5.4二次函数与一元二次方程 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系、近似根求解及不等式关系，通过“逐点导讲练”流程，先回顾二次函数图象性质，再关联方程根与交点，搭建从函数到方程的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于用表格对比判别式与交点、不等式解集，培养几何直观与抽象能力（数学眼光）。例题如利用对称性求根、分类讨论交点，发展推理意识（数学思维）。图象法求近似根结合列表估算，强化模型意识（数学语言）。课堂小结明确知识等价关系，学生提升直观理解与逻辑推理，教师可高效开展分层教学。

4 二次函数与一元二次方程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数与一元二次方程的关系 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 知1－讲 感悟新知 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 1 1. 二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，反之亦然。 2. 二次函数的图象与x 轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 感悟新知 知1－讲 b2-4ac 的值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方 程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根 x= 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有实数根 感悟新知 知1－讲 二次函数 y=ax2+ bx+c(a ≠ 0) 的图象 a>0 a<0 感悟新知 知1－讲 抛物线与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (-，0) 没有交点 感悟新知 拓宽视野 已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值y=m，求自变量x的值。一元二次方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的公共点的横坐标。 知1－讲 知1－练 感悟新知 二次函数y=x2-6x+n的图象如图5-4-1，若关于x的一 元二次方程x2-6x+n=0 的一个根x1=1，则另一个根 x2= ________。 例1 思路导引： 知1－练 感悟新知 解：由图象知抛物线与x 轴的一个交点为(1，0)。 由题意知抛物线的对称轴为直线 x=-=3。 ∴抛物线与x轴的另一个交点是(5，0)。 ∴方程的另一个根 x2=5。 可用一元二次方程根与系数的关系进行验证。 答案：5 知1－练 感悟新知 1-1. 已知二次函数y=x2+x-m 的图象与x轴的一个交点的横坐标为-2， 则关于x 的一元二次方程x2+x-m=0的解是 ______________。 x1＝－2，x2＝1 知1－练 感悟新知 抛物线 y=x2-4x-m2+1(m是常数)与坐标轴交点的个数为( ) A. 0 B. 1 或 2 C. 2 或 3 D. 3 例2 思路导引： 知1－练 感悟新知 解： 令y ＝ x2-4x-m2+1 ＝ 0， 则Δ ＝(-4)2-4×1×(-m2+1)= 4m2+ 12>0，∴抛物线与x 轴有2 个交点。当x=0时，y=-m2+1。若m=±1，则抛物线与y 轴交于原点，此时抛物线与坐标轴有2 个交点；若m≠ ±1，则抛物线与y 轴交于点 (0， -m2+1)，此时抛物线与坐标轴有3 个交点。 答案：C 知1－练 感悟新知 2-1. 已知抛物线y=ax2+bx+c， 则当a>0， c<0 时， 抛物线与x 轴的交点情况是( ) A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定 2-2. [期中·西安碑林区] 抛物线y=3x2-2x+1 与 坐标轴的交点个数是_________。 C 1 知1－练 感悟新知 若将抛物线 y=x2-2x+3 向下平移k个单位长度后与坐标轴仅有两个交点，则k=_______。 例3 思路导引： 知1－练 感悟新知 解：将抛物线y=x2-2x+3 向下平移k 个单位长度后的表达式为y=x2-2x+3-k。∵平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交 点， ∴平移后的抛物线正好经过原点(非顶点)或顶点在x 轴上(非原点)。当平移后的抛物线正好经过原点(非顶点) 时，把(0，0)代入y=x2- 2x+3-k，得 3-k=0，解得k=3； 当平移后的抛物线的顶点在x 轴上(非原点)时，Δ=(-2)2-4(3-k)= 0，解得k=2。综上所述，k=2 或3。 答案：2 或3 知1－练 感悟新知 3-1. 抛物线 y=x2+2x+ m-1 与x 轴有两个不同的交点， 则m 的取值范围是( ) A. m<2 B. m>2 C. 0<m≤ 2 D. m<-2 A 知1－练 感悟新知 3-2.[绵阳中学自主招生] 已知三条抛物线 y1= x2 - x + m ， y2= x2+ 2mx+4，y3=mx2+mx+ m-1 中至少有一条与x 轴相交， 则实数m 的取值范围是( ) A. <m<2 B. m ≤且m ≠ 0 C. m ≥ 2 D. m ≤ 且m ≠ 0 或m≥ 2 D 感悟新知 知2－讲 知识点 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 2 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根。