第26章 二次函数 暑期自主练习卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第26章二次函数暑期自主练习卷，立足核心知识，通过水滑梯、销售利润等真实情境设计问题，梯度覆盖基础巩固与综合应用，适配暑假自主学习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|对称轴、图像性质、平移|结合图像辨析，考查抽象能力与几何直观| |填空题|6题/18分|抛物线与直线交点、沟渠水面计算|通过表格数据、几何图形，发展推理意识| |解答题|8题/72分|配方、投掷实心球模型、销售利润最值|综合生活情境（如投掷实心球）与数学建模，培养应用意识与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册 第26章 二次函数暑期自主练习卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（本题3分）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 3．（本题3分）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A．B．C．D． 5．（本题3分）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（本题3分）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 9．（本题3分）水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 12．（本题3分）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 13．（本题3分）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 14．（本题3分）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 15．（本题3分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 16．（本题3分）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（本题8分）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 19．（本题8分）为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 20．（本题8分）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 21．（本题9分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 22．（本题9分）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 23．（本题10分）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 24．（本题12分）如图，抛物线经过，，三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，请求出最小值及此时P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A C D A D C D 1．A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 2．D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 3．D 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 4．A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 5．C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 6．D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 7．A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 8．D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 9．C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 10．D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 11． 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 12． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 13．4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 14． 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 15．/ 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值．如图，设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：如图， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积为 故答案为：． 16．5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 17．(1) (2) 图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. 【详解】（1）解：． （2）略 18．(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 19．(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 20．(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 21．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 22．(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 23．(1)) (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为元 (3)当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设燕子型风筝售价为元时，销售量为个，根据题意列出一次函数关系式； （2）设锁大爷获得的利润为元，根据题意写出函数关系式，令，解方程，即可求解． （3）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 24．(1) (2)； (3)存在；或或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出此时点P的坐标即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别根据中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，，三点在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为： 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线：， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为． 当时，． ； （3）解：存在． 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当为对角线时，根据中点坐标公式可得： ， 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； ②当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：或， ∴此时点N的坐标为或； ③当为对角线时，根据中点坐标公式可得： 解得：（舍去）或， 此时点N的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $