第六章 概率的进一步认识 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 概率的进一步认识 知识归纳与题型总结 题型01 用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【典例1-1】某班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．    类别 频数人数 频率 小说           戏剧           散文           其他           合计           根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)该班有______名学生； (2)请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； (3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的人恰好是乙和丙的概率． 【答案】(1) (2)①，②，③，④； (3) 【分析】（1）根据散文的频数和频率，可以计算出该班有多少名学生； （2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以将频数分布表补充完整，然后计算出扇形统计图中“其他”类所占的百分比即可； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【详解】（1）解：该班的学生有：（名）； （2）解：类型为小说的频数为， 类型为戏剧的频率为 ， 类型为其他的频率为： ， 合计为， 补全的频数分布表如下： 类别 频数人数 频率 小说 戏剧 散文 其他 合计 扇形统计图中“其他”类所占的百分比为：； （3）解：画树状图如下：    由上可得，一共有种可能性，其中选取的是乙和丙的有两种可能性， ∴选取的人恰好是乙和丙的概率为． 【典例1-2】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的几率为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设三条绳子分别用A，B，C表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两人选到同一条绳子的结果有种， ∴两人选到同一条绳子的概率为． 【典例1-3】为加强学生青春自护教育，校从七八九三个年级各抽取部分学生举行了青春自护知识竞赛，成绩记为，，，，共个等级，制作了如图所示的条形统计图和扇形统计图． (1)求这次抽取多少名学生，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为______； (2)补全条形统计图； (3)成绩等级为的优秀学生恰为三名男生和两名女生，现从中随机抽取两人在周一升旗仪式上发言，请用列表法或画树状图法，求正好抽到一男一女的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由等级的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可解决问题； （2）求出等级的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，正好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：这次抽取的学生人数为：（名）， 扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为：； （2）解：等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如图； （3）解：画树状图如图： 共有种等可能的结果，正好抽到一男一女的结果有种， ∴正好抽到一男一女的概率为． 题型02 用频率估计概率 一、用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 二、频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【典例2-1】为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字不同外，其余完全相同．七年级学生想知道盒子中“国学常识”的卡片数量，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡次数 50 100 150 200 250 300 摸到“国学常识”的卡片次数 16 29 46 60 b 90 摸到“国学常识”的卡片频率 0.32 0.29 0.31 a 0.30 0.30 (1)填空：表中________（保留两位小数），________； (2)根据表中数据，估计从盒子中任意摸出一张卡片摸到“国学常识”卡片的概率（保留一位小数）． 【答案】(1)，； (2)0.3 【分析】（1） 由频率=频数总次数，可分别求出和的值． （2） 观察表中频率随摸卡次数增大的变化趋势，当试验次数足够大时频率趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】（1）解：频率， ， 第5列频率为0.30，摸卡次数为250， ． （2）解：观察表中频率数据： 0.32，0.29，0.31，0.30，0.30，0.30， 随着摸卡次数的增大，频率在0.3附近波动并趋于稳定， 估计从盒子中摸到“国学常识”卡片的概率为0.3． 【典例2-2】地理兴趣小组想估算一个形状不规则的天然湖泊的水面面积，他们采取了如下方法：用一个已知面积为的规则矩形区域（代表包含湖泊的研究范围）将湖泊完整框住，然后通过随机模拟试验（模拟降水落点）来估算：在该矩形区域内随机生成大量“降水落点”（落在矩形外或边界上的不计入试验），记录落点落在湖泊水面内的次数，绘制成频率折线统计图（试验次数足够多时，频率稳定在0.35附近） (1)根据表格记录的试验结果，估计降水落点落在湖泊水面内的概率为：______； (2)请计算该湖泊的水面面积大约为多少？ 【答案】(1) (2)该湖泊的水面面积大约为 【分析】（1）用频率和概率之间的关系解答即可； （2）设湖泊的水面面积为S，矩形区域的面积为，根据几何概型的概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近.题目中明确说明频率稳定在0.35附近，因此降水落点落在湖泊水面内的概率估计值为； （2）解：设湖泊的水面面积为S，矩形区域的面积为， 根据几何概型的概率公式，降水落点落在湖泊水面内的概率为， ∴该湖泊的水面面积． 【典例2-3】如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 一、选择题 1．如图，体育课上，六位同学（分别记为，，，，，）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，如可以将球传给，或，但不能将球传给或．现在球在手中，假设没有传球失误，则经过两次随机传球后球在手中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画树状图，可得两次传球共有9种等可能结果，传球后球在手中的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如图所示， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次随机传球后球在手中的结果有2种，故所求概率是． 故选：A． 2．如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：依据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有9种等可能的结果，其中两次转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的结果有4种， ∴． 3．小颖在同一副扑克牌中找出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出2张，抽出的2张扑克牌刚好是红桃和方片的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查古典概型概率计算，先找出抽2张牌所有等可能结果，再找出满足条件的结果数，用满足条件的结果数除以总结果数即可得到概率． 【详解】解：将黑桃、梅花、红桃、方片分别记为黑，梅，红，方， 黑 梅 红 方 黑 梅黑 红黑 方黑 梅 黑梅 红梅 方梅 红 黑红 梅红 方红 方 黑方 梅方 红方 ∵一次抽出2张，所有等可能的结果共种，其中刚好是红桃和方片的结果只有种， ∴所求概率． 4．河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们在古代文化史上地位极高． 如图有四张卡片，其正面分别印有四大书院，它们除正面外完全相同． 把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片，画树状图得到所有的等可能的结果，找出符合题意的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将上述四个书院的图片制成编号分别为的四张卡片， 画树状图，如图所示： 一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片上的书院所在地都在河南的结果有种， ∴抽到的两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为． 5．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 6．一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近，可得白球出现的概率为，进而即可求解． 【详解】解：由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近， ∴白球出现的概率为， ∵总球数为10个， ∴白球的个数为（个）． 7．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满元就有两次转动转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有元、元、元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）．刘阿姨购物满元，则她转得最大返利金的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中最大，且出现了次，故刘阿姨转得最大返利金的概率为． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 【答案】C 【分析】根据折线图，得到概率为，逐一求出概率，进行比较判断即可． 【详解】解：由折线图可知：该事件的概率为：； A、抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的概率为：，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为：，不符合题意； C、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为：，符合题意； D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合题意． 9．春夏秋冬又被称为“四季”，是地球围绕太阳运行所产生的结果．春天始于二十四节气中的“立春”，夏天始于“立夏”，秋天始于“立秋”，冬天始于“立冬”．小铭要将正面印有“春”“夏”“秋”“冬”四张图片中的两张送给好朋友小馨．小铭将它们背面朝上放在桌面上（背面完全相同），让小馨从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小馨抽到的两张图片恰好是印有“春”和“冬”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将春、夏、秋、冬的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片恰好是“春”和“冬”的结果有2种， 故其概率为：． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 二、填空题 11．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 12．某水果公司以2元的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润7000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价为______元比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率（计算频率时精确到三位小数，计算损坏率时精确到0.1）”统计，结果如下： 柑橘总质量 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】3 【分析】先根据多次试验的频率估计柑橘损坏的概率，再计算完好柑橘的质量，根据总售价等于成本加利润列方程求解定价． 【详解】解：根据频率公式补充后的完整表格如下： 柑橘总质量 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 可知随着抽取柑橘总质量增加，柑橘损坏的频率逐渐稳定在， 因此估计柑橘损坏率为． 得柑橘中完好柑橘的质量为： 设每千克柑橘定价为元， 根据题意列方程得： 解得． 13．在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式即可计算得到袋中红球的个数． 【详解】解：由频率估计概率的知识可知，摸到红球的概率为， 已知袋中球的总个数为， 设袋中红球的个数为， 根据概率公式可得， 解得， 因此袋中红球的个数是． 14．不透明的口袋中装有个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个． 【答案】 【分析】大量反复试验下频率稳定值即为概率，设出白球个数，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到白球的频率稳定在附近， ∴， 解得， 经检验，为原方程的解． 15．如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在内的概率为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点D作，交于点H，利用相似三角形的判定与性质得，设，则，由已知条件求得，，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：如图，过点D作，交于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴随机向内投掷一枚小针，则针尖落在内的概率． 故答案为：． 三、解答题 16．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】此游戏规则不公平，理由为： 列表如下： 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 6 8 10 12 3 9 12 15 18 ∵所有等可能的情况数有12种，其中乘积为奇数的情况有4种，乘积为偶数的情况数有8种， ∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为奇数和偶数的情况数，进而求出甲乙两人获胜的概率，比较即可． 【详解】略 17．为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“奶制品类，肉制品类，面制品类，豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题： (1)这次抽查了四类特色美食共______种，扇形统计图中______，扇形统计图中部分圆心角的度数为______； (2)补全条形统计图； (3)如果节目组想从类的甲、乙、丙、丁四种特色美食中随机选择两种进行节目录制，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两种美食的概率． 【答案】(1)20，40， (2)补全条形统计图如图所示： (3) 【分析】（1）根据A类的种数除以占的百分比即可得到总种数；再根据总数依次求出即可； （2）求出B的种数是，进而补全统计图即可； （3）画出树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：这次抽查了四类特色美食共（种）， ∵， ∴， ∵， ∴扇形统计图中A部分圆心角的度数是； （2）解：B的种数是，图略； （3）解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两种美食的结果有2种， ∴恰好选中甲和乙两种美食的概率为． 18．为庆祝“中国共产主义青年团成立100周年”，我校开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分九年级学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查中共抽取 名学生，在扇形统计图中，D等级占比为 ，B等级所对应的扇形圆心角的度数为 ． (2)补全条形统计图； (3)若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A等级的学生共有多少名？ (4)现从A等级的4名同学a、b、c、d中任选2名同学参加市级知识竞赛，请用树状图或列表法求出c同学参加的概率． 【答案】(1)100，， (2) (3)估计这次竞赛成绩为A等级的学生共有312名 (4) 【分析】（1）根据A所占的百分比，频数、频率、总数之间的关系即可求出本次调查中共抽取的学生数，计算出B等级所对应的扇形圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B、C等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （3）求出A等级所占整体的百分比即可求出相应的人数； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中c同学参加的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生总人数为（名）， 在扇形统计图中，D等级占比为，B等级所对应的扇形圆心角的度数为； 故答案为：100，，； （2）D等级所占的百分比为：， 则B等级所占的百分比为：， 故B、C等级的学生分别为：（名），（名）， 补全条形图如下， （3）（名）， 答：估计这次竞赛成绩为A等级的学生共有312名； （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中c同学参加的结果有6种， ∴c同学参加的概率为． 19．2026年深圳市观澜河龙舟赛共有44支队伍参赛，分为三个组别：公开组12支，机关企事业组15支，社区组17支． (1)从全部队伍中随机抽取一支进行采访，抽到社区组队伍的概率为______； (2)若赛后组委会准备从公开组和机关企事业组中抽取9支队伍进行“龙舟文化”宣讲，小明认为：“既然机关企事业组比公开组多3支队伍，那么从机关企事业组抽6支，公开组抽3支，对每支队伍都公平．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；如果不公平，请你重新设计一种对每支队伍都公平的抽取方式． 【答案】(1) (2)小明的说法不正确， 按照小明的抽取方案，公开组每支队伍被抽中的概率为， 机关企事业组每支队伍被抽中的概率为， 二者概率不相等，因此小明的说法不正确； 要保证公平，需使两组单支队伍被抽中的概率一致，公开组和机关企事业组共27支， 抽取9支，单支被抽中的概率为， ∴，， ∴公平的抽取方案为从公开组抽取4支队伍，从机关企事业组抽取5支队伍 【分析】（1）利用简单概率公式进行计算； （2）根据概率求出频数． 【详解】（1）解：抽到社区组队伍的概率为； （2）解：略． 20．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）． (1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩； 学生 项目 1 2 3 4 5 6 平均分 众数 中位数 C x 6 7 8 8 9 a b c D 6 8 8 8 9 9 8 d 8 ①______； ②如果，且x不是这组中成绩最高的，求x的值： (2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率． 【答案】(1)①8，②； (2)列表见解析， 【分析】（1）①根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，找出众数即可知的值；②分两种情况求解：当x≤7时，则中位数，根据平均数的计算公式求解满足要求的值即可；当且为整数时，中位数，，根据平均数的计算公式求解满足要求的值即可； （2）根据要求列表格，求解概率即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知众数 故答案为：8． ②当x≤7时，则中位数 ∵ ∴平均值 解得：； 当且为整数时， ∵x不是这组中成绩最高的 ∴中位数， ∵ ∴平均值 解得（舍去） ∴综上所述，x的值为7． （2）解：列表如下： C D E C （C、C） （C、D） （C、E） D （D、C） （D、D） （D、E） E （E、C） （E、D） （E、E） 由表格可知，甲和乙选第三项项目共有9种等可能的结果，其中，甲乙选择不同测试项目有6种可能， ∴概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第六章 概率的进一步认识 知识归纳与题型总结 题型01 用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【典例1-1】某班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．    类别 频数人数 频率 小说           戏剧           散文           其他           合计           根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)该班有______名学生； (2)请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； (3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的人恰好是乙和丙的概率． 【典例1-2】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的几率为（　 　） A． B． C． D． 【典例1-3】为加强学生青春自护教育，校从七八九三个年级各抽取部分学生举行了青春自护知识竞赛，成绩记为，，，，共个等级，制作了如图所示的条形统计图和扇形统计图． (1)求这次抽取多少名学生，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数为______； (2)补全条形统计图； (3)成绩等级为的优秀学生恰为三名男生和两名女生，现从中随机抽取两人在周一升旗仪式上发言，请用列表法或画树状图法，求正好抽到一男一女的概率． 题型02 用频率估计概率 一、用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 二、频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【典例2-1】为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字不同外，其余完全相同．七年级学生想知道盒子中“国学常识”的卡片数量，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡次数 50 100 150 200 250 300 摸到“国学常识”的卡片次数 16 29 46 60 b 90 摸到“国学常识”的卡片频率 0.32 0.29 0.31 a 0.30 0.30 (1)填空：表中________（保留两位小数），________； (2)根据表中数据，估计从盒子中任意摸出一张卡片摸到“国学常识”卡片的概率（保留一位小数）． 【典例2-2】地理兴趣小组想估算一个形状不规则的天然湖泊的水面面积，他们采取了如下方法：用一个已知面积为的规则矩形区域（代表包含湖泊的研究范围）将湖泊完整框住，然后通过随机模拟试验（模拟降水落点）来估算：在该矩形区域内随机生成大量“降水落点”（落在矩形外或边界上的不计入试验），记录落点落在湖泊水面内的次数，绘制成频率折线统计图（试验次数足够多时，频率稳定在0.35附近） (1)根据表格记录的试验结果，估计降水落点落在湖泊水面内的概率为：______； (2)请计算该湖泊的水面面积大约为多少？ 【典例2-3】如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 一、选择题 1．如图，体育课上，六位同学（分别记为，，，，，）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，如可以将球传给，或，但不能将球传给或．现在球在手中，假设没有传球失误，则经过两次随机传球后球在手中的概率是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一个质地均匀的转盘均分成3个扇形，分别标注数字，，．转动转盘两次（指向边界处时重转），则转盘停止后指针所指区域的数字都是无理数的概率是（     ） A． B． C． D． 3．小颖在同一副扑克牌中找出黑桃、梅花、红桃、方片各一张（背面朝上），小刚从小颖手中一次抽出2张，抽出的2张扑克牌刚好是红桃和方片的概率是（   ） A． B． C． D． 黑 梅 红 方 黑 梅黑 红黑 方黑 梅 黑梅 红梅 方梅 红 黑红 梅红 方红 方 黑方 梅方 红方 4．河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们在古代文化史上地位极高． 如图有四张卡片，其正面分别印有四大书院，它们除正面外完全相同． 把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为（     ） A． B． C． D． 5．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 6．一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满元就有两次转动转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有元、元、元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）．刘阿姨购物满元，则她转得最大返利金的概率为（     ） A． B． C． D． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（     ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 D．一副去掉大小王的扑克牌洗牌后，从中任抽一张牌的花色是红桃 9．春夏秋冬又被称为“四季”，是地球围绕太阳运行所产生的结果．春天始于二十四节气中的“立春”，夏天始于“立夏”，秋天始于“立秋”，冬天始于“立冬”．小铭要将正面印有“春”“夏”“秋”“冬”四张图片中的两张送给好朋友小馨．小铭将它们背面朝上放在桌面上（背面完全相同），让小馨从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小馨抽到的两张图片恰好是印有“春”和“冬”的概率是（     ） A． B． C． D． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 12．某水果公司以2元的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润7000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价为______元比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率（计算频率时精确到三位小数，计算损坏率时精确到0.1）”统计，结果如下： 柑橘总质量 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 13．在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 14．不透明的口袋中装有个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个． 15．如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在内的概率为___________ 三、解答题 16．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 17．为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“奶制品类，肉制品类，面制品类，豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题： (1)这次抽查了四类特色美食共______种，扇形统计图中______，扇形统计图中部分圆心角的度数为______； (2)补全条形统计图； (3)如果节目组想从类的甲、乙、丙、丁四种特色美食中随机选择两种进行节目录制，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两种美食的概率． 18．为庆祝“中国共产主义青年团成立100周年”，我校开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分九年级学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查中共抽取 名学生，在扇形统计图中，D等级占比为 ，B等级所对应的扇形圆心角的度数为 ． (2)补全条形统计图； (3)若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A等级的学生共有多少名？ (4)现从A等级的4名同学a、b、c、d中任选2名同学参加市级知识竞赛，请用树状图或列表法求出c同学参加的概率． 19．2026年深圳市观澜河龙舟赛共有44支队伍参赛，分为三个组别：公开组12支，机关企事业组15支，社区组17支． (1)从全部队伍中随机抽取一支进行采访，抽到社区组队伍的概率为______； (2)若赛后组委会准备从公开组和机关企事业组中抽取9支队伍进行“龙舟文化”宣讲，小明认为：“既然机关企事业组比公开组多3支队伍，那么从机关企事业组抽6支，公开组抽3支，对每支队伍都公平．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；如果不公平，请你重新设计一种对每支队伍都公平的抽取方式． 20．某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中AB为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分（成绩均为整数且不低于0分）． (1)下表是分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩； 学生 项目 1 2 3 4 5 6 平均分 众数 中位数 C x 6 7 8 8 9 a b c D 6 8 8 8 9 9 8 d 8 ①______； ②如果，且x不是这组中成绩最高的，求x的值： (2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $