1.1 第2课时　集合的表示 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，系统讲解列举法和描述法，通过“判一判”辨析元素确定性、互异性等概念，承接集合概念基础，搭建从概念理解到表示应用的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光（抽象能力）辨析集合元素特征，通过例题变式训练发展数学思维（推理能力），规范描述法表达强化数学语言。如例3分类讨论参数值，方法总结清晰，助力学生提升抽象与推理能力，教师可高效开展分层教学。

　第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第2课时　集合的表示 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合． 学习目标 基础知识 一一列举 共同特征P(x) {x∈A|P(x)} 【说明】　(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (3)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (4)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会． 判一判 (1)一个集合可以表示为{a，b，a，c}．(　　) (2)集合{－3，1}与集合{(－3，1)}表示同一个集合.(　　) (3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　) (4)不等式x>1的解集可以用列举法表示．(　　) (5)(1，2)∈{(x，y)|y＝x＋2}．(　　) × × √ × × 例题 类型一　用列举法表示集合 【例1】　用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝2x＋4与y＝－x＋6的图象的交点组成的集合D. 方法总结 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 【提醒】　二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． [跟踪训练1]　用列举法表示下列集合． (1)不大于11的非负奇数组成的集合； (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合； (3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合． 解　(1)因为不大于11是指小于或等于11，非负是大于或等于0的意思，所以不大于11的非负奇数组成的集合是{1，3，5，7，9，11}． (2)方程x3＝x的实数解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的实数解组成的集合为{0，1，－1}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点组成的集合是{(0，1)}． 类型二　用描述法表示集合 【例2】　用描述法表示下列集合： (1)不等式3x＋2>5的解集； (2)大于4的所有偶数组成的集合； (3)二次函数y＝x2－2x＋3图象上的点组成的集合． [解]　(1)不等式3x＋2>5的解集为{x|3x＋2>5}． (2)偶数可以表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}． (3)二次函数y＝x2－2x＋3图象上的点组成的集合为{(x，y)|y＝x2－2x＋3}． 方法总结 (1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素． (2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围． [跟踪训练2]　用描述法表示下列集合： (1)比1大且比10小的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． 解　(1){x∈R|1<x<10}． (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}． 类型三　根据集合中元素的个数求参数 【例3】　已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值． [解]　当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝ 符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，若A中只有一个元素，则Δ＝4－4a＝0，即a＝1，此时原方程的解为x＝－1，符合题意．故若A中只有一个元素，则a的值为0或1. 1．(变条件，变设问)在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 解　A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素． 当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． 2．(变设问)在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解　∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3. 故不存在实数a，使A＝{1}． 方法总结 根据已知的集合求参数的关注点 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋bx＋c＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题． [跟踪训练3]　求非空集合M＝{x|x2－2x＋m＝0，x∈R}中所有的元素之和S. 解　当Δ＝4－4m＝0，即m＝1时，M＝{1}，故S＝1； 当Δ＝4－4m>0，即m<1时，设该方程的两根分别为x1，x2，则M＝{x1，x2}，故S＝x1＋x2＝2. 课堂小结 1．知识清单 (1)表示集合的方法：自然语言、列举法、描述法. (2)根据集合中的元素求参数． 2．核心提示 (1)注意列举法与描述法切勿乱用；方程中x2的系数不确定时，注意讨论方程是一次方程还是二次方程． (2)方法归纳：分类讨论(如例3)． 当堂检测 1．方程x2＝－2x－1的所有实数根组成的集合为(　 　) A．{0} B．{－1} C．{0，－1} D．{0，1} 解析　由x2＝－2x－1得x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，解得x＝－1，故方程x2＝－2x－1的所有实数根组成的集合为{－1}． B 2．已知集合A＝{x|x<3，x∈N}，则A＝(　 　) A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2} 解析　A＝{x|x<3，x∈N}＝{0，1，2}． 3．用描述法表示大于0且小于等于9的实数x的集合为 ． 解析　大于0且小于等于9的实数x的集合为{x∈R|0<x≤9}． 4．已知A＝{1，0，－1，2}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，那么B＝ ． 解析　因为A＝{1，0，－1，2}，所以B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{0，1，2}． D {x∈R|0＜x≤9} {0，1，2} Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 填一填 1．列举法 把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【说明】　(1)元素间用“，”隔开． (2)集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序． (3)元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可． (4)元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5…}． 2．描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法． $