5.3二次函数的应用课时3 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，核心内容为利用二次函数解决最大利润问题和抛物线型实际问题。课堂导入通过服装厂批发单价与销量的实例，衔接二次函数表达式与性质，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架，帮助学生建立变量关系。 其亮点在于以真实情境（如服装厂定价、旅馆租金、抛物线形拱桥）培养数学眼光，通过“建立函数关系式、确定自变量范围、求解最值”的结构化步骤发展数学思维，用待定系数法、图象分析等强化模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可依托实例和分层练习优化教学效率。

5.3 二次函数的应用课时3 第五章 二次函数 九上数学北师 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。 2.能够应用二次函数解决最大利润问题和抛物线型实际问题。 学习目标 2 服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5 000件，并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件。 课堂导入 3 知识点1 利用二次函数解决实际问题 问题 服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元。根据市场调查，以26元的单价批发给经销商，经销商愿意购进5 000件，并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件。为了获得最大利润，该服装厂应将批发单价定为多少? 若设厂家将批发单价定为x元。 (1)每件上衣的利润可以表示为 。 (2)销量可以表示为 。 （x-20）元 件 新知讲解 知识点1 利用二次函数解决实际问题 解：设厂家将批发单价定为x元，获得的利润是y元。 由题意，得y=(5 000+×500)(x-20)， 整理，得y=-1 000(x-31)(x-20) =-1 000(x-25.5)²+30 250。 ∵a =-1 000<0，且20<x≤26， ∴当x=25.5时，二次函数有最大值。 因此，厂家将批发单价定为25.5元时可以获利最多。 新知讲解 知识点1 利用二次函数解决实际问题 二次函数解决最大利润问题： 步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式； (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内确定最大利润。 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出。 新知讲解 知识点1 利用二次函数解决实际问题 二次函数解决最大利润问题： 常见的数量关系： 利润=售价-成本， 总利润=每件商品的利润×销量， 利润率=×100%。 新知讲解 某旅馆有客房120间，当每间客房的日租金为160元时，每天都客 满。经市场调查发现，每间客房的日租金增加10元，每天客房出租数就会减少6间。如果不考虑其他因素，那么该旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高?最高总收入是多少? 例1 知识点1 利用二次函数解决实际问题 新知讲解 解：设每间客房的日租金增加10x元，客房日租金的总收入为y元，则每 天客房出租数减少6x间， y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)²+19 440。 ∵x≥0，且120-6x>0， ∴0≤x<20。 当x=2时，y取得最大值，y最大=19 440， 160+10x=160+10×2=180。 因此，每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最 高总收入为19 440元。 知识点1 利用二次函数解决实际问题 新知讲解 问题 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高总产量，但如果多种树，树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 橙子的总产量y(单位：个)与增种橙子树的数量x(单位：棵)之间的关系式为y=(600-5x)(100+x)=-5x²+100x+60 000 知识点1 利用二次函数解决实际问题 新知讲解 x 0 5 6 10 14 15 20 y 60 000 60 375 60 420 60 500 60 420 60 375 60 000 y=-5x²+100x+60 000 (1)在图中画出这个函数的图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 列表、描点、连线，如图所示。 当0≤x<10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加； 当x=10时，橙子的总产量最大； 当10<x≤20时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少。 知识点1 利用二次函数解决实际问题 新知讲解 y=-5x²+100x+60 000 (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上? 由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、 11棵、12棵、13棵或14棵橙子树时，可以使橙子 的总产量在60400个以上。 知识点1 利用二次函数解决实际问题 新知讲解 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m。 例2 (4-4) 知识点1 利用二次函数解决实际问题 解析：如图，建立平面直角坐标系， 则A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2)， 由此可设抛物线的表达式为y=ax²+2， 将点A(-2，0)的坐标代入，得a=-0.5， ∴抛物线的表达式为y=-0.5x²+2。 当y=-2时，-2=-0.5x²+2，解得x=±2， 故水面宽度增加（4-4）m。 新知讲解 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m。 例2 (4-4) 知识点1 利用二次函数解决实际问题 实际生活中有很多问题可以转化为数学中的二次函数问题，如桥洞的形状、跳水运动的轨迹、球类飞行的轨迹、喷头喷出水的轨迹等问题。 新知讲解 知识点1 利用二次函数解决实际问题 二次函数解决抛物线型实际问题： 步骤:①读懂题意，建立适当的平面直角坐标系; ②设出二次函数表达式，结合图形或已知条件，用待定系数法求出二次函数表达式; ③根据二次函数的图象和性质解决问题。 新知讲解 1.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式为y=-4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为(　 　) A.60元 B.70元 C.80元 D.90元 C 随堂练习 2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系 式为y=-x2，当水面离桥拱顶的高度是2m时，这时水面宽度AB为(　　) A.-10m B. -5m C. 5m D. 10m D x y O 随堂练习 3.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半个月内可售出400件。根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。该商店将这种日用商品的销售单价定为多少元时，半个月内获得的利润最大?最大利润是多少? . . 解：设销售单价为x(30≤x<50)元，半月内获得的利润为y元， 根据题意，得y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x²+1 400x-20 000， 当x=-=35时，y最大==4 500。 因此，销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4 500元。 随堂练习 7 x y 5 16 O 4.如图，某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y=ax2+bx-75。 (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元? . . 解：(1)将(5，0)，(7，16)分别代入y=ax2+bx-75, 得 解得 ∴y=-x2+20x-75， ∵a=-1<0，对称轴x=-=10， ∴当x=10时，y值最大，最大值为25。 即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元。 随堂练习 4.如图，某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y=ax2+bx-75。 (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ . . 解：(2)由对称性知y=16时，x=7和13。 故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元。 7 x y 5 16 O 随堂练习 5.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m。 (1)求抛物线的关系式。 . . 解：(1)由题意，得E(0，6)，D(4，2)。 ∵ 点E为顶点， ∴ 可设抛物线的关系式为y＝ax2＋6。 将点D的坐标代入，得16a＋6＝2， 解得a＝－。 ∴ y＝－x2＋6。 随堂练习 5.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m。 (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由。 . . 解： (2)这辆卡车能通过该隧道。理由如下： ∵ 当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2， ∴ 这辆卡车能通过该隧道。 随堂练习 二次函数的应用 解决实际问题 最大利润问题 抽象 数学 构建 二次函 利用二次函数的 问题 数模型 图象和性质求解 抛物线形实际问题 课堂小结 $