圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线中三点共线与四点共圆问题，通过精选典例构建从坐标运算到几何关系推导的逻辑链条，培养数学推理与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三点共线问题|3例+3变式|结合对称点、直线交点证明共线，涉及椭圆、抛物线、双曲线|基于坐标运算，通过斜率相等或向量共线建立关系，体现代数与几何的转化| |四点共圆问题|3例+3变式|涉及对称点、垂心、面积关系证明共圆，涵盖双曲线、椭圆|依托圆的方程或几何性质，结合圆锥曲线方程推导四点关系，强化逻辑推理能力|

圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题专项训练 圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题专项训练 考点目录 三点共线问题 四点共圆问题 考点一 三点共线问题 例1．（2026·北京东城·二模）已知椭圆：的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆W的方程； (2)已知点，.设直线分别与直线，交于点M，N，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，直线交椭圆W于另一点R，求证：P，Q，R三点共线. 【答案】(1) (2) 由(1)可知，则. 已知， 直线MT满足，即直线的方程为； 直线NT满足，即直线NT的方程为； 令，代入直线MT的方程可得：，解得，所以； 令，代入直线NT的方程可得：，解得，所以； 已知， 直线AT满足，即直线AT方程为， 联立，化简得. 因为是方程的一个根(点A的横坐标)，设， 由韦达定理得，即， 代入得，所以. 当直线斜率存在时，直线PQ的斜率， 直线PR的斜率 因为，且直线PQ与直线PR有公共点P，所以P、Q、R三点共线； 当时，直线MT：，；直线NT：，； 直线AT：，，此时三点均在直线上，所以P、Q、R三点共线； 综上所述，P、Q、R三点共线. 【分析】(1)直接将点代入椭圆方程求解 (2)两点式求直线方程，结合椭圆方程求交点横坐标，通过斜率相等证明三点共线 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆W的方程为. （2）略 例2．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）直线的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即、、三点共线. 【分析】（1）结合椭圆短轴长与椭圆的离心率求出、的值，即得椭圆的方程； （2）（i）设直线l的方程为与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积的坐标计算公式计算并化简，代入韦达定理，将其化成，再根据不等式的性质即可求得其范围；（ii）求得直线PM的方程为，利用韦达定理可化简证明，即可证明直线经过点，从而得证. 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为； （2）（i）依题意可设直线l的方程为， ，，， 联立，消元得， 显然，则，， ， 则 ， 因为，所以，则， 所以的取值范围为． （ii） 略 例3．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知． （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）依题意可设直线l的方程为，，，． 联立，消元得， 显然，则，， 于是直线PM的方程为， 即， 其中， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ii） 【分析】（1）先由抛物线的准线方程求出的值，再由椭圆的离心率求出的值，即得椭圆的方程； （2）（i）设直线l的方程为与椭圆方程联立，写出韦达定理，求得直线PM的方程为，利用韦达定理可化简证明，即可证明直线经过点，从而得证；（ii）利用向量数量积的坐标计算公式计算并化简，代入韦达定理，将其化成，再根据不等式的性质即可求得其范围. 【详解】（1）因抛物线的准线方程为，且，则，解得， 又因椭圆的离心率为，则，代入，解得， 故椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因， 则 ， 因为，所以，则， 所以的取值范围为．    变式1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知抛物线的焦点为，过点作一条直线交抛物线于、两点，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，为坐标原点． (1)记、的斜率分别为、，求； (2)求证：、、三点共线； (3)记、，的面积分别为、、，求证：． 【答案】(1) (2)由（1），依题意知，要证 、 、三点共线，只需证． 即证，即证．而成立， 故 、 、三点共线． (3)记，由（2）同理知、 、 三点共线，且． ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）设、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得的值； （2）利用韦达定理证明出即可； （3）记，由（2）同理知、 、 三点共线，且，求出、、、，利用三角形的面积公式可证得结论成立. 【详解】（1）设、， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，与抛物线方程联立有， 消去并化简得，， 则，， 因此，，所以． （2）略 （3）略 变式2．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知双曲线E：的实轴长为2，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为双曲线E的下顶点，过点且斜率不为0的直线交双曲线E上支于、两点，直线、与直线的交点分别为、，线段、的中点分别为、，点为坐标原点. （i）求直线斜率的取值范围； （ii）若、、三点共线，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据实轴长及渐近线斜率列方程组求出，直接写出标准方程； （2）（i）设直线 CD方程为与双曲线联立，利用二次方程根的两根异号，结合，得到斜率的取值范围；（ii）先求出 CD 中点 M 的坐标，再求出直线 AC，AD 与 交点 P,Q 的中点 N 的坐标，最后利用 O,M,N 三点共线（斜率相等）的条件，解方程求出. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，渐近线方程为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）双曲线下顶点， 由题意，过且斜率不为的直线斜率存在，设为， 联立，可得，即， 设，则，即， ， 且， 由已知，所以，解得，又， 所以直线斜率的取值范围为； （ii）由（i）中方程，中点的横坐标， 纵坐标，即， 直线的斜率，方程为， 由得，即， 同理可得， 所以中点的横坐标 ， 所以， 若三点共线，则，即， 化简得，即，解得. 变式3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知圆：的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点. （i）求证：三点共线； （ii）当不与轴垂直时，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得，，即可求解椭圆方程； （2）（i）分斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求出的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得的坐标为，即可证明三点共线； （ii）利用距离公式和弦长公式分别求出，即可求解. 【详解】（1）由圆：即可得：圆心，所以， 又离心率，所以，所以， 所以椭圆标准方程为. （2）（i）①当斜率不存在时，轴， 由椭圆的对称性可知，均在轴上，所以三点共线. ②当斜率存在时，设的方程为，且， 联立方程组可得：， 则，点的坐标为， 所以所在的直线的方程为， 先证：椭圆上一点处的切线方程为， 当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得，所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以，化简得． 当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为. 所以椭圆在处的切线方程为， 联立方程组解得点的坐标为， ，故三点共线. （ii）由（i）可知，， 又三点共线，所以，所以， 即点化简得， 所以，， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆上一点处的切线方程为，属较难题. 考点二 四点共圆问题 例1．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离为2，过右焦点垂直于实轴的弦长为4． (1)求双曲线的离心率； (2)设双曲线的左顶点为，若斜率为2的直线与的右支相交于，两点，点关于原点的对称点为． ①证明：的垂心在上； ②证明：，，，四点共圆． 【答案】(1) (2)①设斜率为2的直线与双曲线交于,, 联立得，则，， ，解得， ， 设的垂心为，因为的斜率为2，所以的斜率为， 所以的方程为，即， 因为，，所以， 所以的方程为, 代入得， 即， 即， 因为在上，所以，代入上式并使用韦达定理得 ， 因为，所以，解得，代入得， 即，代入双曲线得，等式成立， 故的垂心在双曲线上. ②点关于原点的对称点为， 则四点为， 若四点共圆，圆心必在各弦的垂直平分线上，设线段与的垂直平分线交于点， 线段的中点为， 因为，其垂直平分线的斜率为2， 则的垂直平分线的方程为，整理得, 线段的中点为，其中， 则，即的中点为， 直线的斜率， 其垂直平分线的斜率为， 则的垂直平分线的方程为，整理得， 联立得 ， 代入得， ， 由韦达定理得， 代入得， ， ， 则， 所以，即， 由点在线段与的垂直平分线上可知且， 综上所述，， 即点到定点的距离相等，故四点共圆得证. 【分析】（1）结合焦点到渐近线的距离公式与通径长公式直接解出双曲线的参数a和b，从而求得离心率. （2）①设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理求出两条高线的交点即垂心的坐标，最后将坐标代入验证其满足双曲线方程;②分别求出线段和的中垂线交点作为假定圆心，再利用韦达定理推导证明该交点到等点的距离平方相等，以此证明四点共圆. 【详解】（1）由题意得右焦点为，其中一条渐近线为，即， 则点到渐近线的距离为， 且通径长为，解得， 则， 则，则双曲线的方程为. （2）略 例2．（2026·重庆·模拟预测）P为椭圆上异于顶点的动点，且C的离心率为，，分别为C的左、右焦点，M为C的左顶点，记，． (1)求C的方程； (2)求证：； (3)设点，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA，MB于点D，E．问是否存在t，使得O，D，M，E四点共圆（O为坐标原点）？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)因为，由正弦定理可得 , 即，整理可得． (3)存在， 【分析】（1）根据离心率和题设方程求出基本量后可得椭圆方程； （2）根据正弦定理可求题设的三角恒等式； （3）设直线,,，且，联立直线方程可求坐标，根据相交弦定理可得坐标关系，结合韦达定理化简后可求的值. 【详解】（1）由椭圆方程可知：，因为，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）假设存在，可设直线,,，且， 联立方程，消去可得， 则，可得， 则，， 由题意可知：，则直线，令 ，可得，即，同理可得. 若,,,四点共圆，则，可得， 且，则，可得，且,,， 则，整理可得 , 即， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以存在，使得点,,,四点共圆，此时． 例3．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，且椭圆过点，椭圆的下顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设，，的面积分别为，，． ①若直线的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在直线，条数为1条 【分析】（1）利用椭圆定义，结合焦点与已知点坐标求出长轴长，再由的关系确定椭圆方程； （2）① 设直线方程并联立椭圆，利用韦达定理表示根的和与积，再通过面积比转化为线段比，结合弦长公式化简求值；② 设直线并联立椭圆，利用四点共圆的几何性质转化为斜率关系，构造函数并通过导数判断单调性，结合零点存在定理确定解的个数. 【详解】（1）∵椭圆的左、右焦点分别为，， 且过点，， ，， 可得椭圆方程为． （2）①直线的方程为，设，， 联立，消去，得，则，， 又，， ， ②假设存在直线，设直线的方程为， 联立，消去，得，， ，，， 如图，延长交轴于点，若，，，四点共圆， ，而， ， ，，又， ， 由，，， ，，即， 由点在点的下方得，即， 记，， ，∴函数在上单调递增， 又，，∴函数在上只有唯一零点，即存在唯一， 使得成立， ∴存在直线，条数为1条． 变式1．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)判断过点是否能作的一条切线，并说明理由； (2)设，若函数有两个零点，，且． （i）求证：； （ii）记点，若轴上存在两个横坐标大于的点，使得四点共圆，求的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）即，为椭圆的上半部分，由于点在椭圆内部，故不能作的一条切线; （2） (i) 令函数转化为求解一元二次方程两根问题，再使用韦达定理证明； (ii)利用，把转化为求解的取值范围，再使用韦达定理化简求解取值范围. 【详解】（1）不能．理由如下： 即 为椭圆的上半部分 将点代入椭圆得： 点在椭圆内部 过点不能作的一条切线． （2）（i）令 ，得 ， 即 化简，得 ， 由于方程有两个根，，且，那么 即 把代入得 即 化简可得 ，得证. （ii） 由（i）可得，， 不妨设点在点左侧，点在点左侧 由四点共圆可得： 又 所以 所以， 所以， ，即, 由于 ， 由于， 设，由，那么 所以，的取值范围 故的取值范围.    变式2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为､，右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于､两点，的周长为8，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)直线､分别交轴于､两点，证明：､､､四点共圆. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出进而求解； （2）设直线单调方程为：，与椭圆方程联立得，设，进而得，即，得，令，利用导数得的单调性，利用单调性求最小值即可求解； （3）由，所以直线的方程为：，进而得的坐标，同理得坐标，即可计算，进而得，，利用圆的性质即可得证. 【详解】（1）由题意有：，又， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）有，设直线方程为：， 所以，所以， 设， 所以， 所以 ， 令 在单调递增， 当时，面积的最大值为. （3）由，所以直线的方程为：， 令，，所以， 同理， 所以， 所以 ， ， 所以， 同理， 所以四点共圆. 变式3．（2026·天津南开·二模）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为． (1)求的方程； (2)为的右顶点，直线交于两点，为坐标原点．若，是否存在直线，使得四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解； （2）由题意假设直线，与椭圆联立可得.又有四点共圆，且，所以，结合韦达定理可得的值，进而得到直线的方程. 【详解】（1）依题意，有解得， 所以的方程为． （2）设直线， 联立方程得：， 则 因为四点共圆，所以， 则有，即 所以即 所以，即， ，即， 联立解得（此时直线过点，舍去）， 将代入，解得， 所以存在直线，使得四点共圆. 直线的方程为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题专项训练 圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题专项训练 考点目录 三点共线问题 四点共圆问题 考点一 三点共线问题 例1．（2026·北京东城·二模）已知椭圆：的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆W的方程； (2)已知点，.设直线分别与直线，交于点M，N，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，直线交椭圆W于另一点R，求证：P，Q，R三点共线. 例2．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知椭圆：的离心率为，短轴长为. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：P、M、Q三点共线. 例3．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知． （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 变式1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知抛物线的焦点为，过点作一条直线交抛物线于、两点，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，为坐标原点． (1)记、的斜率分别为、，求； (2)求证：、、三点共线； (3)记、，的面积分别为、、，求证：． 变式2．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知双曲线E：的实轴长为2，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为双曲线E的下顶点，过点且斜率不为0的直线交双曲线E上支于、两点，直线、与直线的交点分别为、，线段、的中点分别为、，点为坐标原点. （i）求直线斜率的取值范围； （ii）若、、三点共线，求的值. 变式3．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知圆：的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点. （i）求证：三点共线； （ii）当不与轴垂直时，求的最小值. 考点二 四点共圆问题 例1．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离为2，过右焦点垂直于实轴的弦长为4． (1)求双曲线的离心率； (2)设双曲线的左顶点为，若斜率为2的直线与的右支相交于，两点，点关于原点的对称点为． ①证明：的垂心在上； ②证明：，，，四点共圆． 例2．（2026·重庆·模拟预测）P为椭圆上异于顶点的动点，且C的离心率为，，分别为C的左、右焦点，M为C的左顶点，记，． (1)求C的方程； (2)求证：； (3)设点，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA，MB于点D，E．问是否存在t，使得O，D，M，E四点共圆（O为坐标原点）？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 例3．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为4，且椭圆过点，椭圆的下顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设，，的面积分别为，，． ①若直线的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)判断过点是否能作的一条切线，并说明理由； (2)设，若函数有两个零点，，且． （i）求证：； （ii）记点，若轴上存在两个横坐标大于的点，使得四点共圆，求的取值范围． 变式2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为､，右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于､两点，的周长为8，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)直线､分别交轴于､两点，证明：､､､四点共圆. 变式3．（2026·天津南开·二模）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为． (1)求的方程； (2)为的右顶点，直线交于两点，为坐标原点．若，是否存在直线，使得四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $