课时规范练57 圆锥曲线中的最值、范围问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线最值范围问题，通过椭圆、抛物线、双曲线典例，整合切线法、韦达定理等方法，构建“方程求解-几何转化-代数推理”逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|题1、3|最值（面积）、范围（向量数量积）|标准方程→直线与椭圆位置关系→几何性质应用| |抛物线|题2|中点坐标范围|通径求方程→韦达定理→二次函数求最值| |双曲线|题4|参数范围（b值）|离心率、等腰三角形分类讨论→方程联立求范围|

课时规范练57　圆锥曲线中的最值、范围问题 (分值:58分) 1.(12分)(2020·新高考Ⅱ,21)已知椭圆E:=1(a>b>0),点M(2,3)在E上,A为E的左顶点,直线AM的斜率为. (1)求E的方程; (2)设N为E上的点,求△AMN面积的最大值. 2.(13分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的通径长为,若抛物线C上有一动弦AB的中点为M,且弦AB的长度为3.求: (1)抛物线C的方程; (2)点M的纵坐标的最小值. 3.(15分)(2026·湖南长沙长郡中学月考)已知P为椭圆Γ:=1(a>b>0)短轴上的一个顶点,F1,F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,且△PF1F2的面积为,椭圆Γ的焦距为2. (1)求椭圆Γ的方程; (2)设直线l为圆x2+y2=1的切线,且l与Γ相交于A,B两点,求的取值范围(O为坐标原点). 4.(18分)(2024·上海,20)双曲线Γ:x2-=1(b>0),A1,A2为左、右顶点,过点M(-2,0)的直线l交双曲线Γ于两点P,Q,且点P在第一象限. (1)若e=2时,求b; (2)若b=,△MA2P为等腰三角形时,求点P的坐标; (3)直线OQ交Γ于点R,若=1,求b的取值范围. 参考答案 课时规范练57　圆锥曲线中的最值、范围问题 1.解 (1)由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.当y=0时,解得x=-4,所以a=4.将点M(2,3)的坐标代入椭圆E的方程,可得=1,解得b2=12.所以E的方程为=1. (2)设与直线AM平行的直线的方程为x-2y=m(m≠-4),如图所示, 当直线与椭圆相切时,与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m(m≠-4)与椭圆方程=1,可得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,所以与AM距离比较远的直线方程为x-2y-8=0.点N到直线AM的距离d即为两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得d=,由两点之间的距离公式可得|AM|==3.所以△AMN的面积的最大值为×3=18. 2.解 (1)由题意可知2p=,所以抛物线C的方程为x2=y. (2)由题意可知,直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=.联立得2x2-kx-b=0.所以x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=+2b. 又|AB|===3,得2b=, 所以y0=+2b) =) =) ≥(2)=, 当且仅当,即k2=5时,等号成立, 则点M的纵坐标的最小值为. 3.解 (1)依题意,|F1F2|=2c=2, 所以c=1.在△PF1F2中,|F1F2|b=,解得b=,所以a2=b2+c2=4. 所以椭圆Γ的方程为=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t,联立 整理得(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0, 则Δ=16(12k2-3t2+9)>0,则4k2+3>t2,且x1+x2=-,x1x2=, 则y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2+kt+t2=. 又直线l为圆x2+y2=1的切线, 则=1,即t2=k2+1, 则=x1x2+y1y2= ==- =- ≥-·(1+)=-. 又-(1+)<-, 所以∈[-,-). 当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=±1,不妨令A(1,),B(1,-),=x1x2+y1y2=1-=-. 综上,∈[-,-]. 4.解 (1)由题可得,双曲线的离心离e=2,即=2,所以=4.因为a2=1,所以c2=4.又a2+b2=c2,所以b2=3,解得b=(舍负). (2)由题意可得,Γ:x2-=1,△MA2P为等腰三角形. ①若MA2为底边,则点P在直线x=-上,与P在第一象限矛盾,故舍去. ②若A2P为底边,则|MP|=|MA2|,与|MP|>|MA2|矛盾,故舍去. ③若MP为底边,则|PA2|=|MA2|. 设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则=3,即(x0-1)2+=9. 又因为=1,所以(x0-1)2+(-1)×=9,整理得11-6x0-32=0,解得x0=2(舍负),y0=2,即点P的坐标为(2,2). (3)由题知A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2),由题知直线l的斜率k满足0<k<b,设直线l:x=my-2(m>),联立 整理得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0, 由根与系数的关系可得, =(-x2+1,-y2),=(x1-1,y1),又由=1,得(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1,即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1,化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0,将①②代入上式整理可得3b2(m2+1)-12m2b2+10(b2m2-1)=0,化简得b2m2+3b2-10=0,所以m2=,解得b2<3,又b>0,所以0<b<,即b的取值范围是(0,). 4 学科网（北京）股份有限公司 $