一般步骤如下： (1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象； (2)确定抛物线与x 轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数 之间； 感悟新知 知2－讲 (3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似 根，近似根在对应y 值的正负(或负正)过渡的地方。当x 由x1取到x2时，若对应的y 值出现y1>0，y2<0(或y1<0，y2>0)，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2 |。若|y1|<|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|>|y2|，则x2是方程的近似根。一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到精确根。 感悟新知 知2－讲 特别提醒 (1)当确定出一元二次方程的一个近似根时，可以利用抛物线的对称性确定出另一个近似根。 (2)本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位。 知2－讲 感悟新知 方法点拨 估计一元二次方程的根的其他方法： 对于y=ax2+bx+c(a ≠ 0)，如果ax12+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1 与x2 之间存在一个根， 取x3=。若ax32+bx3+c>0，则取x4=；若ax32+bx3+c<0，则取x4=。这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止。 知2－练 感悟新知 【母题 教材P151随堂练习T1】利用二次函数的图象求一元二次方程x2+x-3=0 的近似根。 例4 解题秘方：画出二次函数 y=x2+x-3 的图象，利用二次函数的图象与 x 轴的交点计算一元二次方程x2+x-3=0 的近似根。 知2－练 感悟新知 解：画出二次函数y=x2+x-3 的图象，如图5-4-2 所示。由图象可知方程有两个根，一个在-3 和-2 之间，另一个在1 和2 之间。 ①先求-3和-2之间的根，利用计算器进行探索： ∴ x=-2.3 是方程的一个近似根。 x -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 y -0.69 -0.36 -0.01 -0.36 知2－练 感悟新知 ②另一个根可以类似地求出： ∴ x=1.3 是方程的另一个近似根。 综上所述，方程的近似根为 x1=-2.3，x2=1.3。 x 1.1 1.2 1.3 1.4 y -0.69 -0.36 -0.01 -0.36 利用抛物线的对称性也可以求出方程的另一个近似根。 知2－练 感悟新知 4-1. 已知函数y=(x+1)2-4，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是__________ ； x＝－1 (－1，－4) 知2－练 感悟新知 (2)画出该二次函数的大致图象； 解：二次函数的大致图象如图所示。 知2－练 感悟新知 (3)利用(2)的图象，直接写出方程(x+1)2-4=2 的近似根。 解：方程(x＋1)2－4＝2的近似根为x1＝－3.4，x2＝1.4。 感悟新知 知3－讲 知识点 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 3 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与一元二次不等式ax2+bx+c>0(a ≠ 0) 及ax2+bx+c<0(a ≠ 0)之间的关系如下： 感悟新知 知3－讲 b2-4ac 的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x<x1 或x>x2 x ≠ x0 全体实数 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 感悟新知 知3－讲 a<0 抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的交点 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x<x1 或x>x2 x ≠ x0 全体实数 知3－讲 感悟新知 特别解读 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象在x轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的x 的取值范围就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集；在x 轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的x 的取值范围就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集。 知3－练 感悟新知 已知二次函数y=x2-4x+3。 例5 解题秘方：画出二次函数的图象，确定图象与 x 轴的交点，进而解方程和不等式。 知3－练 感悟新知 (1)当x取什么值时，y=0 ？ (2)当x取什么值时，y>0 ？ (3)当x取什么值时，y<0 ？ 知3－练 感悟新知 解：如图5-4-3，画出二次函数y=x2-4x+3 的图象。 根据图象可知： (1)当x=1 或x=3 时，y=0； (2)当x<1 或x>3 时，y>0； (3)当1<x<3 时，y<0。 知3－练 感悟新知 5-1.[期中·广州白云区] 如图是二次函数y＝ax2+bx+c 的部分图象， 由图象可知不等式ax2+bx+c ≥ 0 的解集是_________。 －1≤x≤5 二次函数与一元二次方程 等价于 二次函数与一元二次方程 二次函数的图象与x 轴的公共点个数 函数值为0 时的一元二次方程根的个数 一元二次方程的根 图象法 课堂小结 $