专题02 常用逻辑用语（专项训练7大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破........................................................................................................................1 考点一 充分条件与必要条件 题型1 充分必要条件的判断（重） 1 题型2 充分必要条件的探求 2 题型3 充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 2 题型4 充分必要条件中的参数问题（难） 3 考点二 全称量词与存在量词 题型5 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 3 题型6 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 4 题型7 常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 4 综合攻坚·知能拔高 5 常考题型·精准突破 考点一 充分条件与必要条件 ◆题型1 充分必要条件的判断（重） 1．（25-26高二下·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ◆题型2 充分必要条件的探求 1．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． ◆题型3充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 3．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： ◆题型4 充分必要条件中的参数问题（难） 1．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 考点二 全称量词与存在量词 ◆题型5 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 ◆题型6 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 4．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. ◆题型7常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．（25-26高二·全国·暑假作业）设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 2．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 3．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 5．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 6．（多选）（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026高三·全国·专题练习）设，则“且”是“”的________条件． 三、解答题 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 9．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·江西景德镇·期中）若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 11．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 12．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）设全集，集合，集合 (1)若，求 (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 考点一 充分条件与必要条件 ◆题型1 充分必要条件的判断（重） 1．B 2.A 3.A 4.A 5.B ◆题型2 充分必要条件的探求 1．B 2.A 3.C 4.A 5.C ◆题型3充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．【详解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 2．【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 3．【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 4．【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． ◆题型4 充分必要条件中的参数问题（难） 1． 2．【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 3．【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 4．【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 考点一 全称量词与存在量词 ◆题型5 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．C 2.C 3.AC 4.ACD ◆题型6 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1.C 2.A 3． 4． 5． ◆题型7常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．必要不充分 充分不必要 2．【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 4．【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 5．【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．D 2. C 3.B 4.C 5.BC 6.AC 二、填空题 7．充分不必要 三、解答题 8．【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 9．【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 10．【详解】（1）当时，， ， ， （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 11．【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 12．【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 13．【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则，即， 解得，即实数的取值范围为. （3）因为， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 考点一 充分条件与必要条件 ◆题型1 充分必要条件的判断（重） 1．【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 2．【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．【答案】A 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 5．【答案】B 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. ◆题型2 充分必要条件的探求 1．【答案】B 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 2．【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 3．【答案】C 【详解】等价于，即且， 故选：C 4．【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 5．【答案】C 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. ◆题型3充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．【详解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 2．【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 3．【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 4．【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． ◆题型4 充分必要条件中的参数问题（难） 1．【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 3．【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 4．【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 考点二 全称量词与存在量词 ◆题型5 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．【答案】C 【详解】命题“，”的否定为，. 2．【答案】C 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 3.【答案】AC 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 4．【答案】ACD 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； ◆题型6 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1．【答案】C 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 2．【答案】A 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 3．【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 4．【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. ◆题型7常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 2．【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 4．【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 5．【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．D 2.C 3.B 4.C 5.BC 6.AC 二、填空题 7．【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． 三、解答题 8．【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 9．【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 10．【详解】（1）当时，， ， ， （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 11．【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 12．【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 13．【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则，即， 解得，即实数的取值范围为. （3）因为， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破........................................................................................................................1 考点一 充分条件与必要条件 题型1 充分必要条件的判断（重） 1 题型2 充分必要条件的探求 2 题型3 充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 4 题型4 充分必要条件中的参数问题（难） 6 考点二 全称量词与存在量词 题型5 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 8 题型6 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 9 题型7 常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 10 综合攻坚·知能拔高 13 常考题型·精准突破 考点一 充分条件与必要条件 ◆题型1 充分必要条件的判断（重） 1．（25-26高二下·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. ◆题型2 充分必要条件的探求 1．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设，则的充要条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【详解】等价于，即且， 故选：C 4．（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 5．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. ◆题型3充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件） 1．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【详解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 3．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2)充要，证明见解析 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． ◆题型4 充分必要条件中的参数问题（难） 1．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8个 (2) 【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 4．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 考点二 全称量词与存在量词 ◆题型5 全称（存在）量词命题的真假判断及否定 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定为，. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 3.（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 4．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题 C．“，”是假命题 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项正确； 对于D，若，不妨取，则不成立， 若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确； ◆题型6 全称（存在）量词命题中的参数问题（高频） 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 2．（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 3．（2026高一·全国·专题练习）若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 4．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. ◆题型7常用逻辑用语与集合问题的综合考查（难） 1．（25-26高二·全国·暑假作业）设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 2．（25-26高一上·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 5．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 2．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 5．（多选）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 6．（多选）（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 二、填空题 7．（2026高三·全国·专题练习）设，则“且”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． 三、解答题 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 9．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 10．（25-26高一上·江西景德镇·期中）若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ， ， （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 11．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 12．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 13．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）设全集，集合，集合 (1)若，求 (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则，即， 解得，即实数的取值范围为. （3）因为， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，a的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $