专题02 矩形的性质与判定（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，从定义（含平行四边形及直角两要素）出发，系统梳理性质（四角直角、对角线相等、对称性）、判定定理（定义法、对角线法、三角法），并关联直角三角形斜边中线性质（源于矩形对角线性质），构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型多样（含折叠、坐标系、证明与计算），典例与变式搭配，分层训练（巩固+强化）。通过几何直观（如折叠问题图形分析）和推理能力（规范证明步骤）培养核心素养，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题02 矩形的性质与判定 1、理解矩形定义，掌握矩形角、对角线的独有性质，结合勾股定理完成线段与角度计算。 2、熟记矩形各类判定定理，区分以平行四边形、任意四边形为起点的判定条件，防止概念混淆。 3、掌握矩形对角线形成等腰三角形的模型，理解直角三角形斜边中线定理及其推导来源。 4、综合运用矩形性质与判定进行几何证明，规范推理步骤，提升几何综合分析能力。 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 【注意】矩形的定义包含两个要素： ①是平行四边形； ②有一个角是直角。 矩形是平行四边形的基础上增加“有一个角是直角”这一特殊条件。 ⚠️ 易错提醒：定义本身既是矩形的性质（矩形一定是平行四边形且有一个角是直角），也是矩形的判定方法之一（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 2. 矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质，此外还有以下特殊性质： （1）角：矩形的四个角都是直角。 （2）对角线：矩形的两条对角线相等。 （3）对称性：矩形是轴对称图形，有2条对称轴（分别是通过对边中点的直线）；矩形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 （4）从三个方面看矩形的性质: 从边看：对边平行且相等 从角看：四个角都是直角 从对角线看：对角线互相平分且相等 【注意】矩形是特殊的平行四边形，过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分。 3. 直角三角形斜边上的中线的性质: 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 证明思路：通过构造矩形来证明——将直角三角形的斜边作为矩形的对角线，则斜边上的中线等于对角线的一半，即等于斜边的一半。 【注意】这一性质与矩形有着密切的联系——矩形的对角线相等且互相平分，因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以看作是矩形对角线性质的直接推论。 4. 矩形的判定: 矩形的判定方法共有三种 方法一（定义法） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言：在▱ABCD中，若∠A = 90°（或任一内角为90°），则▱ABCD是矩形。 方法二（对角线法） 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：在▱ABCD中，若AC = BD，则▱ABCD是矩形。 方法三（三角法） 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，若∠A = ∠B = ∠C = 90°，则四边形ABCD是矩形。 【注意】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定矩形； 第三种方法是在四边形的基础上直接判定（因四边形内角和为360°，三个角为直角则第四个角也必为直角）。 题型01斜边的中线等于斜边的一半 【典例】如图，在 中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式】如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 题型02利用矩形的性质证明 【典例】如图1，在矩形中，点，分别在边，上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积； (3)如图2，若是矩形外一点，求证：． 【变式】如图，在矩形中，，连接，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒，过点作于点，连接． (1)用含的式子表示的长度：________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，当时，直接写出的值． 题型03求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 题型04矩形与折叠问题 【典例】如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式】如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证： (2)若，，求的面积． 题型05证明四边形是矩形 【典例】如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式】如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型06根据矩形的性质与判定求角度 【典例】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 题型07根据矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 【变式】菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． (1)菱形的周长为________； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求的长． 题型08根据矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 【变式】如图，在中，对角线和相交于点，，，． (1)求证； (2)下面两小题任选一题完成：（要求先尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，再计算） ①分别在边，上确定点，，使得四边形为矩形，并求出矩形的面积； ②分别在边，上确定点，，使得四边形为菱形，并求出菱形的面积． 【巩固训练】 1．在四边形中，，，下列说法能使四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，的平分线和的平分线恰好交于边上的点E，若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在矩形中，点E是边上的一点，连接分别是的中点，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 6．如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与点，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 8．如图中，，，，点是中点，将沿着直线翻折，得到，连接，则线段的长等于（     ） A． B． C． D． 9．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，将的矩形纸片放在直角坐标系中，顶点在轴上，为边上一点，连接，将纸片沿折叠，使点落在边与轴的交点处；则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．若，则的周长为 ____________． 12．两张全等的矩形纸片、按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的周长为________． 13．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 14．如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________． 15．如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 16．图1是轨道示意图，其中四边形是矩形，对角线，相交于点，．机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．设机器人的运动时间为（单位：），机器人到点的距离为（单位：），与的函数图象如图2所示，则取最大值时，机器人在轨道上的位置是点_____． 17．如图，在矩形中（）． (1)尺规作图：在矩形的边上找一点E，使平分（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求的长． 18．如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 19．如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 20．如图，在中，点为线段的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 21．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O． (1)E，F是上两点且不与O点重合，，四边形是平行四边形吗？ (2)若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动其速度为，，．当运动时间t为何值时，以E，D，F，B为顶点的四边形是矩形？说明理由？ 22．阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，P为矩形内的任意一点，求证．下面是这道题的部分证明过程：过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴在和中，根据勾股定理得，…… 任务： (1)请完成材料中剩余的证明过程． (2)如图2，P为矩形内一点，且，，，求的长（结果保留根号）． 【强化训练】 1．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，，，则矩形的面积是（     ） A．190 B．192 C．194 D．196 2．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的取值范围是．正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 5．在矩形中，，，边上有一点，边上有一点，且，当的长为整数时，的长为______________________． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，，，点E在边上．将沿折叠，点C的对应点F落在y轴上．若A，E，F三点共线，则点E的坐标为_____________． 7．如图，菱形的边长为，，点在上运动，点在上运动（，两点可以和菱形的顶点重合），且，点是线段的中点，垂足为M，则的最小值是________． 8．如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将四边形沿折叠，使点和点重合．再将沿继续折叠，当点的对应点恰好落在线段上时，_______． 9．如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． (1)当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． (2)当点、、在同一条直线上时，求线段长． (3)当为直角时，直接写出线段的长． 10．如图，在中，，点在上，以、为腰作等腰，且，连接，过作交延长线于，连接． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 11．在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，当点是的三等分点时，求此时线段的长． 12．中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时． ①求的度数； ②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形的性质与判定 1、理解矩形定义，掌握矩形角、对角线的独有性质，结合勾股定理完成线段与角度计算。 2、熟记矩形各类判定定理，区分以平行四边形、任意四边形为起点的判定条件，防止概念混淆。 3、掌握矩形对角线形成等腰三角形的模型，理解直角三角形斜边中线定理及其推导来源。 4、综合运用矩形性质与判定进行几何证明，规范推理步骤，提升几何综合分析能力。 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 【注意】矩形的定义包含两个要素： ①是平行四边形； ②有一个角是直角。 矩形是平行四边形的基础上增加“有一个角是直角”这一特殊条件。 ⚠️ 易错提醒：定义本身既是矩形的性质（矩形一定是平行四边形且有一个角是直角），也是矩形的判定方法之一（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 2. 矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质，此外还有以下特殊性质： （1）角：矩形的四个角都是直角。 （2）对角线：矩形的两条对角线相等。 （3）对称性：矩形是轴对称图形，有2条对称轴（分别是通过对边中点的直线）；矩形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 （4）从三个方面看矩形的性质: 从边看：对边平行且相等 从角看：四个角都是直角 从对角线看：对角线互相平分且相等 【注意】矩形是特殊的平行四边形，过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分。 3. 直角三角形斜边上的中线的性质: 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 证明思路：通过构造矩形来证明——将直角三角形的斜边作为矩形的对角线，则斜边上的中线等于对角线的一半，即等于斜边的一半。 【注意】这一性质与矩形有着密切的联系——矩形的对角线相等且互相平分，因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以看作是矩形对角线性质的直接推论。 4. 矩形的判定: 矩形的判定方法共有三种 方法一（定义法） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言：在▱ABCD中，若∠A = 90°（或任一内角为90°），则▱ABCD是矩形。 方法二（对角线法） 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：在▱ABCD中，若AC = BD，则▱ABCD是矩形。 方法三（三角法） 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，若∠A = ∠B = ∠C = 90°，则四边形ABCD是矩形。 【注意】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定矩形； 第三种方法是在四边形的基础上直接判定（因四边形内角和为360°，三个角为直角则第四个角也必为直角）。 题型01斜边的中线等于斜边的一半 【典例】如图，在 中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是中点，， ∴在中，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等腰的中线， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴； (2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质证明为等腰三角形，再利用三线合一的性质证明是的中点，即可通过中位线的性质得到结果； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵是中点， ∴在中，． 【变式】如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； (2)1.4 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 题型02利用矩形的性质证明 【典例】如图1，在矩形中，点，分别在边，上，是四边形对角线的交点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积； (3)如图2，若是矩形外一点，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2)45 (3)证明：如图，连接，，，，过点P作交的延长线于点M，交的延长线于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，， ∴，，，， ∴，， ∴． 【分析】（1）利用矩形的性质得，，推出，结合即可证明； （2）设，则，得到，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可； （3）如图，连接，，，，过点P作交的延长线于点M，交的延长线于点N，证明四边形，四边形都是矩形，然后利用勾股定理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积； （3）略 【变式】如图，在矩形中，，连接，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒，过点作于点，连接． (1)用含的式子表示的长度：________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知， 由（1）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴                   又∵， ∴，                                                             ∴四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）由题意得：，结合，即可求解； （2）由题意可知，推出；根据，推出，即可求证； （3）由题意得，根据，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，                                                 解得． 题型03求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 题型04矩形与折叠问题 【典例】如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】矩形有两条对称轴，因此分两种情况讨论；利用折叠性质得到，，再借助勾股定理列方程求出的长度． 【详解】解：设，由折叠性质得：，． 矩形的对称轴分为两种情况： 情况一：落在竖直对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时， 在中： ， ， 又， 在中，由勾股定理：， ， 解得：． 情况二：落在水平对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时． 在中：， ， 在中：， ， 解得：． 综上：或． 【变式】如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证： (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， 矩形沿对角线折叠点落在点处， ∴，， ∴，, 在和中， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的对边相等可得，，再根据翻折的性质可得，，然后求出，，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴由勾股定理得， ∵， ， ∴的面积． 题型05证明四边形是矩形 【典例】如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，从而得到，进而证明四边形为平行四边形，结合可得，四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质可得，，，由矩形的性质可得，使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 【变式】如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ，点是线段的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先根据两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合，有一个角是直角的平行四边形为矩形完成证明． （2）先求出，由勾股定理算出，再借助三角形面积法，求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ，， ， 即， ． 题型06根据矩形的性质与判定求角度 【典例】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 题型07根据矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 【答案】(1)15 (2)证明：， 四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 四边形是菱形， ， 四边形为矩形．（一个角是直角的平行四边形是矩形）， ， ； (3) 【分析】（1）首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线互相垂直且平分，得到，，利用勾股定理求解即可； （2）首先证明四边形为矩形，利用菱形的性质，矩形的性质，等量代换证明即可； （3）过点D作于点H，利用菱形的面积，性质，矩形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 四边形是菱形， ，，，相交于点， ，，，， ． （2）略 （3）解：过点D作于点H， 根据菱形的面积，得， ， 解得， ， 四边形是菱形，四边形为矩形， ， ， ． 【变式】菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． (1)菱形的周长为________； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求的长． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (3)． 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可求出菱形的周长； （2）先根据菱形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，证出，然后可证出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证； （3）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，是的中点，， ∴，， ∴菱形的周长为； （2）略； （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型08根据矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． (2) (3)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）得出，进而得出即可得证； （2）先求出，再求出的长，进而求出的长即可； （3）先得出四边形是平行四边形，再得出即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴四边形的面积为． （3）略． 【变式】如图，在中，对角线和相交于点，，，． (1)求证； (2)下面两小题任选一题完成：（要求先尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，再计算） ①分别在边，上确定点，，使得四边形为矩形，并求出矩形的面积； ②分别在边，上确定点，，使得四边形为菱形，并求出菱形的面积． 【答案】(1)证明：在中，对角线和相交于点，，， ，， ， ，， ， ； (2)①如图，四边形即为所求， ，，， ， ， ， ， ， ； ②如图，四边形即为所求， 过点作于点， 由①知，，， 设，则， ， ， 解得，即， ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）①过点作于点，过点作于点，即可得到四边形为矩形，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，进而根据勾股定理求出，即可求出；②作的垂直平分线分别交、于点、，则四边形为菱形，过点作于点，由①知，，，设，则，再根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【巩固训练】 1．在四边形中，，，下列说法能使四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，，可得四边形为等腰梯形或平行四边形，结合矩形的判定，逐一分析各选项即可． 【详解】解：，， 四边形是等腰梯形或平行四边形． 对选项A：若四边形为等腰梯形，为底边，等腰梯形同一底上的角相等，满足，但不是矩形，故A不符合题意． 对选项B： 同理可得， 即四边形四个内角均为直角， 四边形是矩形，故B符合题意． 对选项C：等腰梯形可以满足腰长等于底边长，即，仍为等腰梯形，不是矩形，故C不符合题意． 对选项D：等腰梯形对角线相等，满足，但等腰梯形不是矩形，故D不符合题意． 2．如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得，结合推出，即为等腰三角形；再结合是中点，得，在中，是斜边中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可求． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，对角线互相平分，． 已知，则， 得， 是等腰三角形． 为中点， 等腰中，中线， ， 即是直角三角形． 又为的中点， 在中，斜边中线． ， ． 3．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在矩形中，的平分线和的平分线恰好交于边上的点E，若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先证明和是等腰直角三角形，据此计算即可求解． 【详解】解：∵矩形，， ∴，，， ∵的平分线和的平分线恰好交于边上的点E， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，在矩形中，点E是边上的一点，连接分别是的中点，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，，， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵点F、G分别为、的中点， ． 6．如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与点，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形，，可以得出，由为直线，，得，算出，故．折叠后，因此． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． . 由折叠的性质：折叠前后对应角相等，， ． 7．菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，斜边上的中线，推出为等边三角形，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 8．如图中，，，，点是中点，将沿着直线翻折，得到，连接，则线段的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，利用勾股定理和直角三角形的斜边中线，得出，由折叠可知，，，利用勾股定理列方程，先求出，再求出，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点， 中，，，， ， 在中，点是中点， ， 折叠， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ， ． 9．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 10．如图，将的矩形纸片放在直角坐标系中，顶点在轴上，为边上一点，连接，将纸片沿折叠，使点落在边与轴的交点处；则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠的性质求得，利用勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质知：，， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴E点的坐标为． 11．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．若，则的周长为 ____________． 【答案】16 【分析】由三角形中位线定理得到，可证明，得到，则由直角三角形的性质和线段中点的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴的周长． 12．两张全等的矩形纸片、按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的周长为________． 【答案】20 【分析】利用矩形的性质和全等三角形，证明四边形是菱形，再设，利用勾股定理列方程求出，即可得解． 【详解】解：如图，令与的交点为，令与的交点为， 两张全等的矩形纸片、， ，，， ，即， ， ，，， ， ，， 同理可证，，， ， 四边形是菱形， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 图中重叠（阴影）部分的周长为． 13．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而利用勾股定理求得，根据即可求解； 【详解】解：如图，取的中点，连接， 顶点分别在轴，轴正半轴上滑动， ， 是的中点，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 在中，， ， ， ， 的最大值为． 14．如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【分析】由矩形的性质可得，，证明，得出，由此计算即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 【答案】/24度 【分析】首先根据矩形的性质可得，由平行线的性质可得；结合折叠的性质可得，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴， 解得． 16．图1是轨道示意图，其中四边形是矩形，对角线，相交于点，．机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．设机器人的运动时间为（单位：），机器人到点的距离为（单位：），与的函数图象如图2所示，则取最大值时，机器人在轨道上的位置是点_____． 【答案】 【分析】首先由矩形性质得到，然后结合函数图象判断出取最大值时的位置点． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵由图象可得，当时，， ∴当时，机器人从点运动到点，或从点运动到点， ∵从时到取最大值时，随的增大而增大， ∴机器人从点运动到点，或从点运动到点， 根据题意可知，机器人从点出发，需要经过其余四点各一次后，回到点， 若机器人从点运动到点，再点运动到点，运动方向没有发生变化，从函数图象看运动方向发生了变化，此种情况不符合题意，舍弃， ∴可得出机器人从点运动到点，再从点运动到点，且在点时取得最大值． 17．如图，在矩形中（）． (1)尺规作图：在矩形的边上找一点E，使平分（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)如图，点E即为所求； (2)2 【分析】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于E，点E即为所求； （2）设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）理由∶由作法得：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，即平分； （2）解：设， ∵， ∴， 由作法得：， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 即． 18．如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)∵，D是中点， ∴，， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得，，根据是的外角的平分线，推得，再根据矩形的判定定理即可证明； （2）由（1）证明是等边三角形，求出，的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是矩形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 【答案】(1) ； (2)或； (3)的取值范围是或． 【分析】（1）分，，三种情况分别求解即可； （2）当的面积为时，得或，求解即可； （3）当时，若，则，若，则，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 综上， ； （2）解：当的面积为时，得： 或， 解得：或； （3）解：当时， 若，则， 解得：， 若，则，不满足条件， 若，则， 解得：， ∴的取值范围是或． 20．如图，在中，点为线段的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为△的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得． 21．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O． (1)E，F是上两点且不与O点重合，，四边形是平行四边形吗？ (2)若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动其速度为，，．当运动时间t为何值时，以E，D，F，B为顶点的四边形是矩形？说明理由？ 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)当运动时间t为或时，以E，D，F，B为顶点的四边形是矩形． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∵， ∴； ∴； ∵； ∴； ∴或； ∵E，F两个动点的速度都是， ∴或； 即当运动时间t为或时，以E，D，F，B为顶点的四边形是矩形． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）略 22．阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，P为矩形内的任意一点，求证．下面是这道题的部分证明过程：过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴在和中，根据勾股定理得，…… 任务： (1)请完成材料中剩余的证明过程． (2)如图2，P为矩形内一点，且，，，求的长（结果保留根号）． 【答案】(1)过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴在和中， 根据勾股定理得， 同理，在和中， 根据勾股定理得， ∴； (2)． 【分析】（1）证明四边形和都是矩形，得到，，在和中，利用勾股定理得到，同理，在和中，利用勾股定理即可证明； （2）过点P作，分别交、于点、，则．，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点P作，分别交、于点、，则． ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形和都是矩形， ∴，， ∴． 【强化训练】 1．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，，，则矩形的面积是（     ） A．190 B．192 C．194 D．196 【答案】B 【分析】根据四边形是矩形得到，根据F，G分别是，的中点，且，，得到，，，设根据勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵F，G分别是，的中点，且，，， ∴，，， 设，则，， 由勾股定理得， 解得：， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点H，使得，连接，可证明，得到，则当C、E、H三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 3．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形的性质得到，再证明，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：四边形和四边形分别是菱形和矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， 矩形的面积为． 4．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的取值范围是．正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当点与点重合时，的值最大，求得最大值即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故正确； ∴，， ∴， 若，∵， ∴， ∴，这个结论不一定成立，故错误； 当点与点重合时，如图所示， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 当过点时，，结合四边形是菱形得到菱形是正方形，则，如图所示，最短，四边形面积最小， ∴； 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大，此时，， ∴， ∴，故错误； 正确的结论为． 5．在矩形中，，，边上有一点，边上有一点，且，当的长为整数时，的长为______________________． 【答案】或或 【分析】设的长为，利用矩形性质和勾股定理表示出的长度，根据的取值范围确定的整数可能值，再解方程求出的长． 【详解】解：设，由得，且， 过点作于点，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，则， 根据勾股定理得：， 即， ，， 当或时，，， 的长为整数， 或， 当时，，两边平方得，解得； 当时：，两边平方得，开方得，解得，两个解均满足． 故的长为或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，，，点E在边上．将沿折叠，点C的对应点F落在y轴上．若A，E，F三点共线，则点E的坐标为_____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，，，结合，，三点共线得出，证明得，由勾股定理求出，进而可得、、的值，再由求出，然后由勾股定理求出，进而得出点、、的坐标． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ，，，， ，，三点共线， ， 四边形是矩形， ，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴点E的横坐标为， ∴点的坐标为． 7．如图，菱形的边长为，，点在上运动，点在上运动（，两点可以和菱形的顶点重合），且，点是线段的中点，垂足为M，则的最小值是________． 【答案】 【分析】延长交于，连接，过点A作，垂足为，先证明，根据三角形中位线定理可得，进而得出最小时最小，而当时，最小，此时，由此即可解题． 【详解】解：延长交于，连接，过点A作，垂足为，    ∵四边形是菱形，边长为， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小， ∵当时，四边形是矩形， ∴． ∴的最小值． 8．如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将四边形沿折叠，使点和点重合．再将沿继续折叠，当点的对应点恰好落在线段上时，_______． 【答案】 【分析】先由矩形和折叠的性质证明，推出，是等边三角形，得到，进而根据仙居线段和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：由折叠可知：，， 矩形， ， ， ， ， ，即， ， 由折叠可知：， ， ，， 是等边三角形， ， 由折叠可知：， ， ． 9．如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． (1)当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． (2)当点、、在同一条直线上时，求线段长． (3)当为直角时，直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形；3 (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求解即可； （3）设，分两种情况：当点F在边上时，当点F在边的延长线上时，结合勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； （2）解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； （3）解：由折叠的性质得：，， 设， 当点F在边上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点F在边的延长线上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，线段长为或． 10．如图，在中，，点在上，以、为腰作等腰，且，连接，过作交延长线于，连接． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明：， ， ， 同理， ， ， ， 又，， ， ； (2)证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 即， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，当点是的三等分点时，求此时线段的长． 【答案】(1)证明：E为中点， ， 由翻折性质得：、， ， ， 在中，， ， ， ； (2)存在，的长为或 (3)的长为或 【分析】（1）根据翻折的性质和等腰三角形的性质易证得，从而得出结论； （2）分情况讨论：当时：易得到点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点，由勾股定理求出的值，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解的值；当时：点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点、于点，同理求出的值； （3）设，由折叠的性质知，分两种情况讨论，在中，由勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由翻折性质得：、、， 四边形是矩形， 、， ①当时： ， ， 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点， 、， 在中，由勾股定理得： ， 、， 、， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得， ； ②当时： 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点、于点， 、， 、， 在中，由勾股定理：， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得， ， 综上所述，的长为或； （3）解：设， 由折叠的性质知， ∴，， 当时， 在中，由勾股定理得， 即， 解得； 当时， 在中，由勾股定理得， 即， 解得； 综上，线段的长为或． 12．中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时． ①求的度数； ②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 如图，连接，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， 过作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质求解即可；②如图，连接，，过作交的延长线于，证明，，，进一步可得结论． （2）如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，证明，可得，，记，的交点为，证明，设，则，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 记，的交点为， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴的周长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $