5.4 二次函数与一元二次方程 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，核心讲解利用二次函数图象求方程近似根的方法。导入通过函数y=x²+2x-5的图象引导学生观察根的大致范围，结合探究、归纳步骤，构建从观察到估算再到验证的学习支架。 其亮点在于以图象观察和表格计算为载体，培养学生几何直观（数学眼光）发现根的范围，推理意识（数学思维）归纳步骤，模型观念（数学语言）建立函数与方程联系。实例如例1用表格数据判断根的范围，助力学生发展抽象能力和运算能力，教师可借助清晰流程提升教学效率。

第5章 二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数图象求方程的近似根、解不等式(组) 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 导入新课 你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)? 由图象知，抛物线与x轴有两个交点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间。 y x 1 2 1 2 3 -1 -2 -1 -2 -3 -4 O 3 -3 -4 -5 -6 4 这两个根分别是1.5和－3.5吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 你能利用二次函数的图象(如图①②③)估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(精确到0.1) 探 究1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【方法指导】由图象可知，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 x y －4.1 －1.39 －4.2 －0.76 －4.3 －0.11 －4.4 0.56 从表可知，当x取－4.4和－4.3 时，对应y的值由正变负，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使得y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根。由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以选x＝－4.3。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 x y 2.1 2.2 2.3 2.4 －1.39 －0.76 －0.11 0.56 方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3 同理可得另一个根x＝2.3。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 归纳总结 利用二次函数的图象求方程的近似根的步骤： 观察图象，判断方程的根的大致范围； 准确估算自变量多取一位小数的若干函数值并列表比较； 借由表格判断方程的近似根。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)利用二次函数的图象(如图)求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根。 探 究2 近似根：2.7 x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9 y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21 x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21 近似根：－4.7 由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)你还能利用二次函数y=x²+2x-10的图象求一元二次方程 x²+2x-10=3的近似根吗？ y=x²+2x-10和直线y=3交点和横坐标就是方程 x²+2x-10=3的根. y=3 y=x²+2x-10 x1≈－4.7，x2≈2.7。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根，可以借助抛物线y＝x2＋2x－13与x轴的交点，也可以借助抛物线y＝x2＋2x－10与直线y＝3的交点等。 归纳总结 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例1】根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的范围是(　　) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06 C A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18 C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【方法指导】本题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围，根据表格提供的信息。在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使ax2＋bx＋c＝0。因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个根x的范围是6.18＜x＜6.19。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例2】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)。 【方法指导】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标。 y x 1 2 1 2 3 -1 -2 -1 -2 -3 O 3 -3 4 作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 y x 1 2 1 2 3 -1 -2 -1 -2 -3 O 3 -3 4 由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间。 先求－1和0之间的根， 当x＝－0.5时，y＝0.25。 因此，x＝－0.4是方程的一个近似根。 同理，x＝2.4是方程的另一个近似根。 当x＝－0.4时，y＝－0.04； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1.利用如图所示的二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根. 解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间. y=－2x2+4x+1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （1）先求－1和0之间的根. 利用计算器进行探索: x y －0.1 0.58 －0.2 0.12 －0.3 －0.38 因此，x=－0.2是方程的一个近似根. y=－2x2+4x+1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）再求2和3之间的根. 利用计算器进行探索: x y 2.1 0.58 2.2 0.12 2.3 －0.38 因此，x=2.2是方程的另一个近似根. y=－2x2+4x+1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x² +2x+ (x>0)、柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素， 水池的半径至少为多少米，才能使 喷出的水流不至于落在池外？ x/m 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：当x=0时，y=， 令-x²+2x+=0， ∴x1 =，x2 =（不合题意，舍去） 因此,水池的半径至少为m,才能使喷出的水流不至于落在池外. ∴柱子OA的高度是 x/m 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3.利用二次函数y = 2x2与一次函数 y = x＋2的图象，求一元二次方程 2x2 = x＋2的近似根. 解：如图所示，由图象可知方程2x²=x+2，即2x²-x-2=0有两个根，一个根在-1和0之间，另一个根 在1和2之间. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （1）先求－1和0之间的根. 利用计算器进行探索: x －0.9 -0.8 -0.7 -0.6 2x²-x-2 0.52 0.08 -0.32 -0.68 因此，x=－0.8是方程2x²=x+2 的一个近似根. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）先求1和2之间的根. 利用计算器进行探索: x 1.1 1.2 1.3 1.4 2x²-x-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52 因此，x=1.3是方程2x²=x+2的一个近似根. ∴一元二次方程2x²=x+2的近似根为x1=-0.8，x2=1.3. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 二次函数图象 由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 $