5.2 二次函数的图象 第4课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式与一般式的图象及性质，通过“将y=2x²-4x+5化为顶点式”导入，衔接y=ax²的平移规律，搭建从基础形式到复杂形式的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于配方法步骤明确（提、配、理）培养运算能力，平移规律双方法演示发展几何直观，桥梁实例渗透模型意识。归纳表格对比性质，助力学生系统掌握，提升教师教学效率与学生问题解决能力。

5.2 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的图象与性质 1.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 导入新课 你能把y＝2x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式吗？ y=2（x−1）2+3​ 你能画出y＝2x2－4x＋5的图象，并说出它的性质吗？ 顶点(-3,0) 顶点(-3，) 顶点(0,0) 向左平移3个单位 y=2x2 y=2(x+3)2 向下平移个单位 想一想：由二次函数y=2x²的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流. 平移方法1 向左平移3个单位 向下平移个单位 顶点(0,) 顶点(-3，) 顶点(0,0) y=2x2 向下平移个单位 向左平移3个单位 平移方法2 向下平移个单位 向左平移3个单位 y=2x2 配方的步骤 y＝2x2－4x＋5 ＝2(x2－2x)＋5 ＝2(x2－2x＋1－1)＋5 ＝2(x2－2x＋1)－2＋5 ＝2(x－1)2＋3 提，提出二次项系数； 配，加上括号内一次项系数一半的平方，使括号内前三项成为一个完全平方式．为了等式成立，注意再将此项减去； 理，整理得出结果． 用五点定位法列表画图 x －1 0 1 2 3 y 11 5 3 5 11 描点、连线． 列表： y＝2(x－1)2＋3 议一议：二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？ 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关. y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 向上 直线x=h （h，k） 向下 直线x=h （h，k） 二次函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的关系 y=ax2(a≠0) y=a(x-h)2+k（a≠0） 平移规律简记为： 上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 顶点(0，0) 顶点(h，k) 顶点式 【归纳】函数的性质： y＝2(x－1)2＋3 (1)函数开口向上，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值3； (2)x＞1时，y随x的增大而增大； (3)x＜1时，y随x的增大而减小． 解决二次函数y＝ax2＋bx＋c问题的关键是将其化为 y＝a(x－h)2＋k的形式． 例2 若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A．y=(x+2)2+2　　　　　 B．y=(x+2)2-2 C．y=(x-2)2+2　　　　　 D．y=(x-2)2-2 B 探究新知 求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标。 探 究1 【方法指导】将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式。 因此，二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)。 解：y＝2x2－8x＋7 ＝2(x2－4x)＋7 ＝2(x2－4x＋4)－8＋7 ＝2(x－2)2－1 提取二次项系数 配方 顶点式 二次函数 y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h （h,k） 当x=h时，ymin=k 当x=h时，ymax=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小； 例3 对于抛物线y=-(x+1)2+3，下列结论： ① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1； ③ 顶点坐标为(-1，3)；④ x>1 时，y随x的增大而减小. 其中正确结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 分析：①∵ a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x=-1，错误； ③顶点坐标为（-1，3），正确； ④x>1 时，y 随x 的增大而减小，正确. 综上所述，结论正确的是①③④，共3 个，故选C. 探 究2 求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标。 解：把二次函数y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得 y＝ax2＋bx＋c ＝a(x2＋x)＋c ＝a[x2＋2·x＋() 2－()2]＋c ＝a(x＋)2＋ 因此：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)。 填空： （1）x2＋6x＋ ＝（x＋ ）²； （2）x2－x＋ ＝（x－ ）²； （3）x2－5x＋8＝（x－ ）²＋ ． 我们已经认识了形如y=a(x-h)²+k的二次函数的图象和性质，二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质如何呢？ 你能研究二次函数y=2x²-8x+7的图象和性质吗？ 9 3 y = 2x2－8x+7 一般式 y = 2(x－2)2－1 顶点式 因此，二次函数y=2x2－8x+7的图象是一条开口向上的抛物线； 二次函数y=2x2－8x+7的对称轴是直线=2；顶点坐标为(2,-1). 配方 说一说：如何由二次函数y=2x2的图象平移得到y=2x2-8x+7的图象? 向右平移2个单位 y=2x2 y=2(x-2)2 向下平移1个单位 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 顶点坐标 (－，)  对称轴 x＝－ 开口 方向 向上 向下 归纳总结 增减性 x＞－时，y随x的增大而增大；x＜－时，y随x的增大而减小。 x＞－时，y随x的增大而减小； x＜－时，y随x的增大而增大。 最值 x＝－时，函数取得最小值 x＝－时，函数取得最大值 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y=3x2-6x+7； (2) y=2x2-12x+8； 解：(1) y = 3x2－6x+7 = 3(x2－2x)+7 = 3(x2－2x+1)－3+7 = 3(x－1)2+4 = 3(x2－2x+1-1)+7 (2) y = 2x2－12x+8 = 2(x2－6x)+8 = 2(x2－6x+9)－18+8 = 2(x－3)2－10 = 2(x2－6x+9-9)+8 ∴二次函数y=3x2－6x+7的对称轴是直线=1，顶点坐标为(1,4). ∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴是直线=3，顶点坐标为(3,-10). 配方的步骤： ①“提”：提出二次项系数； ②“配”：括号内配成完全平方； ③“化”：化成顶点式. 想一想：你能把二次函数的一般式y=ax²+bx+c化为y=a(x-h)²+k的形式吗？ ☀方法归纳 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的应用 探 究3 中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣。如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其表达式为y＝ax2，并利用计算机软件模拟水面情况。已知桥拱与抛物线 y＝－x2＋x－4的形状相同。 (1)a的值为________。 (2)当水面的宽度AB为10 m时，求桥拱顶点到水面的高度OC。 (3)若水面下降1 m，水面宽度增加多少？ (4)你是如何计算的，与同伴交流。 分析：(1)根据二次函数的性质即可得答案； (2)令x＝5解出方程即可得到答案； (3)令y＝－3解出方程即可得到答案。 y O x （a>0） y O x （a<0） 最小值 最大值 议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 顶点坐标为（） 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 关于直线=对称 坐标（,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大. 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小. (＜0) 开口向下，越大开口越小 应用举例 A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜时，y随x的增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0 【例】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是 ( ) D 【解析】由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，A项正确； 由图象可知对称轴为x＝ ，B项正确； 因为a＞0，图象的对称轴为x＝ ，所以， 当x＜ 时，y随x的增大而减小，C项正确； 由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，D项错误，故本选项符合题意． 顶点坐标： 对称轴： y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) （,） 直线 $