第一章 特殊平行四边形单元练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级数学第一章特殊平行四边形基础卷，以可伸缩书架、火车站吊灯等现实情境为载体，覆盖性质判定、计算推理等核心知识，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形菱形正方形共性质（第1题）、平行四边形判定（第3题）|基础概念辨析，突出图形性质关联性| |填空题|5/15|中点性质（第12题）、动点最值（第14题）|结合几何直观，考查知识灵活应用| |解答题|8/75|作图（第16题无刻度直尺作矩形）、折叠综合（第23题矩形折叠）|融合轴对称变换与空间观念，体现创新意识|

※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学第一学期第一章特殊平行四边形 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 2.如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 4．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 5．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 6.“图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆，连杆的交点M为，中点，N为，中点，P为，中点，Q为，中点，当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离（     ） A．伸长了 B．伸长了 C．伸长了 D．伸长了 7.如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 8．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为( ) A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（　　） A． B． B． C． D． 10.如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，矩形中，，点在上，且，则 ． 12如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 第11题 第12题 第13题 第14题 13．如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ． 14．如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 15．在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个以为边的矩形； (2)在图2中，作一个以为对角线的菱形． 17.本小题分石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 18.本小题8分如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19.本小题8分在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长 20本小题10分如图1，在中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 21.本小题10分如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 22本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为． (1)填空：_______； (2)点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 23本小题12分综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 (1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学第一学期第一章特殊平行四边形 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 2.如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 4．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 5．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 6.“图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆，连杆的交点M为，中点，N为，中点，P为，中点，Q为，中点，当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离（     ） A．伸长了 B．伸长了 C．伸长了 D．伸长了 7.如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 8．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为( ) A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（　　） A． B． B． C． D． 10.如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①；②四边形是菱形； ③；④． 其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，矩形中，，点在上，且，则 ． 12如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 第11题 第12题 第13题 第14题 13．如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ． 14．如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 15．在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个以为边的矩形； (2)在图2中，作一个以为对角线的菱形． 17.本小题分石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 18.本小题8分如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19.本小题8分在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长 20本小题10分如图1，在中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长． (2)求证：． (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 21.本小题10分如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 22本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为． (1)填空：_______； (2)点M是线段上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 23本小题12分综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键． 如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 【数学思考】 (1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长； (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期第一章特殊平行四边形 基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大 第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C B D B A A 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12. 13． 14． 15．　或或　 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 (1)解：如图，矩形为所求； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 (2)解：如图，菱形为所求． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分) (1)证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 四边形是菱形， ， ∴平行四边形是菱形；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：四边形是菱形，， ， 在中，为的中点， ， 在中，， ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 四边形为菱形， 菱形的周长为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 18.本小题分 (1)证明：∵平分，平行四边形中，， ∴，且， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 又∵，， ∴四边形为平行四边形． 在菱形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，， ∴菱形边长 ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴ ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 19.本小题8分（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 又∵，， ∴四边形是正方形；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：∵，，， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵四边形是正方形， ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 20本小题10分 （1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）如图，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积， 即， ∴解得， 在中，由勾股定理，得，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 由（2）可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 21.本小题10分） （1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵为的中点，， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴， 即， 在与中， ， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 22.本小题12分解:（1）解：直线分别与轴、轴交于点、，且点的坐标为， ， 解得， 故答案为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：由（1）知直线的解析式为，则， ∴． 设（），则，， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 情况一：以为对角线时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 展开得， 移项化简得， ∴ ∴ ∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，. ， ∴的坐标为， 情况二：以为对角线， ∵四边形是菱形， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴， ∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，， ∴的坐标为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 情况三：以为对角线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即， ， ， ∵， ∴， 则， ∵菱形对角线互相平分，中点坐标为，， ∴的坐标为，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 综上，在坐标平面内存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，的坐标为或或． 23本小题12分 (1)解：四边形是正方形，理由如下， 由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：由对称的性质得， 又∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）解：情况1：当点在线段上，F，E，D三点共线时，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 情况2：当点在线段的延长线上，如下图所示， 由对称的性质以及矩形的性质， 得， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 综上所述，的长度为或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $保密大启用前 九年级数学第一学期第一章特殊平行四边形基础卷 【北师大版2026】 考试范围：北师大第一章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前，填写好自已的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2.答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3.有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出 答题区域书写的答案无效。 4.请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D,对角线平分一组对角 【答案】A 解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角：菱形的对角线互相平分且垂直，平分一 组对角，对角线不相等：正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， .矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分. 2.如图，菱形ABCD中，若∠C=110°，则∠ABD的度数是() A.20° B.30° C.35° D.45° 【答案】C 解：，四边形ABCD是菱形， .ABI/CD. ∠ABC+∠C=180°， .∠C=110°， .∠ABC=180°-110°=70°， ,四边形ABCD是菱形， .BD平分∠ABC, :<46Bn=3<4aC=570=35r 1 2 2 3.如下图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是() D A.当∠BAD=90°时，它是矩形 B.当AC=BD时，它是矩形 C.当OA=OB时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是矩形 【答案】D 解：A选项，：平行四边形ABCD,∠BAD=90° ∴，平行四边形ABCD是矩形，A选项正确，不符合题意： B选项，，平行四边形ABCD,AC=BD ∴，平行四边形ABCD是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形ABCD中， ÷0A=0C=)4COB=OD=BD 2 2 OA=OB. ..AC=BD ∴，平行四边形ABCD是矩形，C选项正确，不符合题意； D选项，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意. 4.一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为 边AB的中点，则CD的长为() D B A.3cm B.6cm C.7cm D.12cm 【答案】B 解：由图可知AB=12cm, 在△ACB中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点， :CD=4B=6cm 故选：B 5.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接 PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积是() O A.10 B.12 C.16 D.18 【答案】C 解：如图，作PM⊥AD于M,交BC于N, M E ,四边形ABCD是矩形， ∴.四边形AEPM,四边形DFPM,四边形BEPN都是矩形， S.ADC=S,ABC,S.AMP=S.AEP,S.PFC=S.PCN,MP=AE=2, :.S矩形BEPv=S矩形MPFD=MP.PF=2×8=16 1 1 .wES.mD-S.FOM M 3 .S.PBE=S.PDM, .S阴影=S,PBE+SPFD=S,PDM+S,PFD=S矩形MPrD=l6 6.“图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆AG=GC=CI=IE=BF=BH=HD=DJ=25cm, 连杆的交点M为AG,BF中点，N为GC,BH中点，P为CI,HD中点，Q为E,DJ中点，当AF的 长由l5cm缩短至7cm时，书架两侧的挡板AF与EJ之间的距离() 图① 图② A.伸长了8cmB.伸长了16cm C.伸长了80cm D.伸长了96cm 【答案】B 【详解】解：连接AB,FG,BG, B C D G 图② :点M为AG,BF中点，AG=BF=25cm, .四边形ABGF是矩形， ∴AF=BG,∠BAF=90° 当4F=BG=15cm时，AB=VBF2-AF2=V252-152=20cm: 当AF=BG=7cm时，AB=VBF2-AF2=V252-72=24cm; ∴.当AF的长由15cm缩短至7cm时，AF与BG之间的距离AB的长度伸长24-20=4cm, 同理，当AF的长由15cm缩短至7cm时，BC,CD,DE各伸长24-20=4cm, ∴.当AF的长由l5cm缩短至7cm时，书架两侧的挡板AF与EJ之间的距离4×4=16cm. 7.如图所示，在△PBC中，EF为三角形中位线，过点P作PO⊥EF,垂足为Q,将△PBC分割后拼接成 矩形ABCD.若EF=8,PO=6,则矩形ABCD的面积是() 4 A.48 B.24 C.72 D.96 【答案】D 解：四边形ABCD是矩形， .∠A=90°， 在△PBC中，EF为三角形中位线， .EP=EB,BC=2EF=16. .PQ⊥AD ∴.∠PQE=∠A=90° ∠AEB=∠QEP .△AEB≌aQEP(AAS) ∴AB=PQ=6 .矩形ABCD的面积=16×6=96 故选D 8.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=I0,P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于 点F,则EF的最小值为( A F E B C 24 A.12 B.5 24 【答案】B 解：连接AP,如图 5 B :AB=6,AC=8,BC=10 :AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC为直角三角形，∠A=90°， :PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F, ∴.∠AEP=∠AFP=90° ∴.四边形AEPF为矩形， ∴.EF=AP,当AP的值最小时，EF的值最小， 当AP⊥BC时，AP的值最小， AP=6×824 此 105, 24 ∴.EF的最小值为5， 故答案为B AB CD,DE E2B2,A B2C2D2,D2EEBs... 9.在平面直角坐标系中，正方形 ，按如图所示的方式放置，其中 B ,E,E,C,E,E,C…在轴上，己知正方形 A B C D 1,∠BC0=60° 点在轴上，点 的边长为 8CaC/BC,则E方形4 B..CD.的边长是（） A B D B D.B A ■D E E2 C2 Es EC3 2025 v3 2026 √3 2025 1 2026 3 3 【答案】A 解：“正方形 A B C D 的边长为1， ∠B,CO=60°B,C,∥BC2∥B,C3 6 A B C D DE E2B2 AB2C2D2 D2EE B 四边形 都是正方形， D,E=B,,DE=B,E,每个内角都为 0°∠B2C2E2=∠B,C3E3=60° .∠D,CE,=∠C,B,E2=∠CB,E4=90°-60°=30°， 测46=n6-, :ac=c5+8e2c-G八+ 则4c-9 3 3 同理可得： 3 故正方形A,BCDm的边长是： 2025 则正方形A,BC D,s 的边长为： 3 故选：A 1 10.如图，在矩形ABCD中，AB<BC,连接AC,分别以点A和点C为圆心，大于24C的长为半径作弧， 两弧交于点M和点N,直线MN分别交AD、BC于点E、F,连接CE、AF.给出下面四个结论： ①AB⊥BC: ②四边形AECF是菱形： ③AC·EF=AE·AB: ④∠DEC=2∠DAC. 其中正确的是() 7 E B A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 【答案】A 解：四边形ABCD是矩形， AB⊥BC,AD‖BC,故①正确， 如图，设EF与AC交于点O, M E D .∠EAO=∠FCO, 由题意得EF垂直平分AC, ∴.EA=EC,AF=CF，AO=CO,EF⊥AC, 在△EAO和△FCO中， ∠EAO=∠FCO A0=CO ∠AOE=∠COF=90° ∴.AEAO≌△FCO(ASA) ∴.AE=CF, ..AE=CE=AF=CF, ∴.四边形AECF是菱形，故②正确， :S爱形c=2×EF×AC.S影形=AE×AB, C)XEF×AC=AE×AB ，故③错误， .·EA=EC .∠DAC=∠ECA, .∠DEC=∠DAC+∠ECA=2∠DAC,故④正确， 综上所述，①②④正确， 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，矩形ABCD中，AB=2BC,点E在CD上，且AE=AB,则∠ABE=一 A B 【答案】75 解：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC. AB=2BC,AE=AB, ∴.AE=2AD ∠ADE=90°， .∠AED=30°」 AB∥DC, ∠BAE=∠AED=30°， ·∠ABE=∠AEB=180-30°)=75° 2 故答案为：75°. 12如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别为AC,BC的中点，点F在线段DE上， ∠AFC=90°，AB=14,EF=3,则BE的长是」 【答案】V33 解：D,E分别为AC,BC的中点， :DE=1AB=7 BE=1BC 2 EF=3! .DF=DE-EF=4, :D为AC的中点，∠AFC=90°，DF=4, DF=CD=DA=AC=4 9 AC=8, :∠ACB=90°， :BC=VAB2-AC2=V142-82=233. ÷BE=BC=VB3 2 13.如图，正方形1BCD的边长等于，△BCE是正三角形，则 BDE= A 51 【答案】44 解：作EH⊥BC于H,EK⊥CD于K, :正方形ABCD的边长等于1， .BC=CD=1,∠BCD=90°」 5.ocn=1x1x1=1 22 ,△BCE是正三角形， .EB=EC=BC=1,∠BCE=60°， :BH=cH-8c-3,2ECD=0-6=30e 22 .5.nce -Ixx 1.11 x2×24, ,ce=12X24, -511_51 44244. 10 51 故答案为：44. D ▣ 14.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,∠D=120°，AC平分∠DAB,P是对角线AC上的一个动 点，点是AB边上的一个动点，则PB+P的最小值是一 D B 【答案】V3 解：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∠DCA=∠BAC, AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC,∠DCA=LDCA, .DA=DC,∴.平行四边形ABCD是菱形，连接PD,DQ,过点D作DE⊥AB于点E, D D 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB PB+PO=PD+P№≥DO≥DE,即DE就是PB+P巴的最小值，∠ADC=120°，∠BAD=60°， 年Rt△ADE中，AD=2,ZADE=90-∠BD30PE=2D 由勾股定理，得DE=VAD-AE=V2-P=V3.PB+P的最小值为5.故答案为：5， 15.在矩形ABCD中，AB=6,AC=10,点P是折线B-C-D上的动点（且点P不与点B重合），当AP的 长为整偶数时，则BP的长是 11 【答案】2√7或8或10 解：：四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=6,AD=BC,∠B=∠BCD=∠D=90°， .AC=10 AD=BC=VAC2-AB2=V102-62=8, ,点P是折线B-C-D上的动点（且点P不与点B重合）， 当点P在BC上运动时，如图， D 设BP=x(0<x≤8)，则AP=VAB2+BP=V6+x=V36+x】 .0<x≤8 .0<x2≤64 36<36+x2≤100. ,AP的长为整偶数， .36+x2=64或36+x2=100, 当36+x2=64时，解得x=2V7或x=-2√7（不合题意，舍去）； 当36+x2=100时，解得x=8或x=-8(不合题意，舍去)； BP的长为2W7或8： 当点P在CD上运动时，如图， 设DP=y(0≤y≤6)，则AP=VAD2+Dp=V8+y-V64+y 0≤y≤6 .0≤y2≤36 .64≤64+y2≤100 ,AP的长为整偶数， 12 .64+y2=64或64+y2=100 当64+y=64时，解得y=0, 当y=0时，点P和点D重合，此时BP=BD=AC=10; 当64+y=100时，解得y=6或y=6(不合题意，舍去)， 当y=6时，P和点C重合，此时BP=BC=8: 综上，BP的长是2√7或8或10 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分)如图，是一正六边形ABCDEF,请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保 留作图痕迹)· y A 9 B B 图1 图2 (I)在图1中，作一个以BD为边的矩形： (②)在图2中，作一个以BD为对角线的菱形， (1)解：如图，矩形ABDE为所求； A B D 图1 (2)解：如图，菱形BCDG为所求 13- A B G D 图2 17.(本小题8分石家庄火车站始建于清光绪二十三年(1897年)，经过多年的改建扩建，现已成为京津冀 地区重要的交通枢纽.为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如 图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC,BD相交于点O,四边形AECF是其内部框架， 且点E、F在BD上，BE=DF. 图1 图2 (1I)求证：四边形内部框架AECF为菱形， (2)若AE⊥AD,F为DE的中点，AF=4,求四边形ABCD的周长. (1)证明：~四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD,OA=OC. BE=DF, ..OE=OF. ∴四边形AECF是平行四边形. :四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD. ∴.平行四边形AECF是菱形： (2)解：：四边形AECF是菱形，AF=4, .AE AF=4. 在△ADE中AE⊥AD,F为DE的中点， .DE=2AF=8, 在Rt△ADE中，AE2+AD=DE2, .AD=V82-42=4V5 四边形ABCD为菱形， 14 ∴菱形ABCD的周长为4×4V5=165 ABCD AC BD 18.(本小题8分)如图，平行四边形 .0.4C平分 的对角线，相交于点， ∠BAD,DP∥AC,CP∥BD D (I)求证：四边形OCPD是矩形： (2)若AC=6,BD=8,求OP的长. (1)证明：，AC平分∠BAD,平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∴.∠BAC=∠CAD,且∠BCA=∠CAD, .∠BAC=∠BCA, .'AB=BC, ∴.平行四边形ABCD为菱形， 又：DP∥AC,CP∥BD, ∴四边形OCPD为平行四边形 在菱形ABCD中，AC⊥BD, ∠COD=90°， ∴平行四边形OCPD为矩形. (2)解：在矩形OCPD中，OP=CD,在菱形ABCD中，CD=BC,且AC=6,BD=8, (BD BC= 4c)2 =V32+42=5 ∴菱形边长 2 2 ..OP=CD=BC=5 ABCD ACBD、,O,EF BD 19.(本小题8分)在菱形 中，对角线， 交于点，点，在对角线上的位置如图所示， 且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE,CF,AF. D B 15 (1)求证：四边形AECF是正方形： 2话B=6,0B=35.求4E的张 (1)解：：四边形ABCD是菱形， .AO=CO,BO=DO,AC⊥EF, .BE DF, .BO-BE DO-DF, ∴.E0=FO. 又，AO=C0, ∴，四边形AECF是平行四边形， 又，AC=EF,AC⊥EF, ∴.四边形AECF是正方形： (2)解：AB=V26,OB=32,AC1EF, .A0=VAB2-0B2=22」 ,四边形AECF是正方形， 、A0=0E=0F=0C=2V2, AE=AO2+OE2=4 ABCD AB=AD AC=24 BD=18 AC BD 20(本小题10分)如图1，在 ‘中， 相交于点，且 CE∥BD,BE∥AC,连接OE D D B 图1 图2 (1)求AB的长. (2)求证：OE=AD (3)如图2，设BC与OE相交于点P,连接DP，,求DP的长. (1)解：，四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ∴.平行四边形ABCD是菱形， 16 O4=0c-4C=120B=0D=D=9,4C∠BD, ∴∠AOB=90° .AB=VOA+0B2=V122+92=15 (2)证明：，CE∥BD,BE∥AC, ∴四边形OBEC是平行四边形. 由(1)可知四边形ABCD是菱形， .AD=BC,AC⊥BD ∴.∠B0C=90° .平行四边形OBEC是矩形， ∴.OE=BC, ..OE=AD (3)如图，过点D作DH⊥BC于点H, D H B ,四边形ABCD是菱形， .BC=AB=15, 1 =BCx DH=二ACx BD ,菱形ABCD的面积 2 1 15×DH=-×24×18 即 ∴解 DH=72 5, H=m-Dm=8-径 54 在Rt△BDH中，由勾股定理，得 由(2)可得四边形OBEC是矩形， PB=IBC=15 2 、PH=BH-PB=54_1533 5210. 在Rt△PDH中， 2 ABCD AC E CD AE F AE 21.本小题10分如图，矩形 中， 为对角线.为延长线上一点，连接，为的中点， 17 连接BF,CF,DF D (I)若AD=8,DE=6,求DF的长度： (2)若∠BFD=90°，求证：AC=CE. (1)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADC=∠ADE=90°」 由勾股定理得AE=VAD2+DE2=10. ,F为AE的中点，∠ADE=90°， r-4E=5 (2),四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠BAD=90°， .∠ADE=90°， ,F为AE的中点， DF=4F-专4C .∠FAD=∠FDA ,四边形ABCD是矩形，∠ADC=∠BAD=90°， .AB=CD .∠BAD+∠FAD=∠ADC+∠FDA, 即∠FDC=∠FAB, 在△FDC与△FAB中， FD=FA ∠FDC=∠FAB CD=AB .AFDC≌aFAB(SAS) ∴.∠DFC=∠AFB, .∠BFD=90°，即∠BFC+∠DFC=90°， ∴.∠BFC+∠AFB=90°， ∴.∠CFA=90° .CF垂直平分线段AE, 18 ..AC=CE 22本小题12分) 如图，在平面直角坐标系中，直线少= 一4x+b分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0)： A (1)填空：b= (2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N,使得以O、 B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标 3 (1)解：直线y=一4x+b分别与x轴、y轴交于点A、B'且点A的坐标为(4,0)， 3 ×4+b=0 4 解得b=3, 故答案为：3： 2)解：由①知直线的解析式为y=-4+3,则B0,3)y .OB=3 3 M mm+3 设(” 0m4.则0w=后时，am-+- 情况一：以OB为对角线时， B M A ,四边形OMBN是菱形， 19 ..OM=BM, 9 展开得m2+ 16 2m+9=m2+9 m2 16 9 移项化简得2m+9=0, 2m=-9 9 .m=2 2 “支花到线相学分0哪中作为引2》 2. 3 .N的坐标为 2 情况二：以ON为对角线， M ,四边形OBNM是菱形， ..OB=OM=3. 3 2 :0M=m+4m+3 =32 即m+2m2_9 9 m=0 16 2 72 解得m=0(舍去)，m= 25, 20 M 7221 (2525 /3648 ~菱形对角线互相平分，MB中点坐标为25'25， 0(0,0) /7296 N的坐标为25’25 情况三：以OM为对角线， B ,四边形ONMB是菱形， ∴.OB=BM=3, 即m2+ 9 m2=9 16 25 m2=9 16 m214 25· .0<m<4, 则传引 63 “菱形对角线互相平分，M0中点坐标为5'5， B(0,3) 21 v的标为)。 23 综上，在坐标平面内存在另一个点N,使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，N的坐标为 22或 7296 23本小题12分综合与探究 【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键】 R- Ri- 图1 图2 图3 备用图 如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,F为射线BC上一动点，连接AF,将△ABF沿AF折叠得到 △AEF,点B的对应点为E. 【数学思考】 (I)如图2，当点E落在AD边上时，判断四边形ABFE的形状，并说明理由. (2)如图3，当点E落在对角线AC上时，求线段EF的长： (3)在点F运动的过程中，当F,E,D三点共线时，请直接写出线段EF的长. (1)解：四边形ABEF是正方形，理由如下， 由折叠的性质得AB=AE,∠AEF=∠B, ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠BAE=90°. 又，∠B=∠BAE=∠AEF=90°， ∴.四边形ABEF是矩形， 又，AB=AE, ∴四边形ABEF是正方形. (2)解：由对称的性质得△ABF≌△AEF, 又，四边形ABCD是矩形， 22 .AB=AE=6,BC=AD=8,BF=EF,∠B=∠AEF=90° 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,AC=VAB+BC2=10, .CE=AC-AE=10-6=4, 设BF=EF=x,则CF=BC-BF=8-x, 在RtAECF中，CE2+EF2=CF2, 即4+r=(8-,解得x=3, .EF=3 (3)解：情况1：当点F在线段BC上，F,E,D三点共线时，如下图所示， D B2--- 由对称的性质以及矩形的性质， AB=AE=CD=6,AD=BC=8,BF=EF 在Rt△ADE中，AD=8,AE=6,DE=VAD2-AE2=2V万. 设BF=EF=x,则CF=BC-BF=8-x,DF=2V7+x, 在RtDCF中，CF2+CD=DF,即8-+6=(2万+x 解得x=8-2W7, EF=8-27: 情况2：当点F在线段BC的延长线上，如下图所示， D B C 由对称的性质以及矩形的性质， AB=AE=CD=6,AD=BC=8,BF=EF 在Rt△ADE中，AD=8,AE=6,DE=VAD2-AE2=27 设BF=EF=x,则CF=BF-BC=x-8,DF=x-27, 23 在RDCF中，CF2+CD2=DF,即x-8y'+6=(x-27 解得x=8+2V7, EF=8+27: 综上所述，EF的长度为8-27或8+2V7」 -24