解题勿忘分类讨论，重点留意集合为空集的情形。 3. 求出参数范围后务必验证端点取值，防止范围扩大。同时结合集合互异性检验，区分题干条件，看清是交集为空、并集为全集等不同要求，避免混淆条件造成范围出错。 ▌迁移练5-1（2026·山东·模拟预测）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌迁移练5-2 （2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ ▌迁移练5-3 记全集，已知集合，.若，求的取值范围. 题型6 集合的新定义问题 ▌例6 （25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 解题要点 解集合相关的新定义问题 1. 解决集合新定义问题，首要认真读懂题目给出的全新规则，不能套用固有集合结论。 2. 严格依照定义转化条件，结合列举法、数轴、韦恩图辅助分析。 3. 运算过程遵守集合互异性，求出结果后回代验证。 4. 区分新定义与常规交集、并集，杜绝主观臆断，准确翻译题干数学语言，防止理解偏差。 ▌迁移练6-1（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2 已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 ▌迁移练6-3（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 题型7 充分条件与必要条件的判断 ▌例7 （2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 解题要点 充分条件与必要条件的判定 1. 判定充分、必要条件，先分清条件p与结论q。 2. 若，则p是q充分条件；若，则p是q必要条件。 3. 常借助集合范围判断：小范围推大范围。 4. 注意区分充分不必要、必要不充分，推理时不要颠倒推导方向。 ▌迁移练7-1（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 ▌迁移练7-2（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 ▌迁移练7-3（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 题型8 与充分条件、必要条件相关的含参问题 ▌例8 （25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 解题要点 解与充分条件、必要条件相关的含参问题 1. 解决充分、必要条件含参问题，先划分条件p与结论q，转化为集合包含关系：小范围⇒大范围。 2. 若p是q充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集；若是必要条件则反之。 3. 一定要讨论空集情况，求解参数范围后检验端点。 4. 看清题意是充分不必要还是必要不充分，准确取舍边界，防止推导方向颠倒导致结果错误。 ▌迁移练8-1 （25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练8-2（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 题型9 全称量词与存在量词及命题的判定 ▌例9 （2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 解题要点 全称量词与存在量词及命题的判定 1. 判定全称、存在量词命题真假：全称命题需全部元素满足才为真，找到一个反例即为假；存在量词命题只需找到一个符合条件元素即为真。 2. 否定命题时，必须互换全称量词与存在量词，并否定结论，注意不要否定条件。 ▌迁移练9-1（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 ▌迁移练9-2（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练9-3（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 题型10 与命题的真假有关的含参问题 ▌例10 （25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 解题要点 解与命题的真假有关的含参问题 1. 首先区分全称量词与存在量词命题的真假规则。 2. 若多个命题（p、q）组合，先单独求出每个命题为真时参数范围，再根据“p且q”“p或q”“非p”的真假规则综合分析。 3. 解题注意命题为假时，取其对应范围的补集，切勿直接反向臆断。 4. 最后核对边界数值，防止端点遗漏，同时留意命题隐含的变量限制条件。 ▌迁移练10-1（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． ▌迁移练10-2（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. ▌迁移练10-3（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 难点一 根据集合的元素特征求参数 难点1：根据集合的互异性求参数 第一步：依据题意列出等式，初步解出参数所有候选值。 第二步：将求出的参数依次代入原集合，利用互异性检验，剔除造成集合元素重复的解。 第三步：同时验证参数是否满足题干其他约束条件，不能只检验互异性。 第四步：整理剩余符合全部条件的参数，写出最终答案。 切记检验环节必不可少。 难点2：根据集合的元素个数求参数 第一步，结合题意列出方程，初步算出参数； 第二步，利用集合互异性初步筛除造成元素重复的参数； 第三步，根据要求的元素个数核对，警惕出现多个元素重合，导致集合实际元素数量变少； 第四步，代入逐一验证，同时兼顾题目附加限制条件。 切忌直接解方程就下定论，忽略互异性会改变集合元素总数，是高频失分点。 难点精练 1．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二下·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3.（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 难点二 含参等式间集合关系的判定 难点：含参等式间集合关系的判定 4. 第一步：依据集合相等定义且，先观察两个集合元素数量，元素个数不同可直接判定不可能相等。 第二步：结合集合无序性，分类列出元素对应方程组，求出参数所有候选解。 第三步：把参数代入原集合，严格检验互异性，剔除产生重复元素的解。 第四步：二次验证，确认两个集合全部元素完全一致，同时兼顾题目隐含限制条件。 注意不能随意匹配元素，遗漏分类情况，检验环节不可省略，这是该题型最常见失分点。 难点精练 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 难点三 集合关系与运算求参数 难点：根据集合的互异性求参数 难点精练 1．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 4．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 5．（25-26高二下·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 难点四 与充分、必要条件相关的求参数问题 难点：与充分、必要条件相关的求参数问题 第一步，分清谁是条件p、谁是结论q，不要颠倒两者； 第二步，把p、q翻译成对应的变量取值集合； 第三步，利用口诀：小范围推出大范围，转化为集合包含关系。充分不必要对应真子集； 第四步，求解参数范围，重点讨论空集情况； 第五步，带回端点检验，判断端点能否取到，最后书写正确范围。 切忌推导方向弄反，忽略空集、不验证端点是高频错误。 难点精练 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）若“”是“”的必要条件，则的取值范围是__________. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 基础达标 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②2026年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题，则命题的真假以及否定分别为（   ） A．真， B．真， C．假， D．假， 6．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组 成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 10．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 11．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 12．（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 13．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 能力进阶 1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 4．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $