专题13 整数指数幂、分式方程 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题13 整数指数幂、分式方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 整数指数幂：在正整数指数幂基础上，拓展零指数幂、负整数指数幂； 掌握全套整数指数幂四则运算公式；利用负指数幂掌握小数科学记数法，完善幂运算知识体系。 分式方程：掌握分式方程定义与判定；核心思想为分式化整式，熟练标准解题四步法、强制验根规则； 分清增根与无解的区别；掌握分式方程应用题六步解题法，适配所有课内基础题型。 ✺学习目标 1.掌握零指数幂、负整数指数幂的定义及底数取值限制，熟练运用整数指数幂公式化简计算； 2.会用负指数幂表示极小小数，规范书写小数型科学记数法； 3.能准确判定分式方程，理解去分母、验根的原理，熟练求解基础分式方程； 4.清晰区分分式方程增根、无解两类易错概念，规避解题误区； 5.熟练掌握分式方程应用题完整流程，会找等量关系，能双重检验方程与实际意义； 6.规范解题步骤，形成完整知识体系，适配课内考试答题标准。 ✺题型归纳 题型1.负整数指数幂 题型2.整数指数幂的运算 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型4.还原用科学记数法表示的小数 题型5.分式方程的定义 题型6.解分式方程（化为一元一次） 题型7.根据分式方程解的情况求值 题型8.分式方程无解问题 题型9.列分式方程 题型10.分式方程的行程问题 题型11.分式方程的工程问题 题型12.分式方程的经济问题 题型13.分式方程和差倍分问题 题型14.分式方程的其它实际问题 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、零指数幂 a0=1(a≠0)。即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⚠️注意：00无意义，底数绝对不能为0。 知识点二、负整数指数幂 (a≠0，p为正整数)。即任意不等于0的数的负整数次幂，等于这个数正整数次幂的倒数。 核心理解：负指数不是负数，仅代表“取倒数”，可实现幂式与分式灵活互化。 知识点三、整数指数幂统一运算法则 正整数指数幂公式全部通用，适用于零指数、负指数（a≠0,b≠0，m、n为整数）： ◉同底数幂相乘：am ∙an = am+n（m,n是整数） ◉同底数幂相除：am ÷an = （a≠0，m,n是整数） ◉幂的乘方：(am)n = amn（m,n是整数） ◉积的乘方：(ab)n= an bn（n是整数） ◉分式的乘方：（n是整数） 知识点四、整数指数幂标准运算步骤 判底数：先判断底数不为0，排除无意义运算； 化负为正：将所有负指数幂转化为正指数倒数形式； 套公式运算：根据题型选用对应幂运算公式； 化简收尾：合并指数、整理式子，结果统一为正指数最简形式。 知识点五、小数的科学记数法 用途：表示绝对值小于1的正数。 标准格式：a× (1≤ |a| < 10，n为正整数) n取值方法：小数点向右移动至第一个非0数字后，移动位数即为n。 示例：0.000025=2.5×10-5 知识点六、分式方程的定义与判定 定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 分式方程的特征：一是方程；二是方程中含字母；三是分母中含有未知数。 解分式方程的基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 知识点七、增根与无解 增根定义：解分式方程去分母后得到的整式方程有解，但该解会使原分式方程的最简公分母为0，导致原分式方程无意义，这类解叫做分式方程的增根。 分式方程无解的两种情况：分式方程无解不等于一定有增根，主要包含两类情况： ① 去分母转化得到的整式方程本身无解，则原分式方程无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根，全部不满足原分式方程，原方程无解。 核心辨析：有增根不一定无解，只有全部解为增根时，分式方程才无解。 知识点八、分式方程标准解题步骤 找公分母：多项式分母先因式分解，确定最简公分母； 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； 解整式方程：按一元一次方程解法求出未知数； 验根定解：解代入最简公分母： ✅ 公分母≠0 → 是原方程的解 ❌ 公分母=0 → 是增根，原方程无解 知识点九、分式方程解应用题的步骤 审：梳理题意，找出核心等量关系； 设：合理设未知数（优先直接设元）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：按标准步骤解方程； 验：双重检验（方程有效+符合实际意义）； 答：规范书写答案。 ✺题型精讲 题型1.负整数指数幂 1．计算的值为（     ） A． B． C． D． 2．计算______________． 3．计算： 题型2.整数指数幂的运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： (1) (2)． 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．将数用科学记数法表示为________． 3．纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． (1)求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； (2)已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 题型4.还原用科学记数法表示的小数 1．2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 3．用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5.分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 3．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 题型6.解分式方程（化为一元一次） 1．将方程去分母，得（     ） A． B． C． D． 2．分式方程的解为_______． 3．解方程：． 题型7.根据分式方程解的情况求值 1．若分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的分式方程有增根，则________． 3．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 题型8.分式方程无解问题 1．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 2．关于的分式方程有增根，则________． 3．若关于x的分式方程无解，求m的值． 题型9.列分式方程 1．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 3．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 题型10.分式方程的行程问题 1．2026年5月，太原地铁1号线迎来全面运营一周年．某中学组织八年级学生乘坐地铁前往太原双塔公园开展“跨学科主题学习”，已知去时乘坐地铁，返回时乘坐新能源大巴，去时的速度是返回时速度的倍，且去时比返回时少用了15分钟，若往返的路程均为，晓华根据情境列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（     ） A．乘坐大巴所用的时间 B．乘坐地铁所用的时间 C．乘坐地铁的平均速度 D．乘坐大巴的平均速度 2．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 3．斑马线前“车让人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，晓雯共用12秒通过，其中通过段的速度是通过段速度的2倍，求晓雯通过段时的速度． 题型11.分式方程的工程问题 1．某车间计划加工360个零件，由于技术改进，实际每天加工零件的个数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务．设原计划每天加工零件个，则（     ） A． B． C． D． 2．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 3．“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． (1)方程①中表示： ；方程②中表示： ； (2)任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 题型12.分式方程的经济问题 1．某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 2．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 3．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．求“文学类”图书的单价是多少元． 题型13.分式方程和差倍分问题 1．古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 3．社区开展便民“图书驿站”建设活动，原计划投资8000元建设若干便民“图书驿站”，为提升配套设施，实际每间便民“图书驿站”建设费用增加了，实际总投资为11520元，并且实际建设间数比原计划多2间便民“图书驿站”，求原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是多少元？ 题型14.分式方程的其它实际问题 1．一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（     ） A．加入的水量 B．减少的水量 C．加入的盐量 D．减少的盐量 2．如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产200个产品，甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产____个产品． 3．某印刷厂原计划印制套某种图书．在实际生产过程中，由于订单追加，生产任务增加了套，工厂通过优化流程，每天比原计划多印制套．最终，实际完成全部生产任务的天数是原计划完成 套图书所需天数的倍．求原计划每天印制多少套图书． ✺巩固测试 一、单选题 1．某种新型纳米涂层的厚度为米．将5层这样的涂层叠加，总厚度用科学记数法表示为（     ） A．米B．米 C．米 D．米 2．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．7 4．某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小州由已知信息列出方程，则方程中表示的是（     ） A．骑自行车的速度 B．汽车的速度 C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间 5．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂） 7．对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为__________． 9．汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字字，小明抄写原文比小华多花分钟，小华抄写速度是小明的倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为______． 10．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 三、解答题 11．解下列分式方程： (1)； (2)． 12．在数学课上老师出了一道题，小马同学完成分式方程的部分求解过程如下： 解方程： 去分母，得：；① 去括号，得：；② 移项，得：；③ ……． 请根据以上解题过程回答问题： (1)小马同学从第 步开始出现错误，你的判断依据 ； (2)请写出正确的解答过程． 13．西成高铁的开通让汉中融入了西安和成都的“朋友圈”．已知西安北站到汉中站的高铁里程约为240千米．若“复兴号”列车的平均速度是“和谐号”列车平均速度的1.2倍，且从西安北到汉中，“复兴号”比“和谐号”少用10分钟，求“复兴号”的平均速度． 14．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 15．某地装有A，B两种沼气池，已知A沼气池处理15吨有机垃圾所用的时间与B沼气池处理18吨有机垃圾所用的时间相同，且A沼气池每小时比B沼气池少处理1吨有机垃圾． (1)求A沼气池每小时处理多少吨有机垃圾； (2)现需新建沼气池，并要求A沼气池比B沼气池多建2个，若新建的A，B两种沼气池1小时至少需要完成109吨的处理任务，那么B沼气池至少新建多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 整数指数幂、分式方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 整数指数幂：在正整数指数幂基础上，拓展零指数幂、负整数指数幂； 掌握全套整数指数幂四则运算公式；利用负指数幂掌握小数科学记数法，完善幂运算知识体系。 分式方程：掌握分式方程定义与判定；核心思想为分式化整式，熟练标准解题四步法、强制验根规则； 分清增根与无解的区别；掌握分式方程应用题六步解题法，适配所有课内基础题型。 ✺学习目标 1.掌握零指数幂、负整数指数幂的定义及底数取值限制，熟练运用整数指数幂公式化简计算； 2.会用负指数幂表示极小小数，规范书写小数型科学记数法； 3.能准确判定分式方程，理解去分母、验根的原理，熟练求解基础分式方程； 4.清晰区分分式方程增根、无解两类易错概念，规避解题误区； 5.熟练掌握分式方程应用题完整流程，会找等量关系，能双重检验方程与实际意义； 6.规范解题步骤，形成完整知识体系，适配课内考试答题标准。 ✺题型归纳 题型1.负整数指数幂 题型2.整数指数幂的运算 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型4.还原用科学记数法表示的小数 题型5.分式方程的定义 题型6.解分式方程（化为一元一次） 题型7.根据分式方程解的情况求值 题型8.分式方程无解问题 题型9.列分式方程 题型10.分式方程的行程问题 题型11.分式方程的工程问题 题型12.分式方程的经济问题 题型13.分式方程和差倍分问题 题型14.分式方程的其它实际问题 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、零指数幂 a0=1(a≠0)。即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⚠️注意：00无意义，底数绝对不能为0。 知识点二、负整数指数幂 (a≠0，p为正整数)。即任意不等于0的数的负整数次幂，等于这个数正整数次幂的倒数。 核心理解：负指数不是负数，仅代表“取倒数”，可实现幂式与分式灵活互化。 知识点三、整数指数幂统一运算法则 正整数指数幂公式全部通用，适用于零指数、负指数（a≠0,b≠0，m、n为整数）： ◉同底数幂相乘：am ∙an = am+n（m,n是整数） ◉同底数幂相除：am ÷an = （a≠0，m,n是整数） ◉幂的乘方：(am)n = amn（m,n是整数） ◉积的乘方：(ab)n= an bn（n是整数） ◉分式的乘方：（n是整数） 知识点四、整数指数幂标准运算步骤 判底数：先判断底数不为0，排除无意义运算； 化负为正：将所有负指数幂转化为正指数倒数形式； 套公式运算：根据题型选用对应幂运算公式； 化简收尾：合并指数、整理式子，结果统一为正指数最简形式。 知识点五、小数的科学记数法 用途：表示绝对值小于1的正数。 标准格式：a× (1≤ |a| < 10，n为正整数) n取值方法：小数点向右移动至第一个非0数字后，移动位数即为n。 示例：0.000025=2.5×10-5 知识点六、分式方程的定义与判定 定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 分式方程的特征：一是方程；二是方程中含字母；三是分母中含有未知数。 解分式方程的基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 知识点七、增根与无解 增根定义：解分式方程去分母后得到的整式方程有解，但该解会使原分式方程的最简公分母为0，导致原分式方程无意义，这类解叫做分式方程的增根。 分式方程无解的两种情况：分式方程无解不等于一定有增根，主要包含两类情况： ① 去分母转化得到的整式方程本身无解，则原分式方程无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根，全部不满足原分式方程，原方程无解。 核心辨析：有增根不一定无解，只有全部解为增根时，分式方程才无解。 知识点八、分式方程标准解题步骤 找公分母：多项式分母先因式分解，确定最简公分母； 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； 解整式方程：按一元一次方程解法求出未知数； 验根定解：解代入最简公分母： ✅ 公分母≠0 → 是原方程的解 ❌ 公分母=0 → 是增根，原方程无解 知识点九、分式方程解应用题的步骤 审：梳理题意，找出核心等量关系； 设：合理设未知数（优先直接设元）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：按标准步骤解方程； 验：双重检验（方程有效+符合实际意义）； 答：规范书写答案。 ✺题型精讲 题型1.负整数指数幂 1．计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．计算______________． 【答案】3 【详解】解：原式. 3．计算： 【答案】 【详解】解： = = =． 题型2.整数指数幂的运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方法则将原式分解为系数和字母分别进行负指数幂运算，再将结果相乘即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1) (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，单项式的乘除混合运算． （1）先将负整数幂，零指数幂，乘方化简，再进行计算即可； （2）先根据积的乘法运算法则将乘方化简，再根据同底数幂乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．将数用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．当原数的绝对值小于时，为负整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 3．纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． (1)求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； (2)已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（1）用单层薄膜厚度乘以薄膜的层数即可得到答案； （2）用（1）计算的结果除以一根头发丝的直径即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：层该纳米薄膜叠加后的总厚度为； （2）解：， 答：上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的30倍． 题型4.还原用科学记数法表示的小数 1．2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【详解】解：∵纳秒秒秒， ∴纳秒秒秒． 2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 【答案】0.000000102 【详解】解：对于科学记数法，当时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，． 将的小数点向左移动位，得到原数为． 3．用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了将用科学记数法表示的数化为小数，解题的关键是掌握科学记数法中指数与小数点移动位数的关系； （1）表示小数点向左移动5位，将的小数点向左移5位，得到； （2）表示小数点向左移动8位，将的小数点向左移8位，得到； （3）表示小数点向左移动5位，将的小数点向左移5位，得到； （4）表示小数点向左移动7位，将的小数点向左移7位，得到． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型5.分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 2．下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 3．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 题型6.解分式方程（化为一元一次） 1．将方程去分母，得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 方程两边同时乘以去分母，得． 2．分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解一元一次方程后检验，即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 3．解方程：． 【答案】 无解 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 题型7.根据分式方程解的情况求值 1．若分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得 ， 展开并整理得 ， ∵原分式方程有增根， ∴分式的分母为0，即， 解得， 把代入， 得 ， 解得 ． 2．已知关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，根据分式方程有增根的条件是分母为0建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 解得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴． 3．关于的分式方程．若方程的增根为，求的值． 【答案】 【分析】先去分母、去括号、移项、合并同类项得到方程，结合分式方程的增根为，得到，解分式方程即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 方程的增根为，即是方程有解， ， 则方程的解为， ，解得， 经检验，是分式方程的解， ． 题型8.分式方程无解问题 1．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】分式方程无解的本质是解为增根，增根使原分式方程分母为0，先将分式方程化为整式方程，再根据增根计算m的值即可． 【详解】解：对原方程变形得， 方程两边同乘，得， 整理得， ∵原分式方程无解， ∴（分母为0的增根）， 代入得， 解得． 2．关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先把分式方程去分母得到整式方程，然后根据方程有增根的问题进行求解即可． 【详解】解：由方程去分母得：， ∵该方程有增根， ∴，即， ∴把代入得：， 解得：． 3．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或或 【分析】根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得， 当，即时，该方程无解； 当时，， 关于x的分式方程无解， ， 解得或， 时，原分式方程无解， 解得，或． 综上所述，若关于x的分式方程无解，或或． 题型9.列分式方程 1．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，即两次每人分得的钱数相等，正确用未知数表示两次每人分得的钱数即可列出方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则第一次每人分得元，第二次每人分得元， 根据题意，可列方程． 2．轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 【答案】 【分析】分别表示顺水速度和逆水速度，再根据顺水比逆水少用1小时的时间关系列方程． 【详解】解：∵水流速度为，轮船在静水中速度为， ∴顺水速度为，逆水速度为， ∵A，B两码头相距，时间=路程÷速度， ∴逆水航行时间为小时，顺水航行时间为小时， ∵顺水比逆水少用1小时， ∴可列方程为． 3．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握根据题干找出等量关系是解题的关键； （1）根据题干设出的未知数，列式子表示出表格中的量； （2）根据（1）中的信息列出方程． 【详解】（1）解：已知甲队单独做这项工程需要x天， 则甲队的工程效率为总量与时间的比值：， 由信息②可知，乙队所用时间为：天， 乙队工程效率为：； ∴表格为： 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 x 乙队 1 （2）解：根据题干中的条件③可得:合作3天的工作量再加上乙队单独完成的工作量等于整个工作量“1”， ∴方程为： 题型10.分式方程的行程问题 1．2026年5月，太原地铁1号线迎来全面运营一周年．某中学组织八年级学生乘坐地铁前往太原双塔公园开展“跨学科主题学习”，已知去时乘坐地铁，返回时乘坐新能源大巴，去时的速度是返回时速度的倍，且去时比返回时少用了15分钟，若往返的路程均为，晓华根据情境列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（     ） A．乘坐大巴所用的时间 B．乘坐地铁所用的时间 C．乘坐地铁的平均速度 D．乘坐大巴的平均速度 【答案】B 【分析】根据行程问题中速度=路程÷时间的关系，结合题目给出的速度、时间条件，对应方程各部分即可得到x的意义． 【详解】解：∵往返路程均为，行程问题中，已知去时（地铁）速度是返回时（大巴）速度的倍，去时比返回少用分钟，即小时，若为乘坐地铁所用的时间，则乘坐大巴的时间为， ∴地铁速度为，大巴速度为，根据速度关系可得，与题目给出的方程一致， 因此表示乘坐地铁所用的时间． 2．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据“甲走完全程比乙少用．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度是，根据题意，可列方程为 ． 3．斑马线前“车让人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，晓雯共用12秒通过，其中通过段的速度是通过段速度的2倍，求晓雯通过段时的速度． 【答案】晓雯通过段时的速度为米/秒． 【分析】设晓雯通过段时的速度为米/秒，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设晓雯通过段时的速度为米/秒，则通过段时的速度为米/秒， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：晓雯通过段时的速度为米/秒． 题型11.分式方程的工程问题 1．某车间计划加工360个零件，由于技术改进，实际每天加工零件的个数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务．设原计划每天加工零件个，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据工作时间工作总量工作效率，分别表示出原计划和实际完成任务的时间，再结合实际比原计划提前5天完成，即可列出对应方程． 【详解】解：设原计划每天加工零件个， ∵总零件数为个， ∴原计划完成任务的时间为天， ∵实际每天加工零件的个数是原计划的倍， ∴实际每天加工个， ∴实际完成任务的时间为天， ∵实际比原计划提前天完成任务，即原计划时间比实际时间多天， ∴列方程得． 2．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 【答案】 【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可 【详解】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为， 实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为， 实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成， 即原来用时比实际用时多天， 因此可列方程： 3．“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． (1)方程①中表示： ；方程②中表示： ； (2)任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 【答案】(1)甲组每小时加工的件数；甲组加工200件所用的时间 或 乙组加工240件所用的时间 (2)甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件 【分析】（1）由可得方程①中表示：甲组每小时加工的件数；由可得方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）分别解两个方程，进一步可得答案. 【详解】（1）解：方程①中表示：甲组每小时加工的件数；方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）解：方程①：， 解得：， 经检验：是原方程的解 ，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件； 方程②：， 解得： ， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件． 题型12.分式方程的经济问题 1．某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以还价后比原价多买2本为等量关系，分别表示两种单价下的购买数量列方程 【详解】解：设原价每本元，则还价后每本元，原价购买数量为本，还价后购买数量为本， ∵还价后比原价多买2本， ∴． 2．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径．线上平台上有一种标价为元的商品，若按标价的八折销售，每件商品的利润率为，则这种商品每件的成本价为___元． 【答案】 【分析】设成本为，由利润率计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设这种商品每件的成本价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 3．为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．求“文学类”图书的单价是多少元． 【答案】15元 【分析】根据购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本列方程即可求解． 【详解】解：设“文学类”图书的单价是x元，根据题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：“文学类”图书的单价是15元． 题型13.分式方程和差倍分问题 1．古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量总价单价，分别表示出降价后和按原价购买布的数量，再根据题目给出的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：设每匹布原价为钱，则降价后每匹布的价格为钱， 降价后用48钱买到布的数量为，原价用48钱买到布的数量为． 降价后买到布的数量是原价购买数量的倍， 可列方程为． 2．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【答案】 【分析】设洋槐一天单位面积固碳量是x克，根据题意列出分式方程求解即可 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 所以洋槐一天单位面积固碳量是克． 3．社区开展便民“图书驿站”建设活动，原计划投资8000元建设若干便民“图书驿站”，为提升配套设施，实际每间便民“图书驿站”建设费用增加了，实际总投资为11520元，并且实际建设间数比原计划多2间便民“图书驿站”，求原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是多少元？ 【答案】原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 【分析】设原计划每间建设费用为x，再根据等量关系“实际建设间数比原计划多2间”列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每间便民“图书驿站”的建设费用为x元． 实际每间建设费用为元． 根据题意，得， ， ， ； 检验：当时，， 故是原方程的解，且符合实际意义． 答：原计划每间便民“图书驿站”的建设费用是800元． 题型14.分式方程的其它实际问题 1．一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（     ） A．加入的水量 B．减少的水量 C．加入的盐量 D．减少的盐量 【答案】B 【分析】根据盐水浓度公式：，分析方程中分子和分母的含义，确定盐的质量和总质量的变化，即可得到的实际意义． 【详解】解：∵原来盐水浓度为，题目要求新浓度为原来的倍，方程左边对应新浓度，观察方程右边，分子仍为，和原来盐的质量相等， ∴盐的质量没有变化，排除C，D； ∵新盐水总质量为，比原总质量减少了，且盐的质量不变， ∴减少的部分为水，即表示减少的水量． 2．如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产200个产品，甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产____个产品． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品，根据工作时间工作总量工作效率，结合“甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同”列出分式方程，解之即可求解． 【详解】解：设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲型号机械手臂每小时生产个产品． 故答案为：． 3．某印刷厂原计划印制套某种图书．在实际生产过程中，由于订单追加，生产任务增加了套，工厂通过优化流程，每天比原计划多印制套．最终，实际完成全部生产任务的天数是原计划完成 套图书所需天数的倍．求原计划每天印制多少套图书． 【答案】原计划每天印制套图书 【分析】设原计划每天印制套，则实际每天印制套，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天印制x套图书，则优化流程后实际每天印制套图书． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：原计划每天印制120套图书． ✺巩固测试 一、单选题 1．某种新型纳米涂层的厚度为米．将5层这样的涂层叠加，总厚度用科学记数法表示为（     ） A．米B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先计算5层涂层的总厚度，再将结果整理为符合规范的科学记数法，科学记数法的标准形式为，要求满足. 【详解】解：∵ 一层涂层厚度为米， ∴ 5层涂层总厚度为：， 即总厚度用科学记数法表示为米. 2．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得整式方程 ∵分式方程有增根， ∴ 令，得增根 将增根代入整式方程，得 解得 ． 4．某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小州由已知信息列出方程，则方程中表示的是（     ） A．骑自行车的速度 B．汽车的速度 C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间 【答案】A 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题目给出的方程和已知条件，推导的实际含义即可． 【详解】∵路程速度时间，，方程左边和为路程除以速度的形式， ∴代表速度， 设表示骑自行车的速度，则汽车速度为， 自行车先走分钟，汽车晚出发分钟且早到分钟， ∴骑自行车总共比乘汽车多用分钟，分钟小时， ∴骑自行车的总时间乘汽车的总时间，即， ∴表示骑自行车的速度． 5．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴，因此正确选项为B． 二、填空题 6．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂） 【答案】/ 【详解】解：原式． 7．对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 【答案】 【分析】按照新定义的运算规则，将已知等式转化为关于x的分式方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ，解得：， 经检验：是分式方程的解． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为__________． 【答案】5 【分析】分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的取值，先求出增根，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 方程两边同乘去分母，得， 将代入，得. 9．汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字字，小明抄写原文比小华多花分钟，小华抄写速度是小明的倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为______． 【答案】 【分析】设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字， 根据题意得，． 10．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 三、解答题 11．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，得出一元一次方程，解方程求出整式方程的解，最后检验即可得出答案； （2）先去分母，去括号，得出一元一次方程，解方程求出整式方程的解，最后检验即可得出答案． 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 12．在数学课上老师出了一道题，小马同学完成分式方程的部分求解过程如下： 解方程： 去分母，得：；① 去括号，得：；② 移项，得：；③ ……． 请根据以上解题过程回答问题： (1)小马同学从第 步开始出现错误，你的判断依据 ； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①，去分母时等式右边的常数项漏乘了最简公分母 (2)解方程：， 去分母，得：； 去括号，得：； 移项，得：； 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 经检验，是原方程的解． 【详解】（1）解：小马同学从第①步开始出现错误，判断依据是去分母时等式右边的常数项漏乘了最简公分母； （2）略 13．西成高铁的开通让汉中融入了西安和成都的“朋友圈”．已知西安北站到汉中站的高铁里程约为240千米．若“复兴号”列车的平均速度是“和谐号”列车平均速度的1.2倍，且从西安北到汉中，“复兴号”比“和谐号”少用10分钟，求“复兴号”的平均速度． 【答案】“复兴号”的平均速度为288千米/时 【分析】设“和谐号”列车平均速度为x千米/时，则“复兴号”列车平均速度为千米/时．根据时间路程速度，表示出“复兴号”和“和谐号”的时间，根据时间差列出方程，即可求解． 【详解】解：设“和谐号”列车平均速度为x千米/时，则“复兴号”列车平均速度为千米/时．根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则“复兴号”列车平均速度为（千米/时）， 答：“复兴号”的平均速度为288千米/时． 14．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 15．某地装有A，B两种沼气池，已知A沼气池处理15吨有机垃圾所用的时间与B沼气池处理18吨有机垃圾所用的时间相同，且A沼气池每小时比B沼气池少处理1吨有机垃圾． (1)求A沼气池每小时处理多少吨有机垃圾； (2)现需新建沼气池，并要求A沼气池比B沼气池多建2个，若新建的A，B两种沼气池1小时至少需要完成109吨的处理任务，那么B沼气池至少新建多少个？ 【答案】(1)5吨 (2)9个 【分析】（1）设A沼气池每小时处理有机垃圾吨，则B沼气池每小时处理有机垃圾吨，列分式方程求解即可； （2）设B沼气池新建个，则A沼气池新建个，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A沼气池每小时处理有机垃圾吨，则B沼气池每小时处理有机垃圾吨， 根据题意得，     解得，     经检验，是分式方程的根，且符合实际，     答：A沼气池每小时处理5吨有机垃圾； （2）解：由（1）得A，B沼气池每小时分别处理5吨和6吨有机垃圾， 设B沼气池新建个，则A沼气池新建个， 根据题意得， 解得，     答：B沼气池至少新建9个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $