专题17 二次函数综合存在性问题角相关（5种类型40道）【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）/专题17 二次函数综合存在性问题角相关（5种类型40道）（原卷版）

**基本信息** 聚焦二次函数与角关系的存在性问题，分5类系统训练，40道题覆盖角相等、倍数、互补互余等核心考法，以题载法强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角相等的存在性问题|8道|判断抛物线上是否存在点使两角相等|二次函数性质与全等/相似三角形结合，通过坐标法转化角度关系| |角成倍数关系的存在性问题|8道|探究角的2倍等倍数关系|利用角平分线、三角函数或构造辅助线转化倍数关系| |互补或互余的存在性问题|8道|涉及两角和为90°或180°的存在性|结合直角三角形性质及坐标运算，建立角度等量关系| |已知角度数的存在性问题|8道|给定具体角度（如30°、45°）求点坐标|运用三角函数值或特殊三角形性质，构建方程求解| |角的和差相关的存在性问题|8道|两角和差等于特定角的存在性|通过角的拆分与合成，转化为已知角关系问题|

专题17 二次函数综合存在性问题角相关 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 角相等的存在性问题】 1 【类型2 角成倍数关系的存在性问题】 29 【类型3 互补或互余的存在性问题】 55 【类型4 已知角度数的存在性问题】 85 【类型5 角的和差相关的存在性问题】 111 【类型1 角相等的存在性问题】 1．综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①0或3或或； ②存在，理由如下： 直线与x、y轴分别交于点D、E， 时，， 当时，，， ∴点、， ，， ， 由抛物线可知：当时，， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 设，则，， ， （舍去）或， ； ③ 【分析】（1）根据，是方程的两个根求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①分情况讨论：当为平行四边形的对角线、为对角线、为对角线时，根据两条对角线的中点相同，进行列方程组求解即可； ②求出角的之间的关系，再用三角函数求解即可； ③运用轴对称求两条线段和最短即可． 【详解】（1）解：，是的两个根， ，， ，， 抛物线与x轴相交于A、B两点， ， 解得， 抛物线函数表达式为； （2）①解：0或3或或，理由如下： 令得：，解得， 令得：， 则点、， 抛物线与y轴相交于点C， 则点， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为、点的坐标为， 当为平行四边形的对角线时， 的中点为、的中点为， 则 解得或， 令时，，点的坐标为、点的坐标为， 令时，，点的坐标为、点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 解得； 当为平行四边形的对角线时， 的中点为， 的中点为， 则 整理得， 判别式， 则没有实数解， 综上所述，点的横坐标为，，，； ②略 ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N， 设，，设直线MN的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为； 联立方程组， 得， ， 将代入，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， ， 解得：， 联立方程组， 得出， 点Q在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点E关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 则， 由轴对称性质可得， 的最小值， 由两点之间线段最短可得：线段的最小值为， ， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像性质、轴对称—最短路径问题、解直角三角形的应用，数形结合思想方法的运用是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 3．如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，交轴于点，已知点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离； (3)直线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点到直线的距离最大为， (3)点的坐标为， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，得出，作轴交于点，设，则，表示出，作于，则为等腰直角三角形，得出，当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大，结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）求出，直线的解析式为，分两种情况：当点在的下方时，当点在的上方时，作轴于，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点坐标为， 在直线中，令，则， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作轴交于点， 设，则， ∴， 作于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大， ∵，且， ∴当时，的值最大，为， ∴点到直线的距离最大为，此时，即； ∴点到直线的距离最大为，； （3）解：在中，令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图：当点在的下方时， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， 此时点的坐标为； 如图：当点在的上方时，作轴于， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 4．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：． (2)关系式为：，当时，的最大值为； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线：， 把代入函数解析式得到， 故顶点的坐标为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得； 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 5．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2) (3)存在；， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系． （1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标； （2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围； （3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标． 【详解】（1）解：求点和点的坐标 联立：解得或 故点． 抛物线化为顶点式：， 故点． （2）抛物线开口向上，对称轴为， 当 取值范围内时，时，（最小值）； 当时，随增大而减小，时，； 当时，随增大而增大，时， 比较得：最小值为，最大值为， 故的取值范围为 ． （3）解：分两种情况讨论： ①当在直线上方时， 过点作， 设，， 解得，则 令，，点 ∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点 ∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位） 则 联立：解得或（舍） 故点． ②当在直线下方， ， 过点作轴于点，延长与交于 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点 设，，则 联立：，解得或（舍） 故点． 综上所述，，． 6．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长， 过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 7．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求的值； (2)若直线与轴左侧的抛物线交于，两点（点在点的右侧），求线段的取值范围； (3)若点是抛物线的顶点，请问在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线解析式，将点P代入解析式即可解答； （2）联立，求出，，根据，由直线与轴左侧的抛物线交于，两点，，求出，再根据随m的增大而减小，即可求出线段的取值范围为； （3）连接，设与y轴交点为E，连接，由（1）知，证明是直角三角形，且，求出直线解析式为，进而得到，E是的中点，当两点重合时，，或时，，求出直线的解析式为，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将点代入， 则， 解得：； （2）解：联立，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵直线与轴左侧的抛物线交于，两点，， ∴，方程有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵随m的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ∴线段的取值范围为； （3）解：存在点坐标为或，使得，理由如下： 连接，设与y轴交点为E，连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴点E是的中点， ∴，即， ∴两点重合时，，则； 或时，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； 综上，点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，一次函数与几何综合，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)为线段上方抛物线上一动点，当的面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，将直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，联立解析式，根据根的判别式求出点的坐标，作点关于的对称点，作，垂线段最短，得到的最小值即为的长，求解即可； （3）根据平移规则，求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，求出，得到，进而得到点在一三象限或二四象限的角平分线上，联立角平分线的解析式与新的抛物线的解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为直线，把代入，得：， ∴， 把直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面最大， 设平移后的解析式为， 令，整理，得：， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，轴，，， ∴， ∵轴， ∴， 作点关于的对称点，交于点，连接，则：垂直平分，， ∵为上的动点， ∴当时，的值最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （3）存在， ∵， 设平移后的解析式为：， ∵平移后的解析式经过点， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴点是由点向右平移一个单位得到的， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 当在轴上方时，则：， ∴，即：点在一三象限的角平分线上，即：在直线上， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 当点在轴下方时，则：， ∴，此时点在轴正半轴， ∴， ∴点在二四象限的角平分线上，即在直线上， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 【类型2 角成倍数关系的存在性问题】 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，点的横坐标为，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可． （2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用利用二次函数的性质即可求出点P的坐标；设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当三点共线时，有最小值，得到有最小值，即有最小值，利用两点间距离公式求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，进而证明，得到，设出点坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点，且当时，， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则，， ， 轴， ， ， 当取最大值时，取得最大值， 即， ， ∴当时，取得最大值， 则 点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为定值， 当三点共线时，有最小值， ∴有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， （3）解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下： 在轴负半轴上取点，使得，连接，如图． 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得或（舍去）． 存在点，当点的横坐标为时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，等边对等角，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10．如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）点代入，解方程即可得抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，求出，直线的解析式，求出，由计算即得； （3）假设存在符合题意的点，过点P作轴于点M，求出直线的解析式，得，根据，可得，得，得，解方程，即可求得P点坐标． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵． ∴顶点． （2）解：如图，由（1）知，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点， 点在抛物线上，且横坐标为， ∴代入中，得， ，， 设直线的解析式为，∵， ∴， 解得：，∴直线， 令，得，∴． ， ， 即的面积为； （3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点． 设直线的解析式为,把，代入，得 , ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 轴， ， ∴， 又， ， ． ， 化简，得， 解得或0（舍） 由（2）知当时，， ． 即在第一象限内的抛物线上存在点，使． 【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，与三角形面积问题综合，等腰三角形的判定和性质，与角度问题综合，是解题的关键． 11．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）略 （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 12．在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；②最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）根据抛物线与轴交点可直接确定的值，再结合点和对称轴，通过待定系数法列方程组求解、，从而得到抛物线的函数表达式． （2）①先由抛物线表达式求出点的坐标，结合得到，再根据推出，进而求出直线的表达式，最后联立抛物线与直线的方程，求解并舍去不合理解，得到点的坐标． ②先求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出、的坐标，用表示出的长度，再利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，将点到的距离转化为关于的二次函数，通过求二次函数的最值，得到最大距离及对应点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 解得 抛物线的函数表达式为. （2）解：①如图1，设与轴交于点． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 点 . 点在第一象限，且， ， 点. 设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为. 联立抛物线与直线，得， 解得（舍去），. 将代入，得， 点的坐标为. ②如图2，过点作轴，交于点，连接． 点的横坐标为点． 点， 直线的函数表达式为，且， 点， ，1 ． 设点到的距离为， 则. 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、角的倍分关系、一次函数解析式的求解、二次函数的最值问题以及点到直线的距离计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数求最值是解题的关键． 14．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而减小，即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的值最大，为 即当时，二次函数的最大值为； （3）解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时，在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时，延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点， 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线的解析式为：和． 15．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据二次函数的平移利用待定系数法求得的解析式； （2）将化为顶点式，得到点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立与直线得点D坐标，设，则，求出的表达式，此时的表达式为二次函数，将二次函数化为顶点式后即可求得最大值； （3）作的对称轴，则，过点A作直线的垂线，交于点，求得的坐标，由分析点P的位置，此时点P的位置即为的位置，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵由平移得来， ∴设， ∵与交于点，且与y轴交于点， 得： 解得 ∴的表达式为：． （2）解：由（1）知，的表达式为：， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立与直线得：， 解得， ∴， ∵E在线段上，G在上，轴， 设，则， 则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：如图，作的对称轴，则， ∴， 过点A作直线的垂线，交于点， ∵的对称轴是直线， ∴的坐标为． ∵A，关于对称， ∴， ∴，即点P和点重合时满足条件， 当点P在对称轴的右边时，，故这样的点P不存在， 综上所述，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值及二次函数与角度的综合问题，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 16．抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式； (2)延长交轴于，在上取点，使，可得，根据等角对等边可得，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程即可求出点的坐标； (3)设点的坐标是、点的坐标是，可得直线的解析式是，根据直线、、抛物线有公共交点，可得点的坐标是，从而可得，即直线的解析式是，根据解析式可知直线过定点． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 如下图所示，延长交轴于，在上取点，使， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 直线的解析式是， 联立， 解得：， 点的坐标是； （3）解：设点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是 联立 ， 直线与抛物线只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 直线的解析式是， 同理可得直线的解析式是， 解方程， 可得：， 点的坐标是， 点的坐标是， ， ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求解． 【类型3 互补或互余的存在性问题】 17．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）可求直线，设，则，那么，则当，最大为4，此时连接并延长至点，使得，连接，可得点关于直线对称，则，那么，当点三点共线时，取得最大值，而，则，同理可求直线，与直线联立，求出； （3）可求新抛物线，①当在轴上方抛物线上时，可得，求出直线，与抛物线解析式联立即可求解，②当在轴下方抛物线上时，记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则，则直线与抛物线交点即为点，则，同理可求直线，则与抛物线联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，与轴分别交于点， ∴， 对于， 当， ∴ 设直线， 代入点，则， 解得：， ∴直线， 设， ∵轴， ∴将代入， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴当，最大为4，此时 连接并延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点关于直线对称， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最大值， ∵，且， ∴， ∴， 同理可求直线， 则， 解得：， ∴； （3）解：存在，理由如下： 在中，， 原抛物线：， ∴设平移后的解析式为：， 代入得： 解得：或（舍）， ∴新抛物线解析式为：，即， ①当在轴上方抛物线上时， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，代入，则， 解得：， ∴直线， 则， 解得：或（舍）， ∴ ②当在轴下方抛物线上时， 记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则， 则直线与抛物线交点即为点， ∵ ∴， 同理可求：直线， 则与抛物线联立得：， 解得：或（舍）， ∴ 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的平移问题，“将军饮马”问题，勾股定理逆定理，轴对称问题等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)存在，． 【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 做点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（舍去）， 综上：存在，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 21．如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)存在，， 【分析】（1）由于抛物线交轴于点，交轴于点两点，那么可以得到b、c的方程组，解方程组即可确定b、c的值． （2）过点作轴，交于点，求出直线的函数表达式为．设点，则点，写出，由即得答案； （3）设交轴于点，过点作于点，设，则．是等腰直角三角形，得，可得点，求出直线的函数表达式为，与抛物线解析式联立即可求出点M的横坐标． 【详解】（1）解：（1）把点代入， 得 解得 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴，交于点． 令，得， 解得， 点． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为． 设点，则点， ， ． ， 当时，的面积取得最大值，最大值为， 此时点. （3）解：．理由： ， ． ， ． 如图2，设交轴于点，过点作于点． 设， 则． ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 点． 设直线的函数表达式为． 将点代入， 得 解得 直线的函数表达式为． 联立 解得（舍去）， 点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与线段周长综合，与面积综合，角平分线性质，等腰直角三角形性质，二次函数与一次函数综合，是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①在上截取，证明，得出直线与抛物线的交点即为所求点，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解；②过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点，进而得出点和点重合，即可求解； （3）根据题意画出图形，根据图象点在轴之间，即或点在点的左侧，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：存在， 当时， 解得； ∴，即， ①如图所示，在上截取， ，， ， ， ， ， 即 所以直线与抛物线的交点即为所求点 设直线 的解析式为 将，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴点的坐标为 ②如图所示，过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点 ，， 把 代入得 点 即为所求点 综上所述，点的坐标为或 （3）解：如图，     ∵点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点， ∴的横坐标为， 又，， 当，解得：或 ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时， ∴点在轴之间，即或点在点的左侧 ∴或 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【类型4 已知角度数的存在性问题】 25．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 【答案】(1)①，②见解析 (2) 【分析】（1）①当时，，则当时，，当时，，解得：，，得到，，，利用待定系数法求出直线的表达式即可； ②连接，，，，，由，则可得到，则，得到．则，求得，则，即可求得，，则由，即可得到结论； （2）设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点，求得，，由得，即可得到，则得到，进步求得a的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 解得：，， ∴，，， 设直线的表达式为：，则 ， 解得：， ∴直线的表达式为： ②连接， ∵， ∴，，，． ∵，． ∴． ∴， ∵A，关于直线对称， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 解得：， ∵， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形、解一元一次不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 26．已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）连接，求出，由平移的性质得到，点到的距离等于点，到的距离，进而得到，求出，再求出，令，即可解答； （3）过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，由题意易得，证明，推出，进而得到，求出，令，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 设抛物线解析式为， 将代入，， 解得， ，即； （2）解：连接， 设， 将代入得，解得， ， 平移， ， 点到的距离等于点，到的距离， ∴， 解得， ， 设，将代入得， ， 令， 解得（舍去）， 把代入， 此时； （3）解：如图：过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，则四边形是矩形，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，将代入得：， 解得， ， 令， 解得（舍）， 将代入得， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形问题，涉及待定系数法，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式等，构建全等三角形是解题的关键． 27．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）设点，根据题意，得到抛物线及直线解析式，求出点的坐标，由两点之间距离公式表示出，由抛物线图象与性质求出最值即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，由含的直角三角形性质求出长，由待定系数法求直线解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 即， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，， 即； 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，， 即； ， ， 抛物线开口向上，当时，线段有最大值； （3）解：、， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 由可知，分两种情况， 当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 解得，则， 设， 将、代入解析式得 ， 解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、两点之间距离表示、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，数形结合，掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 28．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)有最大值为，此时； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得， 解得， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 29．已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接根据对称轴为代入a，b计算即可得出答案； （2）首先根据点B的坐标及等边三角形求出AC，OC的长度，然后利用勾股定理求出AO的长度，从而得出c的值，最后将点B代入解析式中即可求解； （3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P的位置从而可确定出点P的坐标． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵为等边三角形，轴，， ∴，， 在中， ∴ 把代入，得， ∴． （3）如图，由（2）知为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点为圆心，为半径作圆，经过点． ∵在轴上， ∴点即为圆与轴的交点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称性可知，． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键． 30．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； （3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可． 【详解】（1）解：代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式． 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E， 将代入得， ∴点C坐标为， ∵， ∴C为中点，即， ∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P纵坐标为， 将代入得，解得， ∴点P坐标为或． ②点P在x轴下方时，连接，轴于点K， ∵C为中点， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴点Q为中点， 又∵， ∴， ∴，即点P纵坐标为， 将代入得，解得∴点P坐标为或． 综上所述，点P坐标为或或或． （3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点M坐标为． ②如图，点M在y轴负半轴，作于点G， ∵长度不变，， ∴点A，B，M在同一个圆上， ∵， ∴点G为外接圆圆心， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点M坐标为， 此时，， 所以是等腰直角三角形，符合题意； ③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，， ∴点坐标为． ∴点M坐标为或或． 31．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式； （2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可； （3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可． 【详解】（1）将点，代入， 得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2）当时，， ∴点， 当时，有， 解得：，， ∴点， ∴抛物线的对称轴为：直线 设直线的关系式为，把点B坐标代入， 得：，解得，， ∴直线的关系式为， 由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M， 当时，， ∴时，最小； （3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∵，, ∴，解得 ， ∴, 设直线的解析式为 ， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ， 联立直线与抛物线解析式得 ， 解得或 ， ∴； ②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N， 同理得. 综上，存在，点Q的坐标为或 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键. 32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图像上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数的图像交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 解：不存在，理由如下： ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点，设该点为， ∵， ∴，对称轴为直线， ∴当直线时，抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大； 设直线与对称轴的交点为，过点作对称轴， ∴， ∴，， ∵直线 ∴为等腰直角三角形， ∴为的中点， ∴， 把代入，得：，解得：； ∴， 假设存在点使，则：， ∵， ∴， 整理，得：， ∴， ∴此方程无解，假设不成立，即不存在． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）易得直线恒过点，设点，进而得到得到直线的时候，距离最大，设直线与对称轴交于点，过点作垂直于对称轴，易得为等腰直角三角形，进而求出点坐标，求出直线解析式，假设存在点使，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ ∴综上所述，点的横坐标为或． （3）略 【类型5 角的和差相关的存在性问题】 33．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 35．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)解：∵ ，， ∴， ∴ 将抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位， ∴ 新抛物线， 将代入得， ∴ ， ∴ ， ①当点在上方时，如图，设抛物线交轴的负半轴于点， 将代入得， 解得或， ∴ 抛物线与轴负半轴交于点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 点满足条件，即， ②当点在下方时， 作点关于的对称点，连接， 由对称性得，， 由对称性知垂直平分，由对称可知， ∴， 故射线上(除G外)任意一点M均满足 ∴ ， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴ ， 综上，符合条件的点的坐标为或． 点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线顶点，利用顶点式直接写出解析式，再验证过点． （2）先由抛物线解析式求出对称点的坐标和直线的表达式，设的横坐标为参数，表示的长度并求最大值，确定的位置；再利用轴对称将军饮马模型求的最小值． （3）根据平移向量求出新抛物线表达式，确定点坐标；通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将角度条件转化为；先利用对称性找出一个满足条件的点，再作对称点求出直线与抛物线的另一交点． 【详解】（1）解：∵ 抛物线顶点为， ∴ 设抛物线解析式为， 又∵ 抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ． （2）解：由得，对称轴为直线， ∵ 点与点关于对称轴对称， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 设，过作轴的垂线交于， 则的纵坐标为， 代入得， ∴ ， ∴ 当时，最大，此时， ∴ ， 作点关于直线的对称点， ∵ 在对称轴上， ∴ ， ∴ 的周长， ∵ ， ∴ 周长的最小值为． （3）略 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 37．如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)最大值为， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示，然后根据二次函数的性质求出二次函数的最大值即可； （2）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得到， ， 将代入得， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； （2）解：存在； ①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于与点M， ， ， ， ， ， 此时使得， ， ， ， 设直线得解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为M点， ； 综上所述，使得，M点的坐标为或． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）先根据已知条件求得、，然后代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出平移后的函数解析式为，然后分点在轴下方和上方两种情况，分别根据等腰三角形的判定与性质以及一次函数与二次函数的综合求解即可． 【详解】（1）解：∵中， ∴当时，，即， ． ， ，， ，． 将，代入， 得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：， ， 直线的解析式为， 抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 新抛物线的解析式为． ①如图：当点在轴下方时． ，， ， 是的平分线． 点关于轴的对称点为， 直线的解析式为． 当时，解得（舍去）或， 点的横坐标为； ②如图：当点在轴上方时． ， 是等腰三角形， ． 设， ，解得或舍去， ， 直线的解析式为． 令，解得或舍去， 点的横坐标为． 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想使解答全面是解题的关键． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，轴对称的性质，直线与二次函数的交点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴的平行线，交于点，根据铅锤法求得最大时，点的坐标，再把沿的方向移动个单位，求得移动后点的对应点的坐标，再利用两点之间线段最短的原理，求得的最小值，再加上即可解答； （3）抛物线沿直线方向平移个单位，即向下平移个单位，向右平移个单位，得到新抛物线的解析式，根据，得，即，分两种情况，点在轴上方和点在轴下方，分别列方程，求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令，则， ， ， ∴当时，的面积取最大值，此时； 如图，把沿的方向移动个单位，点的对应点为，点的对应点为点， ， 根据勾股定理可得， ， ∴把沿的方向移动个单位，相当于向左平移个单位，向下平移1个单位， ， ， ， 当取最小值，即取最小值， 三点共线时，取最小值，此时点在处， ， ∴的最小值为； （3）解：， 为等腰直角三角形， ， 抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，即向下平移个单位，向右平移个单位， ， 抛物线的顶点为， ∴新抛物线的顶点为，即， ， ， ， ， ， ， 如图，当点在轴上方时，作，交轴于点， ，， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 如图，当点在轴下方时，作直线关于轴的对称直线，交轴于点， 则， 令， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 综上，点的坐标为或或或． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，点B在点A右侧，已知点A坐标为 (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线上方抛物线上一动点，G为y轴上一动点，当的面积取得最大值时，求出P点的坐标及的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与线段交于点M，连接．在新抛物线上是否存在点N，使，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为；的最大值为 (3)在新抛物线上存在点N，使，点N的坐标为或 【分析】（1）先由直线方程求出点坐标，再利用待定系数法求抛物线解析式； （2）过点P作轴，交于点E，设，，用表示线段，根据的面积，将的面积用二次函数表示出来，用二次函数的性质求出面积最大时的m值及点P的坐标，作点P关于y轴的对称点，连接交y轴于点F，连接, 根据轴对称的性质得出，当，A，G在一条直线上时，取等号，最后求出即可； （3）根据平移规律先求出,然后分两种情况讨论：①点N在x轴的下方，②点N在x轴的上方，数形结合并借助三角函数定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， ， 抛物线的表达式为； （2）过点P作轴，交于点E，如图， ， ， 设， 轴， ， ， 的面积， 当时，的面积取得最大值为8，此时点P的坐标为； 作点P关于y轴的对称点，则点P的坐标为，连接交y轴于点F，连接,如图， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， 此时的值最大，最大值为， ， 的最大值为； （3）在新抛物线上存在点N，使，点N的坐标为或． 理由：将抛物线沿射线方向平移个单位， 原抛物线， 将原抛物线沿x轴正方向平移了2个单位，沿y轴负方向平移了2个单位，即：沿射线方向平移个单位， 得到， 新抛物线的解析式为， ①点N在x轴的下方时，如图， ， 或， ， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， ， ， 设直线的解析式为， ， 或， ； ②点N在x轴的上方时，过点B作，则，过点N作于点G，过点M作于点K，如图， 则， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 综上，在新抛物线上存在点N，使，点N的坐标为或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 二次函数综合存在性问题角相关 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 角相等的存在性问题】 1 【类型2 角成倍数关系的存在性问题】 4 【类型3 互补或互余的存在性问题】 8 【类型4 已知角度数的存在性问题】 12 【类型5 角的和差相关的存在性问题】 16 【类型1 角相等的存在性问题】 1．综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于，两点（点A在点B的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与y轴相交于点C． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与x，y轴分别相交于点D，E． ①抛物线上是否存在点N，直线上是否存在点Q，使以D，N，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． ②设直线与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线，相交于点Q．连接，．求线段的最小值． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 3．如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，交轴于点，已知点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离； (3)直线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标．若不存在，请说明理由． 4．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 6．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求的值； (2)若直线与轴左侧的抛物线交于，两点（点在点的右侧），求线段的取值范围； (3)若点是抛物线的顶点，请问在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)为线段上方抛物线上一动点，当的面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型2 角成倍数关系的存在性问题】 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 14．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 15．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 【类型3 互补或互余的存在性问题】 17．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 21．如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【类型4 已知角度数的存在性问题】 25．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 26．已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 27．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 28．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 29．已知抛物线与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 30．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 31．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图像上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数的图像交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【类型5 角的和差相关的存在性问题】 33．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 35．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 37．如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，点B在点A右侧，已知点A坐标为 (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线上方抛物线上一动点，G为y轴上一动点，当的面积取得最大值时，求出P点的坐标及的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线与线段交于点M，连接．在新抛物线上是否存在点N，使，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $