5.1　认识二次函数课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念、表达式、定义及求值，以果园增种苹果树问题导入新课，引导学生从实际情境中分析数量关系并列出函数关系式，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架，衔接后续二次函数定义的探究。 其亮点在于以实际问题为载体，如药品降价、长方形面积等实例，通过例题与变式训练强化定义判断和系数分析，体现用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考数量关系、用数学语言表达函数模型。例如例1列利润增长关系式，例2判断二次函数类型，培养学生抽象能力与模型意识，助力教师高效落实概念教学，提升学生应用能力。

第五章　二次函数 1　认识二次函数 　 1 某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果.根据经验估计，每多 种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果 总个数为y（个），你能写出y与x之间的关系式吗？ 　 　根据实际问题列函数关系式 （1）理解题意：找出实际问题中的已知量和① （自变量、因变 量），将文字或图形语言转化为② 语言； （2）分析关系：找到已知量和③ 之间的关系，列出④ ⁠关 系式； （3）列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子 替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 变量 数学 变量 等量 　 【例1】（根据教材第129页尝试•思考改编） （1）（2024春•龙岗区校级月考）某公司今年4月的利润为20万元，预计5～6 月利润将持续增长.如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月 的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是 ⁠. （2）长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为 y cm2，则这样的长方形中y与x之间的关系式是 ⁠. （3）已知两数的和为4，设其中一个数为x，这两个数的积为y，y与x之间 的关系式是 ⁠. y＝20x2＋40x＋20 y＝－x2＋12x y＝－x2＋4x 　 （1）在2025年国家医保药品目录调整的现场谈判环节中，某药 品售价为25元，经过两次“灵魂砍价”，若每次降价的百分率都为x，最终 以y元的价格进入医保药品目录，则y与x之间的关系式为 ⁠. （2）圆的半径是2 cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2，那么y 与x之间的关系式为 ⁠. （3）两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y与x之间的关 系式为 ⁠. y＝25x2－50x＋25 y＝πx2＋4πx y＝x2－2x 　 　二次函数的定义 1. 定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx ＋c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的⑤ 函数. 2. 判断方法：（1）函数关系式是⑥ ；（2）化简后自变量的最高次 数是⑦ ；（3）二次项系数不为0. 3. 结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最 高次数是2；（2）a，b，c是常数，a是⑧ 系数，b是⑨ ⁠ 系数，c是⑩ ⁠. 二次 整式 2 二次项 一次项 常数项 　 【例2】下列函数中，一定是二次函数的有 （填序号）. ①y＝ax2＋bx＋c；②y＝ ；③y＝ －x2； ④y＝（x＋1）2－x2；⑤y＝100－25x2. ③⑤ （2025秋•深圳校级期中）下列各式中，是y关于x的二次函数的 是（　A　）. A. y＝－2x2＋1 B. y＝－3x＋7 C. y＝ D. y＝3x A 　 【例3】 二次函数y＝3x2＋2x－5的二次项系数是 ，一次项系数 是 ，常数项是 ⁠. 二次函数y＝2x2－3x的二次项系数是 ，一次项系数是 ⁠ ，常数项是 ⁠. 3 2 －5 2 －3 0 　 【例4】（2025秋•宝安区校级月考）已知关于x的二次函数y＝ （m＋1）x｜m｜＋1－（m－1）x＋1，求m的值. 解：y＝（m＋1）x｜m｜＋1－（m－1）x＋1是关于x的二次函数，则｜ m｜＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝1. （2025秋•罗湖区校级月考）若y＝（m－2）x｜m｜＋1是关于x 的二次函数，则m＝ ⁠. 解：y＝（m＋1）x｜m｜＋1－（m－1）x＋1是关于x的二次函数， 则｜m｜＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝1. －2 　 　 二次函数求值 若已知自变量的值x＝x0，则将x0代入表达式计算得函数值y0＝a ＋bx0＋ c；若已知函数值y＝y0，则代入表达式得到方程ax2＋bx＋c＝y0，整理为 ax2＋bx＋（c－y0）＝0，通过解一元二次方程求得对应的自变量值，其解 的情况由判别式Δ＝b2－4a（c－y0）决定：若Δ＞0，则有两个不同的解； 若Δ＝0，则有一个解；若Δ＜0，则无实数解. 　 【例5】（根据教材第130页习题5.1第1题改编）一个小球在一个斜坡上由静 止开始向下滚动，它在斜坡上滚动的路程s（单位：m）与时间t（单位：s） 之间的关系是s＝0.2t2. （1）当时间为2 s时，小球在斜坡上滚动的路程是多少？ 解：当t＝2时，s＝0.2×22＝0.8. 答：小球在斜坡上滚动的路程是0.8 m. （2）若斜坡长5 m，则小球何时到达斜坡底部？ 解：当s＝5时，0.2t2＝5，解得t1＝5，t2＝－5. ∵t≥0， ∴t＝5. 答：小球5 s后到达斜坡底部. 　 （根据教材第130页随堂练习第2题改编）长方形的周长为12 cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为y cm2.写出y与x的关系式，并计算当x＝2 cm时长方形的面积. 解：∵长方形的周长为12 cm，其中一边长为x cm， ∴另一边长为（6－x）cm， 面积y＝x（6－x），即y＝－x2＋6x. 当x＝2时，y＝－22＋6×2＝8. 答：y与x的关系式为y＝－x2＋6x；当x＝2 cm时长方形的面积为8 cm2. 　 1. （2025秋•龙华区校级月考）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是 （　A　）. A. y＝2x2－x B. y＝2x＋1 C. y＝ D. y＝ x A 　 2. 关于x的二次函数的表达式是y＝－2x2＋4x＋1，其中二次项系数是 ⁠ ，一次项系数是 ，常数项是 ⁠. 3. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定.经销商 统计某品牌头盔的销售量，7月份售出1 500个，若每月的销售量比上一月份 增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数 表达式是 ⁠. 4. （2025•南山区校级开学）已知二次函数y＝（m－2）x｜m｜－3x＋1，则 m＝ ⁠. －2 4 1 y＝1 500（1＋x）2 －2 　 5. （教材第130页随堂练习第2题）写出等边三角形的面积S与其边长a之间 的关系式，并分别计算当a＝1， ，2时三角形的面积. 解：在等边三角形中，底边上的高为 a， ∴S＝ a2. 当a＝1时，S＝ ； 当a＝ 时，S＝ ×3＝ ； 当a＝2时，S＝ . 　 6. （2024春•福田区期中）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，如图，建筑 队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草 料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽 的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝ x米，则y关于x的函数关系式为 ⁠. y＝x（18－4x） 　 参考答案 【新课导学】 ①变量 ②数学 ③变量 ④等量 【例1】 （1）y＝20x2＋40x＋20 （2）y＝－x2＋12x （3）y＝－x2＋4x 变式训练1　（1）y＝25x2－50x＋25　（2）y＝πx2＋4πx （3）y＝x2－2x ⑤二次 ⑥整式 ⑦2 ⑧二次项 ⑨一次项 ⑩常数项 【例2】 ③⑤ 　 变式训练2　A 【例3】　3　2　－5 变式训练3　2　－3　0 【例4】　解：y＝（m＋1）x｜m｜＋1－（m－1）x＋1是关于x的二次函 数，则｜m｜＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝1. 变式训练4　－2 　 【例5】　解：（1）当t＝2时，s＝0.2×22＝0.8. 答：小球在斜坡上滚动的路程是0.8 m. （2）当s＝5时，0.2t2＝5，解得t1＝5，t2＝－5. ∵t≥0， ∴t＝5. 答：小球5 s后到达斜坡底部. 变式训练5　解：∵长方形的周长为12 cm，其中一边长为x cm， ∴另一边长为（6－x）cm， 面积y＝x（6－x），即y＝－x2＋6x. 当x＝2时，y＝－22＋6×2＝8. 答：y与x的关系式为y＝－x2＋6x；当x＝2 cm时长方形的面积为8 cm2. 　 【随堂小测】 1. A　2.－2　4　1　3.y＝1 500（1＋x）2　4.－2 5. 解：在等边三角形中，底边上的高为 a， ∴S＝ a2. 当a＝1时，S＝ ； 当a＝ 时，S＝ ×3＝ ； 当a＝2时，S＝ . 6. y＝x（18－4x） 　 $