1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第3课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中直线、平面的垂直关系，核心知识点为线线、线面、面面垂直的向量表示。课堂导入通过回顾平行关系的向量表达，提出“垂直关系中方向向量与法向量有何关系”的问题，搭建从平行到垂直的知识支架，帮助学生建立前后联系。 其亮点在于以问题驱动探究，结合正方体、长方体等实例，引导学生用向量语言论证垂直关系，培养数学思维中的逻辑推理和数学语言的精确表达。题型分层训练涵盖基础计算与综合证明，课堂小结结构化呈现结论，学生能系统掌握向量工具应用，教师可直接用于教学提升效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1(第三课时) 用空间向量研究 直线、平面的位置关系 前情回顾 空间直线、平面 的平行 面面平行 线线平行 线面平行 使得 使得 学 习 目 标 1 2 3 理解向量语言描述线线、线面、面面间的垂直关系. 能用向量语言判断空间直线、平面的垂直关系. 运用向量语言解决立体几何直线、平面垂直的相关问题. 读教材 阅读课本P31-P33，5分钟后完成下列问题： 1. 如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？ 我们一起来探究“空间中直线、平面的垂直”吧！ 2. 如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？ 3. 由平面与平面的垂直关系，可以得到两平面的法向量有什么关系？ 新课引入 空间向量可以解决了哪些几何问题？ 问题 距离、长度问题 夹角问题 平行、垂直问题 今天探究垂直的问题 思考： 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在立体几何中 直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，对应的直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 学习过程 01 03 02 目录 1 空间直线、平面的垂直 2 题型训练 新知探究1 问题1 由直线与直线垂直的关系，如何用向量表示它们的关系？ 这两条直线的方向向量有什么关系？ 线线垂直 方向向量 如图所示，设分别是直线的方向向量，由方向向量的定义可知， 如果两条直线垂直，那么它们的方向向量一定垂直， 反过来，如果两条直线的方向向量垂直，那么这两条直线也垂直，所以： 新知探究1 问题2 由直线与平面垂直的关系，如何用向量表示它们的关系？ 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 线面垂直 方向向量和法向量 如图所示，设是直线的方向向量， 是平面的法向量： 如果直线与平面垂直，那么直线的方向向量和平面的法向量一定平行，所以： ，使得 新知探究1 问题3 由直线与平面平行的关系，如何用向量表示它们的关系？ 可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ 面面垂直 法向量 如图所示，设是平面的法向量： 如果平面与平面垂直，那么两个平面的法向量一定垂直，所以： 概念 空间直线、平面的平行 空间直线、平面的平行： 线线垂直 线面垂直 面面垂直 ，使得 练习巩固 解：因为两条直线垂直， 故所以 练习1 若两条直线的方向向量分别是 =(3，2，－4)，=(－2，，1)， 且两条直线垂直，则=　　 .  5 练习巩固 练习2 若平面外的一条直线的方向向量是 =(－1，2，－3)，平面的法向量 为=(2，－4，6)，则与的位置关系是　　　　　.  解: 故 垂直 练习巩固 练习3 若平面的法向量是 =(0，1，－2)，平面的法向量为=(3，4，)， 若，则=　　　　　.  解:平面 2 学习过程 01 03 02 目录 1 空间直线、平面的垂直 2 题型训练 运用空间向量证明垂直 题型1 题型探究 例1 已知是直线的方向向量， 是平面的法向量， (1)若，求的关系式； (2)若，求的值？ 解：(1)若，则，则， ∴ (2)若，则，∴ ，使得， 则， ∴. 运用空间向量证明线线垂直 题型1 题型探究 例2 已知正方体的棱长为1，以为原点，， 为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证：. 证明：由题意， ∴，， ∴ ∴，即. A D D1 A1 B1 C1 B C x y z 运用空间向量证明线线垂直 题型1 题型探究 例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1， 点F是PB的中点，点E在边BC上移动. 求证:无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 证明：以A为原点,以AD，AB，AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系，设AD= 则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(,1,0)，于是F. ∵E在BC上，∴设E(m,1,0)，∴=(m,1,－1). ∵=0，∴PE⊥AF，∴无论点E在边BC上何处,总有PE⊥AF. 运用空间向量证明线面垂直 题型2 题型探究 例4 如图，在平行六面体中，， ，求证：直线平面. 证明：设，，， 则为空间的一个基底， 且，，. ∵ ∴ A C D B C1 D1 B1 A1 运用空间向量证明线面垂直 题型2 题型探究 例4 如图，在平行六面体中，， ，求证：直线平面. 证明：(续) 在平面上，取，为基向量， 则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对，使得， ∴ ∴是平面的法向量，∴平面. A C D B C1 D1 B1 A1 运用空间向量证明面面垂直 题型3 题型探究 例5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点， F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1. 证明：以为原点，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系D. 则 ，，， 设平面、的法向量分别为 ，， ∴， 令，则则， A C D B C1 D1 B1 A1 F E 运用空间向量证明面面垂直 题型3 题型探究 例5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点， F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1. 证明：(续)又 ， 令，则，则， ∵， ∴，∴平面平面 A C D B C1 D1 B1 A1 F E 运用空间向量证明面面垂直 题型3 题型探究 例6 在四棱锥中，底面是正方形，底面，且 是的中点.求证：平面平面. 证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知 设平面的法向量为 ∴即 令，可得平面的一个法向量为. ∵平面，∴平面的一个法向量为 ∵，∴平平面. 课堂小结 空间直线、平面 的垂直 面面垂直 线线垂直 线面垂直 ，使得 感谢聆听! $