课时规范练57 圆锥曲线中的最值、范围问题-2027届高三数学一轮复习

课时规范练57　圆锥曲线中的最值、范围问题

(分值:58分)

1.(12分)(2020·新高考Ⅱ,21)已知椭圆E:=1(a>b>0),点M(2,3)在E上,A为E的左顶点,直线AM的斜率为.

(1)求E的方程;

(2)设N为E上的点,求△AMN面积的最大值. 

2.(13分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的通径长为,若抛物线C上有一动弦AB的中点为M,且弦AB的长度为3.求:

(1)抛物线C的方程;

(2)点M的纵坐标的最小值. 

3.(15分)(2026·湖南长沙长郡中学月考)已知P为椭圆Γ:=1(a>b>0)短轴上的一个顶点,F1,F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,且△PF1F2的面积为,椭圆Γ的焦距为2.

(1)求椭圆Γ的方程;

(2)设直线l为圆x2+y2=1的切线,且l与Γ相交于A,B两点,求的取值范围(O为坐标原点). 

4.(18分)(2024·上海,20)双曲线Γ:x2-=1(b>0),A1,A2为左、右顶点,过点M(-2,0)的直线l交双曲线Γ于两点P,Q,且点P在第一象限.

(1)若e=2时,求b;

(2)若b=,△MA2P为等腰三角形时,求点P的坐标;

(3)直线OQ交Γ于点R,若=1,求b的取值范围. 

参考答案

课时规范练57　圆锥曲线中的最值、范围问题

1.解 (1)由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.当y=0时,解得x=-4,所以a=4.将点M(2,3)的坐标代入椭圆E的方程,可得=1,解得b2=12.所以E的方程为=1.

(2)设与直线AM平行的直线的方程为x-2y=m(m≠-4),如图所示,

当直线与椭圆相切时,与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m(m≠-4)与椭圆方程=1,可得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,所以与AM距离比较远的直线方程为x-2y-8=0.点N到直线AM的距离d即为两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得d=,由两点之间的距离公式可得|AM|==3.所以△AMN的面积的最大值为×3=18.

2.解 (1)由题意可知2p=,所以抛物线C的方程为x2=y.

(2)由题意可知,直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=.联立得2x2-kx-b=0.所以x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=+2b.

又|AB|===3,得2b=,

所以y0=+2b)

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