专题01 集合含参数问题及新定义五类问题（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建集合专项突破体系，聚焦五大核心问题，通过分类讨论、数形结合等方法培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心综述|五大核心问题+两条底线原则|从集合概念到参数/新定义应用的逻辑递进| |题型归纳|5题型（含典例+变式）|包含关系用分类讨论与数轴，交并补用等价转化，容斥/Venn图用公式与图形，新定义用规则转化|题型与方法一一对应，覆盖基础到综合应用| |压轴挑战|20题（选择/填空/解答）|多集合综合运算与创新定义迁移|从常规题型到复杂情境的能力提升链|

专题01 集合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据集合中的包含关系求参数 题型二、根据交并补的混合运算求参数 题型三、容斥原理的应用 题型四、Venn图的应用 题型五、集合中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合含参数、新定义类问题是高中数学入门重难点，所有题型均围绕集合包含关系、交并补运算、容斥计数、图形转化、自定义规则五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是空集是所有子集的特殊情况必须优先讨论，二是区间端点、元素归属问题必须带回原题验证，所有参数、计数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据集合中的包含关系求参数 典例1（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 题型模版 1.特征：题干给出集合满足或集合含待求参数集合形式为区间或方程解集极易忽略空集这一特殊子集情况 2.方法：①分两类分类讨论与优先分析空集情形避免漏解 ②借助数轴标注两个集合的取值范围根据包含关系列出端点对应的不等式组 ③解出参数取值后回代原题核验确认区间完全满足包含约束 变式1-1（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 变式1-2（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 变式1-3（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型二、根据交并补的混合运算求参数 典例2（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 题型模版 1.特征：题干给出，，这类交并补混合等式集合内含参数需要转化集合关系完成求解 2.方法：①将交并运算等式等价转化为子集关系简化题意 ②运用德摩根定律逐层化简多层补集混合运算 ③在数轴中标注全集原集合补集对应范围列出不等式求解参数最终代入题干检验 变式2-1已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 变式2-2（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 变式2-3（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 题型三、容斥原理的应用 典例3 （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 题型模版 1.特征：题干为两类或三类元素计数应用题给出总数量单集合元素数量部分交集数量求解重叠区域未知元素个数 2.方法：①两集合容斥计数公式 ②三集合容斥计数公式 ③拆分题干文字匹配对应集合数量代入公式构建方程求解区分仅属于单集合元素与交集元素 变式3-1（25-26高一上·北京·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 变式3-2（24-25高一上·广东佛山·期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 变式3-3在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？ 题型四、Venn图的应用 典例4 （25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出全集与多个集合的韦恩示意图图内部分区域标注已知数值空白区域设参数求解区域元素个数或参数范围 2.方法：①优先标注两集合重叠交集区域依次填充仅属于单一集合区域与全集外部补集区域 ②设未知数表示空白未知区域根据全集总元素数量建立一元一次方程 ③求解交并补对应元素数量时直接圈出Venn图匹配区域进行数值求和 变式4-1（25-26高一上·广东阳江·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 变式4-2（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4-3（25-26高一上·四川成都·阶段检测）对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五、集合中的新定义问题 典例5 （25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 题型模版 1.特征：题干给出教材未涉及的全新集合运算或特殊集合定义如差集封闭集等搭配参数取值范围元素判定类设问 2.方法：①逐句拆解新定义文字约束区分“且”“或”对应的逻辑限制条件 ②有限集合采用列举法写出符合定义的全部元素无限集合借助数轴分析取值区间 ③求解参数时将新定义条件转化为不等式或方程严格遵循题干自定义规则不混用常规交并集运算公式 变式5-1（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若A，且，则；若A，且，则 D．存在A，，使得；存在A，，使得 变式5-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）对于给定的非空集合，定义集合，，若，则称集合满足性质．则（   ） A．集合满足性质 B．集合满足性质 C．若集合满足性质且，则 D．若集合且，则 变式5-3（24-25高一上·重庆·期中）（多选）已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（    ） A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C．若，，则集合A具有性质 D．若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 2．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 3．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025高一上·湖北·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 8．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 10．（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 11．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 12．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 13．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 14．（24-25高一上·山西太原·阶段检测）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 16．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 18．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 20．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据集合中的包含关系求参数 题型二、根据交并补的混合运算求参数 题型三、容斥原理的应用 题型四、Venn图的应用 题型五、集合中的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合含参数、新定义类问题是高中数学入门重难点，所有题型均围绕集合包含关系、交并补运算、容斥计数、图形转化、自定义规则五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是空集是所有子集的特殊情况必须优先讨论，二是区间端点、元素归属问题必须带回原题验证，所有参数、计数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据集合中的包含关系求参数 典例1（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【详解】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 题型模版 1.特征：题干给出集合满足或集合含待求参数集合形式为区间或方程解集极易忽略空集这一特殊子集情况 2.方法：①分两类分类讨论与优先分析空集情形避免漏解 ②借助数轴标注两个集合的取值范围根据包含关系列出端点对应的不等式组 ③解出参数取值后回代原题核验确认区间完全满足包含约束 变式1-1（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【分析】由题意，所以，这里可以分三种情况，集合是空集、集合中只含有集合中的一个元素，集合中含有集合中的两个元素；对于是的真子集这种情况，较为简单，直接对比即可得解. 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 变式1-2（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 变式1-3（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 题型二、根据交并补的混合运算求参数 典例2（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 题型模版 1.特征：题干给出，，这类交并补混合等式集合内含参数需要转化集合关系完成求解 2.方法：①将交并运算等式等价转化为子集关系简化题意 ②运用德摩根定律逐层化简多层补集混合运算 ③在数轴中标注全集原集合补集对应范围列出不等式求解参数最终代入题干检验 变式2-1已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 变式2-2（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 变式2-3（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 题型三、容斥原理的应用 典例3 （25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 题型模版 1.特征：题干为两类或三类元素计数应用题给出总数量单集合元素数量部分交集数量求解重叠区域未知元素个数 2.方法：①两集合容斥计数公式 ②三集合容斥计数公式 ③拆分题干文字匹配对应集合数量代入公式构建方程求解区分仅属于单集合元素与交集元素 变式3-1（25-26高一上·北京·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即得. 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 变式3-2（24-25高一上·广东佛山·期末）（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    变式3-3在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？ 【答案】6个 【分析】只解出甲、乙、丙的学生人数分别为，同时解出甲乙、乙丙、甲丙、甲乙丙的人数分别为，由题意①；②；③；④．联立方程组求b即可． 【详解】设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示， 只解出甲、乙、丙的学生人数分别为， 同时解出甲乙、乙丙、甲丙、甲乙丙的人数分别为，如下图示    由于每个同学至少选作一题，故①， 由没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故②， 由解出甲题的人数比余下的人数多1人，故③， 由只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故④， 由②得：⑤， 将⑤代入①有⑥， 将③代入⑥得⑦， 联立③④得，代入⑦得⑧， 2×⑧-⑦得：⑨，又，则，即， 联立⑤⑨得：，则，且，故， 所以共有6个同学只解出乙题． 题型四、Venn图的应用 典例4 （25-26高一上·天津河北·阶段检测）下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图表示集合运算的意义，结合排除法判断各选项，即可得答案. 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 题型模版 1.特征：给出全集与多个集合的韦恩示意图图内部分区域标注已知数值空白区域设参数求解区域元素个数或参数范围 2.方法：①优先标注两集合重叠交集区域依次填充仅属于单一集合区域与全集外部补集区域 ②设未知数表示空白未知区域根据全集总元素数量建立一元一次方程 ③求解交并补对应元素数量时直接圈出Venn图匹配区域进行数值求和 变式4-1（25-26高一上·广东阳江·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合集合的基本运算求解即可. 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合A，C， 则阴影部分所表示的集合可以为. 故选：A 变式4-2（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 变式4-3（25-26高一上·四川成都·阶段检测）对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例，结合交并补运算的定义即可求解ACD，根据交并补运算的定义即可求解B. 【详解】对于A,如图：若，如图所示，此时,，AC错误， 对于B, 但，而 但 但 且，故，B正确， 对于D，如图：，而且，故D错误， 故选：B 题型五、集合中的新定义问题 典例5 （25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】由题意得出或3，然后分类讨论求得的取值集合，再根据新定义得结论． 【详解】， ，则或3， 时，，满足题意， 时，有两解和，由题意必有， 若，即，时，，时，，均符合题意； 若，即或， 则有两个不等实根，要使得，则，， 所以的取值集合，， 所以或2， 故选：BD． 题型模版 1.特征：题干给出教材未涉及的全新集合运算或特殊集合定义如差集封闭集等搭配参数取值范围元素判定类设问 2.方法：①逐句拆解新定义文字约束区分“且”“或”对应的逻辑限制条件 ②有限集合采用列举法写出符合定义的全部元素无限集合借助数轴分析取值区间 ③求解参数时将新定义条件转化为不等式或方程严格遵循题干自定义规则不混用常规交并集运算公式 变式5-1（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差.下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若A，且，则；若A，且，则 D．存在A，，使得；存在A，，使得 【答案】AC 【分析】先分析出，分别求出和，再求出，即可判断A，B；根据的定义，分别求出当和时，及的结果，进而得到集合的关系，即可判断C；根据的定义，验证是否成立，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为，，， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，， 所以，故B错误； 对于选项C， 若，则， 因为，而， 所以要使，必须有，即， 此时等式变为，这意味着，又由，可知； 若，则， 所以且. 由可得，由可得，所以. 故C正确； 对于选项D，对于任意集合， 恒成立， 所以存在A，，使得是假命题； 当时，，， 所以存在A，，使得是真命题，故D错误. 故选：AC 变式5-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）对于给定的非空集合，定义集合，，若，则称集合满足性质．则（   ） A．集合满足性质 B．集合满足性质 C．若集合满足性质且，则 D．若集合且，则 【答案】ACD 【分析】根据定义计算出，验证即可判断A、B；根据定义计算，利用可分析出的范围，得最小值即可判断C；根据定义计算出,由及，根据集合相等及集合中元素的互异性可求得从而判断D 【详解】对于A，由可知此时，， 满足性质.故A正确； 对于B，由可知 ， 不满足性质.故B不正确； 对于C，，由集合元素的互异性可知， 欲使，须使，即， ∴的最小值为7.故C正确； 对于D，由，可知， 由得 ，此时，，符合题意，故D正确. 故选：ACD. 变式5-3（24-25高一上·重庆·期中）（多选）已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（    ） A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C．若，，则集合A具有性质 D．若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 【答案】ACD 【分析】对于ABC：根据性质的定义直接判断即可；对于D：结合选项C判断性质，分和两种情况，判断；分和两种情况，判断. 【详解】A选项，显然，，且，所以A正确； B选项，，，但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误； C选项，因为，，是中元素的最小者， 可知集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质，所以C正确； D选项，因为，且为奇数，是中元素的最小者， 可知集合A中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质， 是中元素的第二小者， 1.若，因为，则，所以集合A具有性质； 2.若，则A集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质； 综上所述：集合A具有性质. 因为为奇数，则 ①若，则，此时； ②若，则，此时； 综上：集合不具有性质，所以D正确； 故选：ACD. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 2．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 3．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设恰好报名参加两项比赛的有人，兼报三项比赛的有人，由题意可得 ，进而得到，再分析求解即可. 【详解】设恰好报名参加两项比赛的有人，兼报三项比赛的有人， 则，所以， 要让最大，则需要最小， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意， 所以兼报三项比赛的最多有5人. 故选：C. 4．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，利用，讨论集合B是否为空集，求出a的取值即可. 【详解】解方程，因式分解得，解得或，因此. 当时，此时，符合. 当时，此时，方程的解为， 又，可得或，所以或； 综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为. 故选：A. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 二、多选题 6．（2025高一上·湖北·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 7．（25-26高一上·山东青岛·期中）用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，若，则实数的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，且，根据判别式符号确定根的个数，结合求参数范围，即可得. 【详解】由 或，则必有， 当，或时，， 当，时，， 当，时，， 由，则， 由，可得或， 所以或或. 故选：BCD 8．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 三、填空题 9．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 10．（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5.    11．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 13．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合间的包含关系得到不等式求解. 【详解】分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高一上·山西太原·阶段检测）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集);    (2)若，，求； (3)若集合，集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)    (2) (3) 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：    （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：. （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是. 15．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 16．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 17．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 18．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值. 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值即可. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，， 即，解得或． 若，则，得到，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 当时，由韦达定理得，同理可得符合题意. 综上所述，实数的值为3． 20．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $