26.3二次函数与一元二次方程 暑期预习同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 练习以二次函数与一元二次方程的数形结合为核心，分单选、填空、解答三层梯度设计，从概念理解到综合应用，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判别式与交点个数、函数图象基本特征|单选题直接考查定义（如交点坐标求解），夯实概念理解| |能力提升|参数取值范围、根的分布与图象信息|填空题结合图象分析（如根与系数关系），深化逻辑推理| |综合应用|解析式求解、面积计算与实际情境|解答题融入几何与代数综合（如面积问题），发展模型意识|

26.3二次函数与一元二次方程 用函数观点看方程，建立“数（方程根）”与“形（抛物线交点）”的联系.对于二次函数 ，当函数值时，它就转化为一元二次方程。 本质联系：一元二次方程的根，就是二次函数 图象与轴交点的横坐标。 一、判别式 Δ 与交点个数的对应关系 设判别式，抛物线与 轴的位置关系如下： 判别式 抛物线与轴交点个数 对应一元二次方程 的根 Δ > 0​ 有 两个不同的公共点 有两个不相等的实数根 Δ = 0​ 有一个公共点（顶点在 x 轴上） 有两个相等的实数根（重根） Δ < 0​ 没有公共点 没有实数根 二、利用二次函数图象求方程的近似根 当一元二次方程不易用公式法或因式分解求解时，可以用图象法估算： 1、 画出二次函数 的草图； 2、 观察图象与轴交点的横坐标大致范围； 3、 通过取平均数、缩小范围的方法，不断精确，得到根的近似值（通常保留小数点后一位）。 3、 典型实际应用模型 课本常以小球飞行高度为例： 1、问“高度能否达到某值”：即令h = 定值，转化为解方程定值，看是否有正实数解； 2、问“从飞出到落地的时间”：即求h= 0 时的正根（除 外的另一个根）。 四、常见题型与注意点 1、已知交点个数求参数：利用 Δ 与 0 的大小关系列不等式（注意 的前提）； 2、已知交点坐标：若在抛物线上，则，常用于整体代换求值； 3、图象读取信息：由开口定正负，由与轴交点定 c，由对称轴定关系。 这节内容是数形结合思想的典型体现，重点要理解“方程的根 ⇔ 交点横坐标 ⇔ Δ的符号”这三者的互推逻辑。 一、单选题 1．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ，或， 二次项系数不能为0，所以．故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 3．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（   ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，通过图象获取参数符号和判定式子的符号是解题的关键． 根据抛物线开口方向可知，根据对称轴可得可知b的正负、函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，进而判定①是否正确；根据抛物线与x轴的交点个数可以判定②是否正确；根据抛物线的对称性可以得到与x轴的另一个交点，从而判定③是否正确；根据图象可以判定④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为，与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，，即，，∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，，故③正确； ④根据抛物线图象可得，当时，随增大而减小，故④正确； 故正确的有①②③④，共4个．故选：D． 4．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为，∴关于 的不等式的解集是 ． 5．二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象：的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．由图象可得抛物线开口方向，从而可得函数有最小值，由抛物线与x轴交点可得抛物线对称轴及y随x增大而减小的取值范围，根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标可得函数值小于0的x的取值范围，进而求解． 【详解】解：由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，不正确，故A选项不符合题意； B．由图象可知，对称轴为，不正确，故B选项不符合题意； C．因为，所以，当时，随的增大而减小，不正确，故C选项不符合题意； D．由图象可知：当或时，，正确，故D选项符合题意．故选D． 6．由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解，根据表格可得方程的解在，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：根据表格可得方程的一个解的范围在， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴方程正数解的分布范围是，故选：B． 7．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得，故，故选：C． 8．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是．故选：． 9．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即，∴，解得． 10．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 二、填空题 11．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____． 【答案】10 【分析】把二次函数转化为关于的一元二次方程，抛物线与轴有且只有一个交点，说明一元二次方程，因此得到关于的方程，求出的值． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴，解得，故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论是本题的关键． 12．二次函数的图象如图所示，则方程的两根之和为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程的根，利用二次函数对称轴为直线即可解决此类问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与一元二次方程的关系． 【详解】设与轴的交点为，， ∴当时，，即，是方程的两个实数根， 根据图象可知，∴，故答案为：． 13．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题．分别求出，两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，函数是二次函数，令，即， 当时，二次函数的图象与轴有交点，解得：， 当时，函数是一次函数，其解析式为， 直线与轴有交点，故的取值范围是．故答案为：． 14．如图是二次函数的图象和一次函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，根据图象可以得到，使得的自变量x的取值范围就是二次函数的图象落在直线上方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象为抛物线，一次函数的图象为直线， ∴根据图象可得到，两函数图象的交点的横坐标为，2， 且当时，抛物线在直线下方，即， 当时，抛物线在直线上方，即， 当时，抛物线在直线下方，即， ∴当时，x的取值范围是．故答案为：． 15．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点A，B的坐标． (2)点P为第一象限内抛物线上一点，且的面积等于6，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的解题方法． （1）由对称轴为直线可得，求出的值，再将C代入求出的值，即可求出抛物线的解析式，令即可求出点A，B的坐标； （2）设，根据即可求解． 【详解】（1）抛物线与y轴交于点C，， 对称轴为直线，，， 抛物线的解析式为， 令，得，解得，，，， 即抛物线的解析式为，，； （2），，， 点P为第一象限内抛物线上一点， 设，其中， 的面积等于6， ，解得，（舍去）， 当时，，点P的坐标为． 17．如图，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点．已知一次函数的图象过点，． (1)求抛物线的对称轴和一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的的取值范围． 【答案】(1)抛物线对称轴为直线，一次函数解析式为 (2) 【分析】（）根据二次函数的解析式可求出抛物线的对称轴，再求出点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式； （）根据交点的坐标，结合两函数的图象即可得出不等式的解集； 本题考查了二次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与不等式等，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得，解得，， ∴点的坐标是，点的坐标是， 把代入，得，∴点的坐标是， 把和代入得，，解得， ∴一次函数的解析式是； （2）解：∵抛物线与一次函数的交点为，， ∴根据函数图象可知，的的取值范围是． 18．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，然后用待定系数法求出抛物线解析式，再令求解即可． 【详解】解：对于，当时，，∴， 把，代入，得，解得， ∴， 当时，，解得，∴． 19．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：，解得：，∴该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：，解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； （3）解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 20．已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)证明：由， 得，即， ，且．． 直线与抛物线总有两个交点. 【分析】（1）根据抛物线的顶点公式即可解答； （2）列方程，根据时，即可证明直线与抛物线总有两个交点． 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线 ． ，则， 抛物线的解析式为；（2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数与一元二次方程 用函数观点看方程，建立“数（方程根）”与“形（抛物线交点）”的联系.对于二次函数 ，当函数值时，它就转化为一元二次方程。 本质联系：一元二次方程的根，就是二次函数 图象与轴交点的横坐标。 一、判别式 Δ 与交点个数的对应关系 设判别式，抛物线与 轴的位置关系如下： 判别式 抛物线与轴交点个数 对应一元二次方程 的根 Δ > 0​ 有 两个不同的公共点 有两个不相等的实数根 Δ = 0​ 有一个公共点（顶点在 x 轴上） 有两个相等的实数根（重根） Δ < 0​ 没有公共点 没有实数根 二、利用二次函数图象求方程的近似根 当一元二次方程不易用公式法或因式分解求解时，可以用图象法估算： 1、 画出二次函数 的草图； 2、 观察图象与轴交点的横坐标大致范围； 3、 通过取平均数、缩小范围的方法，不断精确，得到根的近似值（通常保留小数点后一位）。 3、 典型实际应用模型 课本常以小球飞行高度为例： 1、问“高度能否达到某值”：即令h = 定值，转化为解方程定值，看是否有正实数解； 2、问“从飞出到落地的时间”：即求h= 0 时的正根（除 外的另一个根）。 四、常见题型与注意点 1、已知交点个数求参数：利用 Δ 与 0 的大小关系列不等式（注意 的前提）； 2、已知交点坐标：若在抛物线上，则，常用于整体代换求值； 3、图象读取信息：由开口定正负，由与轴交点定 c，由对称轴定关系。 这节内容是数形结合思想的典型体现，重点要理解“方程的根 ⇔ 交点横坐标 ⇔ Δ的符号”这三者的互推逻辑。 一、单选题 1．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 3．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（   ）个． ①； ②； ③方程的两个根是，； ④当时，随增大而减小． A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 5．二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 6．由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 7．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 二、填空题 11．已知抛物线．若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为____． 12．二次函数的图象如图所示，则方程的两根之和为____． 13．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 14．如图是二次函数的图象和一次函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 15．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 三、解答题 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点A，B的坐标． (2)点P为第一象限内抛物线上一点，且的面积等于6，求点P的坐标． 17．如图，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点．已知一次函数的图象过点，． (1)求抛物线的对称轴和一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的的取值范围． 18．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 19．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 20．已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $