第二十六章 二次函数重难点检测卷-（暑期衔接课堂）2026年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元检测卷，覆盖定义、图像、性质及应用全章重难点，通过人工增雨、足球飞行等真实情境和项目式学习题设计，适配暑假复习巩固，培养数学建模与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|二次函数定义、图像平移、与一次函数图像综合|结合炮弹飞行时间（第6题）考查对称性，体现数学眼光| |填空题|8/16|顶点坐标、函数值比较、图像与不等式|网球发射器问题（第18题）融合几何直观与运算能力| |解答题|8/64|解析式求解、面积最值、项目式学习|减速带设计（第26题）项目式学习，培养模型意识与推理能力|

第二十六章 二次函数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）判断下列是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：A、，若，则不是二次函数，故A不一定正确； B、，最高次项为，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； D、，符合二次函数定义，是二次函数，此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求解纵坐标． 将点的横坐标代入二次函数，计算对应的函数值即为的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴将代入解析式得，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）将拋物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的拋物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答． 【详解】解：将拋物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的拋物线的解析式为， 故选：D． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 5．（2026·河南驻马店·一模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）今年暑假，我省某地天气异常干旱，为缓解旱情，该地气象部门进行了人工增雨作业．人工增雨通过发射防雹增雨火箭弹的方式进行，已知该炮弹的飞行高度（米）和飞行时间（秒）的关系满足二次函数．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（    ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线的对称轴即可求解，掌握抛物线的对称性及性质是解题的关键． 【详解】解：∵炮弹在第秒与第秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴炮弹飞行高度最高的时间是第秒， 故选：． 7．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，即①正确； 根据图象，当时，， ∴将代入，得， 即②正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 综上，正确的共有4个， 故选：D． 8．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 9．（24-25九年级上·河南许昌·期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由题意得，抛物线经过，所以可设抛物线解析式为，代入可得抛物线解析式为，再根据抛物线解析式逐一分析判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得：， 设抛物线解析式为， 当时，有最大值， 即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 即足球被踢出时，距离地面的高度是，故②正确； 抛物线的对称轴为，即足球飞行路线的对称轴是直线，故③正确； 当时，， 即足球被踢出时落地，故④错误； 综上所述，只有②③正确，即正确的有2个． 故选：B． 10．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）函数的图象过点，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握“若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数解析式”这一核心结论． 先明确点的横坐标为，纵坐标为；再将横坐标代入函数的解析式中；最后计算出对应的函数值，该函数值即为的值． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点的坐标． 满足函数解析式，即当时，． 将代入得： ∵， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·周测）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 _____，顶点坐标为 __，对称轴为 __；抛物线，开口____，顶点坐标为 ______，对称轴为 ____．相比之下，抛物线 _____的开口程度较大． 【答案】 向上 y轴 向上 y轴 【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可． 【详解】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴； 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴． 相比之下，抛物线的开口程度较大． 故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，． 15．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是____． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与方程及不等式的关系求解． 【详解】解：当时，，当时，， 二次函数的对称轴为直线． 当时，， 当时，． 方程的解是或． 故答案为：或． 16．（2025九年级·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … t … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是______(填正确的序号)． 【答案】 ②③ 【分析】本题考查了二次函数的对称性、顶点坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系及函数值的计算，解题的关键是利用和时函数值相等求出对称轴，再结合时函数值大于0确定二次项系数的取值范围，进而分析各结论． 由和时，得对称轴，结合对称轴公式得；由时得，函数式化为；将代入，解得；分析①：顶点纵坐标为负，顶点在第四象限，①错误；分析②：由对称性得时另一根为3，②正确；分析③：计算，得，结合得，③正确． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，，故二次函数对称轴为． ∵ 对称轴， ∴ 又∵ 当时，， ∴ 二次函数解析式为． ∵ 当时，， ∴ ，即，解得． 分析①：顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∵ ， ∴ ，顶点在第四象限，故①错误． 分析②：方程的根，即时的取值． 已知时，由对称轴，得另一根为，故和是方程的根，②正确． 分析③：当时，； 当时， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故③正确． 故答案为：②③． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少_______个时，网球能落入桶内． 【答案】5 【分析】本题考查了抛物线的问题，解题的关键是需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础． 以抛物线的对称轴为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定的范围，根据为正整数，得出的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图）， ，，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点和点， ∴ ∴，， 抛物线解析式为：； 当时，； 当时，． ，在抛物线上； 设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内， 由题意，得，， 解得：， 为整数， 的最小整数值为：5， 竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球可以落入桶内． 故答案为：5． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）； （2）； （3）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了画二次函数图象，利用描点法画出这三个函数的图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：列表， 描点，连线画出函数图象如下： ．   20．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 21．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3)1， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的对称性是解题的关键； （1）根据对称性求出对称轴，进而确定顶点坐标，设顶点式，代入其中一个点，即可得解． （2）根据对称性即可得解； （3）根据抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，是对称点， 抛物线的对称轴是直线， 由表格可知，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：抛物线的对称轴是直线， 是对称点， ， 故答案为：； （3）解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴是直线，， 当时，y有最大值，y最大， ， ， 当时，y有最小值，y最小， 故答案为1，． 22．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与面积： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ． （2）解：，令，则， 解得，， ， ， ， ， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ， ， 有最大值， 当时，S有最大值，此时点P的坐标为． 23．（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和． (1)求的解析式； (2)直接写出：抛物线向右平移一个单位，当时，自变量的取值范围为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和代入抛物线，求解二元一次方程组即可； （2）根据函数图象的平移规律求得，联立，，求得交点坐标，然后结合函数图象，确定的部分． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得 ，解得， 则； （2）解：将抛物线向右平移一个单位可得， 联立，可得，， 化简可得， 解得， 结合函数图象可得，当时，自变量的取值范围为． 24．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性求得，根据表中的数据特征得出点坐标； （2）画出函数图象的草图即可； （3）观察图象，即可求得的值． 【详解】（1）解：当和时对应的值相等， 故二次函数的对称轴为， ∴； 由表格知，图象过， ∵图象与y轴相交于点， ∴； （2）略 （3）解：新图象如图： 由图象可知，直线与新图象有两个公共点，直线与新图象有两个公共点， 综上，或． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 26．（2026·河南三门峡·一模）项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【答案】(1)第一阶段与的函数关系式为，与的函数关系式为 (2)相邻两个减速带之间的距离约为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据表中数据得到速度为时，，再代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，知第一阶段v与t的函数关系式为，s与t的函数关系式为． 将代入， 得， 解得． ∴第一阶段与的函数关系式为， 与的函数关系式为． （2）解：由题意，知当时，， 此时，即第一阶段汽车行驶的路程为． ∴第二阶段汽车行驶的路程为．． ∴相邻两个减速带之间的距离约为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）判断下列是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江·期中）若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）将拋物线向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的拋物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南驻马店·一模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）今年暑假，我省某地天气异常干旱，为缓解旱情，该地气象部门进行了人工增雨作业．人工增雨通过发射防雹增雨火箭弹的方式进行，已知该炮弹的飞行高度（米）和飞行时间（秒）的关系满足二次函数．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（    ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 7．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 9．（24-25九年级上·河南许昌·期中）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）函数的图象过点，则__________． 12．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是___________． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·周测）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为________． 14．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 _____，顶点坐标为 __，对称轴为 __；抛物线，开口____，顶点坐标为 ______，对称轴为 ____．相比之下，抛物线 _____的开口程度较大． 15．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值． 1 2 3 0 则方程的解是____． 16．（2025九年级·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … t … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是______(填正确的序号)． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少_______个时，网球能落入桶内． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）； （2）； （3）． 20．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 21．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 22．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和． (1)求的解析式； (2)直接写出：抛物线向右平移一个单位，当时，自变量的取值范围为______． 24．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 26．（2026·河南三门峡·一模）项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 学科网（北京）股份有限公司 $