5.3二次函数的应用（课时2）（教学课件）—— 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在几何面积最值问题中的应用，课堂导入先复习二次函数最值的决定因素，再通过直角三角形内矩形面积探究，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接紧密。 其亮点是以实际问题为载体，如矩形在直角三角形、窗户面积等案例，培养学生用数学眼光观察（几何直观）和数学思维思考（推理能力），归纳总结步骤清晰，小结提炼关键方法，助力学生构建模型意识，提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

5.3二次函数的应用 （课时2） 第五章 二次函数 北师大版(2024) Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 1 素养目标 2.能运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值； 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系； 3.能运用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 2 新知导入 二次函数 y=ax2+bx+c 的最值由什么决定？ 二次函数y=ax2+bx+c的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 最小值 最大值 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 3 探究新知 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和 AD 分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB= xm，那么AD边的长度如何表示？ 30 m 40 m A B C D 分析：(1)矩形的面积＝长×宽 (2)相似三角形的对应边成比例 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 4 探究新知 (1)如果设矩形的一边AB= xm，那么AD边的长度如何表示？ 解：设 AD = h， 由图可知 Rt△EDC∽Rt△CBF. 30 m 40 m A B C D E F ∴ ∴ ∴ Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 5 探究新知 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和 AD 分别在两直角边上. (2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 解：矩形的面积 (0＜x＜40) ∴当x=20时，y有最大值，最大值为300 m2. 30 m 40 m A B C D Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 6 探究新知 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎么知道的？ N M 解：设AB=CD=x，作GM⊥EF于点M，MN=AB=x， 在Rt△EGF中， 由 得 GM = 24 ∴当 x = 12 时，y 有最大值 300. (0＜x＜40) ∵DA//EF， ， Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 7 例题练习 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户的面积最大？(结果精确到0.01m)，此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2) 分析：(1)窗户的面积＝矩形＋半圆 (2)矩形的一边长＝半圆的直径 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 8 例题练习 解：根据题意，得 ：7x＋4y＋πx＝15， ∵ x > 0 ，且 ， 设窗户的面积为Sm²，则 ∴当 m 时， 因此，当x约为1.07m时，窗户的面积最大.此时，窗户的面积约为4.02 m2 ∴0<x<1.48. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 9 归纳总结 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 10 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 11 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 12 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 13 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 14 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 15 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 16 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 17 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 18 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 19 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 20 小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 实际问题 数学模型 转化 回归 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 21 谢谢同学们的聆听 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 22 练习1 某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园.如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过 .可用的篱笆总长度为 .把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形 .设 的长为 ，菜园的面积为 . (1)求菜园面积S（单位： ）关于x的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； (2)求菜园面积的最大值. (2)由(1)知， ， 当 时，S有最大值，最大值是 . 解：(1)根据题意得 ，解得 ， ，即 ； 练习2 如图,用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长),设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时,矩形花圈的面积最大？ 解：(1)由题意可知,平行于墙的一边 的长为 米, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , y关于x的函数表达式为 EMBED Equation.DSMT4 ； (2) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , ∴当 时,y取得最大值,此时 , 即当 时,苗圃的面积最大,最大值是 平方米. 解：设 ，围成的花圃面积为 ，则BC长为 ， (1)根据题意，得 ，整理，得 ， 解得 或5，当 时， 不成立，当 时， 成立， 长为5m； 练习3 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. (1)如果要围成面积为 的花圃，求AB的长度. (2)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少 . 解：(2)由题意，得 ， ∵墙的最大可用长度为 ， ， ∵对称轴 ，开口向下，∴当 ，有最大面积的花圃， 即： ，最大面积为： 练习4 如图，利用 的墙角 修建一个梯形 的储料场，已知新建墙 的总长为 ， .设 的长为 ，储料场的面积为 . (1)求y关于x的函数表达式. (2)当 取何值时，储料场的面积为 ？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. (3) ，∵ ， 当 时，y取最大值54. 答：储料场面积的最大值为 . 解：(1)如图，过点A作 的垂线，垂足为E. 四边形 是梯形， . ， ， ， ， ， .∴ ， ， ，即 . (2)令 ，得 ，解得 ， （舍去）. 答：当 取 时，储料场的面积为 . 练习5 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈 和一个边长为1米的正方形狗屋 .设 米. （1）请用含x的代数式表示 的长__________（直接写出结果）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） （3）求出山羊活动范围面积S的最大值. （3） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 又因为 ， ， ， ， 所以，山羊活动范围 面积S的最大值是127平方米. 解：（1）依题意得 ， ， ， ， ； 故答案为： ； （2）依题意得： ， ， ； $