第13单元三角形01讲 与三角形有关的线段 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

【暑假预习讲义】人教新版数学新八上 第十三单元 三角形 01讲 与三角形有关的线段 学习目标： 1、了解三角形的有关概念和稳定性； 2、理解三角形的内角和、外角和及三边关系 3、了解三角形的内心、外心、重心 学习重难点： 能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题和证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题 【基础知识】 一、 三角形的基本概念： ⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形． 三角形具有稳定性． ⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角． 在同一个三角形内，大边对大角． ⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角． 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)． 2、 与三角形相关的边 ⑴三角形中的三种重要线段 ①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部； 钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立． 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系 ①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边． ②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 【例题精选】 例1 如图所示，∠BAC的对边是（　　） A、BD B、DC C、BC D、AD 【解析】根据三角形对边的定义可知：∠BAC的对边是BC． 【答案】∠BAC的对边是BC．故选C． 例2 三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（　　） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 【解析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于5； 再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数． 【答案】根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5； 再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个． 故选B． 例3 为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（　　） A、19.5 B、20.5 C、21.5 D、25.5 【解析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可． 【答案】如图，最短总长度应该是5+4+5.5+6=20.5cm．故选B． 例4 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A、3，8，4 B、4，9，6 C、15，20，8 D、9，15，8 【解析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【答案】A：∵3+4＜8∴不能构成三角形； B：∵4+6＞9∴能构成三角形； C：∵8+15＞20∴能构成三角形； D：∵8+9＞15∴能构成三角形． 故选A． 例5 为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（　　） A、5m B、15m C、20m D、28m 【解析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【答案】∵PA、PB、AB能构成三角形， ∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m． 故选D． 【课后练习】 1．如图，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（　　） A、0＜x＜3 B、x＞3 C、3＜x＜6 D、x＞6 2. 在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )． A．，， B．，， C．，， D．，， 3.如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是( ) A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米 4.已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边的长可能是( ) A． B． C． D． 5.现有长度分别为，，，的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为__________。 6.已知，如图，P,Q为三角形ABC内两点，B,P,Q,C构成凸四边形，求证：． 7. 如图，在中取一点，使，求证：． 参考答案与试题解析 1．如图，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（　　） A、0＜x＜3 B、x＞3 C、3＜x＜6 D、x＞6 【解析】根据三角形的三边关系定理来确定腰长x的取值范围． 【答案】若△ABC是等腰三角形，需满足的条件是： 6﹣x＜x＜6+x，解得x＞3； 故选B． 2.在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )． A．，， B．，， C．，， D．，， 【解析】略 【答案】D． 3.如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是( ) A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米 【解析】略 【答案】A． 4.已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边的长可能是( ) A． B． C． D． 【解析】略 【答案】Ｃ． 5.现有长度分别为，，，的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 ． 【解析】应用枚举法：满足题意有下面三组． 【答案】3 6.已知，如图，P,Q为三角形ABC内两点，B,P,Q,C构成凸四边形，求证：． 【解析】略 【答案】作直线，分别与交于点 由三角形的三边关系可得 ①+②+③得 ∴即 7. 如图，在中取一点，使，求证：． 【解析】略 【答案】如图，延长交于点，． ∵，故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $