专题03 正方形的性质与判定（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学正方形的性质与判定核心知识点，系统梳理平行四边形、菱形、矩形到正方形的从属关系，明确正方形边、角、对角线、对称性等性质及三种判定途径，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过折叠问题、重叠面积计算等8类题型设计，典例与变式结合，培养学生几何直观与空间观念，提升推理能力与运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，弥补薄弱环节，强化知识应用。

专题03 正方形的性质与判定 1、掌握正方形的性质，明确正方形是矩形与菱形的结合体，灵活进行线段与角度运算。 2、梳理正方形不同判定途径，分清判定前提，准确选用定理完成图形判定证明。 3、结合常见几何模型综合解题，理顺平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系。 1. 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 【注意】正方形既是矩形又是菱形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更是特殊的平行四边形。换句话说：从矩形角度看：正方形是有一组邻边相等的矩形； 从菱形角度看：正方形是有一个角是直角的菱形。 ⚠️ 易错提醒：定义本身既是正方形的性质，也是正方形的判定方法之一。正方形的定义还有另一种表述：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 💡 理解关键：正方形是三种特殊平行四边形中限制条件最多的一种，因此它具备平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 2. 正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，具体包括： （1） 边:四条边都相等，邻边垂直，对边平行。 （2）角:四个角都是直角。 （3）对角线:相等；互相垂直平分；每条对角线平分一组对角。 （4）对称性:正方形是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在的直线 + 两条通过对边中点的直线）；正方形也是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 （5）特殊结论:正方形的对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。 【注意】正方形既是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质 3. 正方形的判定: 思路一：先证菱形，再证矩形 先判定四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）。 思路二：先证矩形，再证菱形 先判定四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）。 思路三:（定义法） 先判定四边形是平行四边形，再确定它有一个角是直角并且有一组邻边相等。 题型01根据正方形的性质证明 【典例】如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到，结合已知，等量代换即可得证； （2）连接，证明，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．     又∵， ∴， ∴． 【变式】如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； (2)∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型02正方形折叠问题 【典例】如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方形边长和E是中点，用勾股定理计算的长度，再结合折叠性质得，那么，即可求解的长． （2）设的长为x，那么，由折叠性质得，同时，所以．在中用含x的式子表示，在中也用含x的式子表示，列方程求解x，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵正方形边长，． ∴， ∵是中点， ∴． 在中，由勾股定理得： ． 由折叠性质可知，， ∴． （2）解：设，由折叠性质得， ∴． 由折叠得， ∴，是直角三角形． 在中，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得： ∴， 代入，，，： 得 ， 展开化简得： ， 解得， 即， ∴ ． 【变式】在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠性质得：，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，结合折叠性质证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，，，进一步求出等于30度，即可得，再根据等角对等边即可证明． （2）根据四边形是正方形，即可得，，结合直角三角形斜边中线的性质得，可证明，即可得，再根据折叠性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，再根据30度角的直角三角形性质即可得的值． （3）延长交于，连接交于，根据折叠性质、结合四边形是正方形，即可证明，根据全等性质得，再根据，结合余角性质得，根据等角对等边得，结合已知条件得，设，用的代数式表示出、、，在直角三角形中，根据勾股定理列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：如图2， 连接，， ∵为的中点，是直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质得：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． （3）解：如图3， 延长交于，连接交于，则：， 根据折叠性质得：，，， ， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 设，则，，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键． 题型03证明四边形是正方形 【典例】如图，在中，，、的平分线交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：如图，过点作于点， 、的平分线交于点，于点，于点， ，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【分析】作，利用角平分线性质得，先证四边形是矩形，再用邻边相等推出四边形是正方形． 【详解】略 【变式】如图，在矩形中，是的中点，是上一点，连接、，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)①当点P在什么位置时，四边形是菱形？证明你的结论； ②矩形的边和满足什么条件时，①中的菱形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，、分别是、的中点，是的中点， 、为的中位线， ，， 四边形是平行四边形； (2)解：①当点为的中点时，四边形是菱形， 理由是：当为的中点时，， 四边形是矩形， ，， 由勾股定理得：，， ， 、分别是、的中点， ， 由（1）知：四边形是平行四边形， 四边形是菱形； ②矩形的边和满足时，①中的菱形是正方形， 理由是：，， ， 是等腰直角三角形， ， 同理可得， ， ①中的菱形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 题型04求正方形重叠部分面积 【典例】【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 【详解】（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 【变式】追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系． (1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ； (2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积； (3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值． 【答案】(1) (2) (3)2027 【分析】（1）连接，设交于点N，利用正方形的性质证明，得，从而有，即可求解； （2）设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N，由正方形的性质可证明，从而有，即可求解； （3）设边长为2的正方形的面积为S，则，分析得n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：连接，设交于点N，如图， ∵正方形的顶点与正方形的中心重合， ∴，,， ∴， ∵正方形的边与垂直，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∵, ∴ 而正方形的边长为1，则其面积为1， ∴； （2）解：如图，设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N， ∴， ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E点是正方形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 而四边形的面积为， ∴， ∴； （3）解：设边长为2的正方形的面积为S，则， 由（2）知，两个正方形重叠，其重叠面积为， 三个正方形有两处重叠部分，其重叠面积和为， 四个正方形有三处重叠部分，其重叠面积和为， … 一般地：n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为， 由题意得：， 解得， 即n的值为2027． 题型05根据正方形的性质与判定求角度 【典例】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【变式】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键. 题型06根据正方形的性质与判定求线段长 【典例】如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作平行四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图，过点E作，垂足分别为点M，N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）过点E作，垂足分别为点M，N，，可得，即可求证； （2）连接，过点F作于点F，交于点P，证明，，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点F作于点F，交于点P， ∵四边形，是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式】如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵，而由（1）得， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 题型07根据正方形的性质与判定求面积 【典例】如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式】正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 【答案】(1) (2)解：四边形的面积不发生变化．证明如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为 ， 即四边形的面积不发生变化． (3) 【分析】（1）先得出四边形是正方形，再求出的长即可； （2）证出，则，进而可得重叠部分四边形的面积等于的面积，由此即可得； （3）先求出的长，再取的中点，连接，，则，，然后根据（当且仅当三点共线时，等号成立）求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，，， ∵，即， ∴四边形是矩形， 又∵，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴重叠部分四边形的面积是． （2）解：略． （3）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，， ∴在中，， ∴， 如图，取的中点，连接，，， ∴在中，；在中，， 又∵，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴，即， ∴的最短长度是． 题型08根据正方形的性质与判定证明 【典例】在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图1，过点P作于点E，求证：； (2)如图2，连接交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵正方形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接，过点P作于点E， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可得证； （2）连接，过点P作于点E，根据正方形的性质证明，即可得证； （3）连接，过点G作于点M，作于点N，根据正方形的判定与性质，勾股定理，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，过点G作于点M，作于点N， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形；， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，过E作于点M，过E作于点N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． (2) 【分析】（1）过E作于点M，过E作于点N，得到，推导出，四边形为正方形，得到，，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点H，推导出，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【巩固训练】 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法即可解题，根据判定定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴A是假命题，不符合题意. ∵对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ∴B是假命题，不符合题意. ∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴C是真命题，符合题意. ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形， ∴D是假命题，不符合题意. 故选：C. 2．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明矩形是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵矩形对角线互相垂直， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴两条对角线所用的竹条长度为． 3．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 4．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易得，进而得到，推出即可. 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，四边形为矩形，， ∵， ∴， ． 故只要知道线段的长就可以求出阴影部分的面积. 5．如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 6．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 7．如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 【答案】B 【分析】由题意可得垂直平分，则，若添加，则，证明得出，从而可得，即可判断甲说法正确；添加，无法证明四边形为矩形，即可判断乙说法错误；当添加时，，从而可得，当添加时，四边形为菱形，再结合，即可判断丙说法正确． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴垂直平分， ∴， 若添加，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故甲说法正确； 添加，无法证明四边形为矩形，故乙说法错误； 当添加时，， ∴， 当添加时，四边形为菱形； ∵， ∴四边形为正方形，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有甲丙． 8．如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】设对角线交点为，连接，利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，结合面积法建立等式，即可求出的值． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质知道，证明，再根据角平分线的性质求出的角度，利用等量代换求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 在中，， 点是的中点， . 11．如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 【答案】 / 【分析】以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，然后求出相关点的坐标，求出直线的表达式，再结合两点间距离公式以及中点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1）以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 当时，，解得 ∴ ∴； （2）同理可求直线，直线 ∴联立直线与直线，得， 解得， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质得出，，，由线段中点的定义得出点D，E在直线上，，，，则可得出的横坐标为2，由折叠的性质可知：，由勾股定理得出，即可求出点的纵坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，，， ∵、分别是边和的中点， ∴点D，E在直线上，，，， ∵点落在线段上， ∴的横坐标为2， 由折叠的性质可知：， ∴在中 ， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴ 则点的坐标是． 13．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 14．如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，则可得，那么，故当点共线时，取得最小值，为，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是正方形 ∴垂直平分， ∴ ∴ 当点共线时，取得最小值，为 ∵M为中点， ∴ ∴． 15．如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，点，．现固定点，在轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：点，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ． 16．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 【答案】(1) 解：， 理由如下：四边形是正方形， ，，                                 ， 由条件可知． ， ．                                     ， ， ．                                 ． ； (2)24 【分析】（1）结合正方形性质证明，得到，进而即可推出，与之间的数量关系； （2）作于点，根据直角三角形性质推出，再利用勾股定理求出，结合（1）中结论推出，，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点， 在中，，， ，                                     ．                         由（1）得，，                     ． 17．如图，在中，点、分别为边，的中点，连结并延长到E，使，连结、． (1)直接写出图中的平行四边形； (2)增加下列条件后，判断四边形为何种特殊的平行四边形，并填空： ①若增加条件：，则四边形为_________； ②若增加条件：，则四边形为_________； ③若增加条件：，且，则四边形为_________； (3)从（2）中任意选择一个，加以证明． 【答案】(1)平行四边形、平行四边形． (2)①矩形；②菱形；③正方形 (3)任选一个加以证明： 选择① 四边形是平行四边形， （平行四边形对边相等） 四边形是平行四边形， 四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 选择② 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 选择③ 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 四边形是正方形（对角线相等的菱形是正方形）． 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形说明四边形是平行四边形，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形说明四边形是平行四边形； （2）根据矩形，菱形，正方形的判定定理解答； （3）先根据对角线相等的平行四边形是矩形解答；再根据对角线垂直的平行四边形是菱形解答；然后说明四边形是菱形，最后根据对角线相等的菱形是正方形解答． 【详解】（1）解：∵点O是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）略 （3）略 18．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以的速度沿方向运动．设点运动的时间为． (1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值； (2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此四边形为平行四边形，得，分别用表示两条线段长度，列方程求解． （2）在上，先确定范围；由，利用正方形直角及互余角证明，得对应边相等，，用表示、列方程求解． 【详解】（1）解：互相平分， 四边形是平行四边形， ． 由题意：点在上，；，正方形边长， ． ， 解得：． （2）解：点在边上，，速度，走完用时， 故． 则，， ． 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， 解得：． 19．实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 【答案】(1) (2)，作图如下： (3) 【分析】（1）由证明过程可知，的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； （3）作交于点，连接，可证明，得，，即可证明，则． 【详解】（1）解：由证明过程可知，的条件是： ， ∴推理的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）解：如答案图2，设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得，， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴， 由平移得， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 作交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ； (2)①证明：如下图所示，过点作垂足为点，垂足为点， 则， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由（1）可知， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， 平分； ② 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）①过点作垂足为点，垂足为点，可证四边形是矩形，由（1）可知，又因为点是的中点，可证，证明，根据全等三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形，根据正方形的性质可证结论成立； ②以点为原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可以求出的长度，利用即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 正方形边长为， ， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 点是的中点， ， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 21．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)等边三角形， 理由：如图，连接， 矩形纸片， ， 折叠， 垂直平分，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)①；②或． 【分析】（1）连接，由折叠的性质先证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得出，即可判断的形状； （2）①证明，得到，同（1）理可得，，则，即可得解； ②设，再分两种情况讨论：当点在点下方和上方时，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①正方形， ，， 折叠， ，， ，， 又， ， ， 同（1）理可得，， ， ， ②正方形纸片边长为， ，， 折叠， ，， 由①可知，， ， 设，则， 如图，当点在点下方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 如图，当点在点上方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 综上可知，的值为或． 【强化训练】 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法即可解题，根据判定定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴A是假命题，不符合题意. ∵对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ∴B是假命题，不符合题意. ∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴C是真命题，符合题意. ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形， ∴D是假命题，不符合题意. 故选：C. 2．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明矩形是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵矩形对角线互相垂直， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴两条对角线所用的竹条长度为． 3．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 4．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易得，进而得到，推出即可. 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，四边形为矩形，， ∵， ∴， ． 故只要知道线段的长就可以求出阴影部分的面积. 5．如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 6．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 7．如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 【答案】B 【分析】由题意可得垂直平分，则，若添加，则，证明得出，从而可得，即可判断甲说法正确；添加，无法证明四边形为矩形，即可判断乙说法错误；当添加时，，从而可得，当添加时，四边形为菱形，再结合，即可判断丙说法正确． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴垂直平分， ∴， 若添加，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故甲说法正确； 添加，无法证明四边形为矩形，故乙说法错误； 当添加时，， ∴， 当添加时，四边形为菱形； ∵， ∴四边形为正方形，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有甲丙． 8．如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】设对角线交点为，连接，利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，结合面积法建立等式，即可求出的值． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质知道，证明，再根据角平分线的性质求出的角度，利用等量代换求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 在中，， 点是的中点， . 11．如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 【答案】 / 【分析】以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，然后求出相关点的坐标，求出直线的表达式，再结合两点间距离公式以及中点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1）以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 当时，，解得 ∴ ∴； （2）同理可求直线，直线 ∴联立直线与直线，得， 解得， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质得出，，，由线段中点的定义得出点D，E在直线上，，，，则可得出的横坐标为2，由折叠的性质可知：，由勾股定理得出，即可求出点的纵坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，，， ∵、分别是边和的中点， ∴点D，E在直线上，，，， ∵点落在线段上， ∴的横坐标为2， 由折叠的性质可知：， ∴在中 ， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴ 则点的坐标是． 13．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 14．如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，则可得，那么，故当点共线时，取得最小值，为，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是正方形 ∴垂直平分， ∴ ∴ 当点共线时，取得最小值，为 ∵M为中点， ∴ ∴． 15．如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，点，．现固定点，在轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：点，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ． 16．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 【答案】(1) 解：， 理由如下：四边形是正方形， ，，                                 ， 由条件可知． ， ．                                     ， ， ．                                 ． ； (2)24 【分析】（1）结合正方形性质证明，得到，进而即可推出，与之间的数量关系； （2）作于点，根据直角三角形性质推出，再利用勾股定理求出，结合（1）中结论推出，，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点， 在中，，， ，                                     ．                         由（1）得，，                     ． 17．如图，在中，点、分别为边，的中点，连结并延长到E，使，连结、． (1)直接写出图中的平行四边形； (2)增加下列条件后，判断四边形为何种特殊的平行四边形，并填空： ①若增加条件：，则四边形为_________； ②若增加条件：，则四边形为_________； ③若增加条件：，且，则四边形为_________； (3)从（2）中任意选择一个，加以证明． 【答案】(1)平行四边形、平行四边形． (2)①矩形；②菱形；③正方形 (3)任选一个加以证明： 选择① 四边形是平行四边形， （平行四边形对边相等） 四边形是平行四边形， 四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 选择② 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 选择③ 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 四边形是正方形（对角线相等的菱形是正方形）． 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形说明四边形是平行四边形，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形说明四边形是平行四边形； （2）根据矩形，菱形，正方形的判定定理解答； （3）先根据对角线相等的平行四边形是矩形解答；再根据对角线垂直的平行四边形是菱形解答；然后说明四边形是菱形，最后根据对角线相等的菱形是正方形解答． 【详解】（1）解：∵点O是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）略 （3）略 18．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以的速度沿方向运动．设点运动的时间为． (1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值； (2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此四边形为平行四边形，得，分别用表示两条线段长度，列方程求解． （2）在上，先确定范围；由，利用正方形直角及互余角证明，得对应边相等，，用表示、列方程求解． 【详解】（1）解：互相平分， 四边形是平行四边形， ． 由题意：点在上，；，正方形边长， ． ， 解得：． （2）解：点在边上，，速度，走完用时， 故． 则，， ． 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， 解得：． 19．实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 【答案】(1) (2)，作图如下： (3) 【分析】（1）由证明过程可知，的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以； （3）作交于点，连接，可证明，得，，即可证明，则． 【详解】（1）解：由证明过程可知，的条件是： ， ∴推理的依据是全等三角形的判定定理“”； （2）解：如答案图2，设网格中每个小正方形的边长都为， 将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上， 由勾股定理得，， ∴，， ∴是直角三角形，且， ∴， 由平移得， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 作交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ； (2)①证明：如下图所示，过点作垂足为点，垂足为点， 则， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由（1）可知， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， 平分； ② 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）①过点作垂足为点，垂足为点，可证四边形是矩形，由（1）可知，又因为点是的中点，可证，证明，根据全等三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形，根据正方形的性质可证结论成立； ②以点为原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可以求出的长度，利用即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 正方形边长为， ， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 点是的中点， ， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 21．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)等边三角形， 理由：如图，连接， 矩形纸片， ， 折叠， 垂直平分，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)①；②或． 【分析】（1）连接，由折叠的性质先证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得出，即可判断的形状； （2）①证明，得到，同（1）理可得，，则，即可得解； ②设，再分两种情况讨论：当点在点下方和上方时，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①正方形， ，， 折叠， ，， ，， 又， ， ， 同（1）理可得，， ， ， ②正方形纸片边长为， ，， 折叠， ，， 由①可知，， ， 设，则， 如图，当点在点下方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 如图，当点在点上方时， ， ，， ， 在中，， ， 解得：，即； 综上可知，的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正方形的性质与判定 1、掌握正方形的性质，明确正方形是矩形与菱形的结合体，灵活进行线段与角度运算。 2、梳理正方形不同判定途径，分清判定前提，准确选用定理完成图形判定证明。 3、结合常见几何模型综合解题，理顺平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系。 1. 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 【注意】正方形既是矩形又是菱形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更是特殊的平行四边形。换句话说：从矩形角度看：正方形是有一组邻边相等的矩形； 从菱形角度看：正方形是有一个角是直角的菱形。 ⚠️ 易错提醒：定义本身既是正方形的性质，也是正方形的判定方法之一。正方形的定义还有另一种表述：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 💡 理解关键：正方形是三种特殊平行四边形中限制条件最多的一种，因此它具备平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 2. 正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，具体包括： （1）边:四条边都相等，邻边垂直，对边平行。 （2）角:四个角都是直角。 （3）对角线:相等；互相垂直平分；每条对角线平分一组对角。 （4）对称性:正方形是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在的直线 + 两条通过对边中点的直线）；正方形也是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 （5）特殊结论:正方形的对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。 【注意】正方形既是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质 3. 正方形的判定: 思路一：先证菱形，再证矩形 先判定四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）。 思路二：先证矩形，再证菱形 先判定四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）。 思路三:（定义法） 先判定四边形是平行四边形，再确定它有一个角是直角并且有一组邻边相等。 题型01根据正方形的性质证明 【典例】如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【变式】如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． (1)求证：； (2)连接，分别交，于点，．求证：． 题型02正方形折叠问题 【典例】如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【变式】在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 题型03证明四边形是正方形 【典例】如图，在中，，、的平分线交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形． 【变式】如图，在矩形中，是的中点，是上一点，连接、，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)①当点P在什么位置时，四边形是菱形？证明你的结论； ②矩形的边和满足什么条件时，①中的菱形是正方形？请说明理由． 题型04求正方形重叠部分面积 【典例】【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【变式】追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系． (1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ； (2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积； (3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值． 题型05根据正方形的性质与判定求角度 【典例】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【变式】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 题型06根据正方形的性质与判定求线段长 【典例】如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作平行四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出的长． 【变式】如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 题型07根据正方形的性质与判定求面积 【典例】如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式】正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 题型08根据正方形的性质与判定证明 【典例】在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图1，过点P作于点E，求证：； (2)如图2，连接交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【变式】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 (1)如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【巩固训练】 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 3．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 5．如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 6．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 8．如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 9．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 11．如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 13．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 14．如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 15．如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，点，．现固定点，在轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点，则点的对应点的坐标为______． 16．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 17．如图，在中，点、分别为边，的中点，连结并延长到E，使，连结、． (1)直接写出图中的平行四边形； (2)增加下列条件后，判断四边形为何种特殊的平行四边形，并填空： ①若增加条件：，则四边形为_________； ②若增加条件：，则四边形为_________； ③若增加条件：，且，则四边形为_________； (3)从（2）中任意选择一个，加以证明． 18．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以的速度沿方向运动．设点运动的时间为． (1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值； (2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值． 19．实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 20．在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 21．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 【强化训练】 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝（如图），其面积为，则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）（     ） A． B． C． D． 3．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 5．如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 6．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 8．如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点，若于F，于G，则的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 9．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 11．如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 13．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 14．如图，正方形中，，M为中点，P是上一动点，则的最小值为___________． 15．如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，点，．现固定点，在轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点，则点的对应点的坐标为______． 16．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，连接，若，，求的面积． 17．如图，在中，点、分别为边，的中点，连结并延长到E，使，连结、． (1)直接写出图中的平行四边形； (2)增加下列条件后，判断四边形为何种特殊的平行四边形，并填空： ①若增加条件：，则四边形为_________； ②若增加条件：，则四边形为_________； ③若增加条件：，且，则四边形为_________； (3)从（2）中任意选择一个，加以证明． 18．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以的速度沿方向运动．设点运动的时间为． (1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值； (2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值． 19．实践与探究： 【阅读与思考】如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点，那么．证明过程如下： 于点， ， 过点作交于点，交于点， ， ， 四边形为正方形， ，，， ， ， （依据）， ， ，． 四边形为平行四边形， ， ． 【材料探究】： (1)上述证明过程的“依据”是_________： 【问题解决】 (2)如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则为_________，并在网格中作图； 【拓展延伸】 (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 20．在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 21．综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【动手操作】取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在折痕上的处，折痕为，展平后连接，与交于点．请判断的形状，并说明理由． (2)【类比应用】现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②改变点在上的位置（点不与点、重合），使点落在正方形内部的点处，连接、，并延长交于点，连接．当时，请直接写出的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $