精品解析：重庆市荣昌区2025---2026学年第二学期期末 八年级数学试题

荣昌区2025—2026学年度第二学期期末学业质量测试 八年级数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，使用答题卡的必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑；若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回； 6．本卷如没作特殊说明计算结果若有根号保留根号． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡表格中对应的位置． 1. 式子有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若为正整数，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据是：33，36，38，40，41，42，42，50，75，下列各数中，不是这组数据的四分位数的是（ ） A. 37 B. 38 C. 41 D. 46 7. 下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，7，9 C. 5，12，13 D. 6，8，10 8. 下列命题：①平行四边形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③菱形的对角线互相垂直；④正方形的对角线相等且互相垂直．其中是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，正方形中，，点是的中点，连接，将绕点的逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 12. 如图，中，，，，则____________． 13. 已知函数，当时，函数值是____________． 14. 若实数，同时满足，，则的值是____________． 15. 如图，矩形中，边，作等腰直角三角形，，，连接，，若，则线段____________，线段____________． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，其百位数字与个位数字的和为9，我们称这样的三位自然数为“九久数”，例如：三位数643，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字6与个位数字3的和为9，所以643是“九久数”．最小的“九久数”是____________；记．若一个“九久数”使能被7整除，则满足题意的的最大值是____________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18小题每小题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 18. 在学习平行四边形后，小刚同学对平行四边形进行了探究，并与学习同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他提供的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作图． 小刚在中，作了（如图）．请你用尺规完成基本作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：利用全等三角形的知识证明结论． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，． 是的平分线，． ①____________． 在和中， ．． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校开展了关于“我劳动我快乐”劳动知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在C组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.25 99 八年级 84.25 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 21. 综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： （1）如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． （2）【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ （3）【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 22. 如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点从点出发，沿路线以0.5个单位每秒的速度匀速运动，设点运动时间为秒（），线段的长度为，线段的长度为． （1）直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据函数图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，四边形是校园小湖步道．某班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正东方向、点在东北方向，在点处测得点在正西方，点在南偏东方向；第二小组测得米．（参考数据：，，，） （1）计算的长度（计算结果保留到根号形式）； （2）学校购置了两台机器人清扫小湖步道，甲机器人清扫路线是方向，乙机器人清扫路线是方向，已知甲机器人清扫的速度是每分3米，乙的清扫速度是每分2米．两台机器人同时开始工作，多少时间能够相遇？（计算结果保留整数）． 24. 如图，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． （1）求该一次函数的解析式； （2）将正比例函数的图象沿轴向右平移个单位长度得到直线，点对应点为，直线与直线交点为点，轴上有一动点，轴上有一动点，连接，，，当取最小值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，点为直线上一点，若，请直接写出点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． （1）如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； （2）如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣昌区2025—2026学年度第二学期期末学业质量测试 八年级数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，使用答题卡的必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑；若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回； 6．本卷如没作特殊说明计算结果若有根号保留根号． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡表格中对应的位置． 1. 式子有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义需被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 2. 如图，中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3. 已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和、外角和性质，掌握多边形内角和的计算公式（是多边形的边数），多边形的外角和为，正确列式并解方程是解题的关键． 根据多边形的内角和为（是多边形的边数），多边形的外角和为，结合题意列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ∴， 解得，， ∴这个多边形的边数是6， 故选：D ． 4. 若为正整数，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 5. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象大致是． 6. 一组数据是：33，36，38，40，41，42，42，50，75，下列各数中，不是这组数据的四分位数的是（ ） A. 37 B. 38 C. 41 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和四分位数的定义进行解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为，共9个. ∵ 数据个数为奇数， ∴ 第二四分位数（中位数）为第5个数. 求下四分位数： 方法一：个数为奇数时中位数不计入上下半部分， ∴下半部分为前4个数据，上半部分为后4个数据. ∴下四分位数为下半部分的中位数，即 方法二：， ∴下四分位数为第2个数和第3个数的平均数，即为； 求上四分位数： 方法一：上四分位数为上半部分的中位数，即. 方法二：， ∴上四分位数为第6个数第7个数的平均数，即为； 综上可知，不是这组数据四分位数的是． 7. 下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，7，9 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】计算每组数中两较短边的平方和与最长边的平方，判断二者是否相等． 【详解】解：A、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、∵，，，∴，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； C、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、∵，∴，，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 8. 下列命题：①平行四边形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③菱形的对角线互相垂直；④正方形的对角线相等且互相垂直．其中是真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①平行四边形的对角线相等，是假命题． ②矩形的对角线相等，是真命题． ③菱形的对角线互相垂直，是真命题． ④正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题． ∴真命题的个数是3个． 9. 如图，正方形中，，点是的中点，连接，将绕点的逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得到则，根据勾股定理 即可求出． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴ ∵将绕点的逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】①通过作差配方判断A与B的大小关系；②通过配方法求的最小值，结合k为正整数确定最小值；③将分式拆分，根据正整数条件枚举x的取值． 【详解】解：①当时，，， ∵ ， ∴， 即一定成立， 故①正确． ②， ∵， ∴的最小值为， 若的值恒为正数，则，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 故②正确． ③当时，，（）， ∵为正整数，为整数， ∴是的约数，且，的整数约数为， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 综上，符合条件的整数有个，故③错误． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【解析】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的和，分别计算每个差的平方再求和即可． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 12. 如图，中，，，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】在  中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 【详解】 解：∵在  中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ．  13. 已知函数，当时，函数值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入给定的函数解析式，计算即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入，得， 因此当时，函数值为． 14. 若实数，同时满足，，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的定义分和两种情况去掉绝对值符号，解方程组得到符合条件的，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，可得： ，解得：， 由于，不满足，这种情况不成立； 当时，可得： ，解得：， ∴． 15. 如图，矩形中，边，作等腰直角三角形，，，连接，，若，则线段____________，线段____________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过作，分别交于，设，根据勾股定理可得，再利用勾股定理即可求，证，则，，进而可得，再设，利用勾股定理求得，进而可得、及，然后利用勾股定理求即可． 【详解】解：过作，分别交于， 设，又为等腰直角三角形， ，即， 解得，即， 在矩形中，， ， ，且， 四边形为矩形，则， 又 ， 在和中， ， ， ，，则， 设，则，， 又， ，即， 解得，则， ，则， ． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，其百位数字与个位数字的和为9，我们称这样的三位自然数为“九久数”，例如：三位数643，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字6与个位数字3的和为9，所以643是“九久数”．最小的“九久数”是____________；记．若一个“九久数”使能被7整除，则满足题意的的最大值是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“九久数”定义，找最小数时优先让百位最小，再让十位最小得到结果；找最大数时优先让百位最大，从大到小试算，得到符合整除条件的最大数． 【详解】解：求最小的“九久数”， ∵是“九久数”，各位数字互不相等且均不为，满足， ∴要得到最小的三位数，需让百位尽可能小， ∵是百位，不能为，最小取， ∴此时， ∵不能为，也不能与、相等， ∴最小取， ∴最小的“九久数”是； 求满足能被整除的最大， ∵，∴， ∵， ， ∴， 要求能被整除，且要得到最大的，则需让百位尽可能大， ∵， ∴，则最大可取， 当时，，代入得， ∵， ∴需要能被整除， ∵是一位数，且不能与、相等， ∴符合条件的和均与已有数字重复，不符合要求， 当时，，代入得， ∵， ∴需要能被整除，取最大的符合条件的一位数，得，（超出一位数范围舍去）， ∵、、互不相等且均不为，符合要求， ∴满足题意的最大值是． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18小题每小题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法分配律展开，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 在学习平行四边形后，小刚同学对平行四边形进行了探究，并与学习同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他提供的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作图． 小刚在中，作了（如图）．请你用尺规完成基本作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：利用全等三角形的知识证明结论． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，． 是的平分线，． ①____________． 在和中， ．． 【答案】①②③④ 【解析】 【详解】 第一步：作图题中作的平分线，以B点为圆心，任意长为半径作弧交边、分别于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于为半径作弧，交于点P，连接BP，并延长交于点，即可得所求作图形． 第二步：利用全等三角形的知识证明结论． 证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 是的平分线， ． ①． 在和中， ， （）． ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，原式的值为 【解析】 【详解】解： ∵  原式 ． 20. 某校开展了关于“我劳动我快乐”劳动知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在C组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.25 99 八年级 84.25 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）85.5；100；30 （2）八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级， ∴八年级学生的知识竞赛成绩较好； （3）440 【解析】 【分析】（1）分别求出七年级学生竞赛成绩在A、B、C、D各组的人数，即可求出m的值，再根据中位数的定义可得a的值，根据众数的定义求出b的值即可． （2）根据平均数，中位数和众数分析即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得七年级学生竞赛成绩在A组的人数为 人， 在B组的人数为人， 又∵在C组的人数为7人， ∴在D组的人数为人， ∴， ∴； 把这20个数据从大到小排列，位于第10位和第11位的分别为85，86， ∴中位数； ∵八年级20名学生的竞赛成绩中100分出现的次数最多， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有440人． 21. 综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： （1）如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． （2）【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ （3）【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 【答案】（1），，， （2）横向分割：A型矩形70块，B型矩形16块；纵向分割： A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． （3）纵向分割获得的销售额最大，最大销售额是6960元． 【解析】 【分析】（1）根据图4计算即可； （2）根据要求对夏布进行分割，最少浪费布料，即两种矩形的长或宽恰好与夏布的长或宽相等，或最接近，列二元一次方程可求解； （3）根据（2）的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：A型矩形长为，宽为， B型矩形长为，宽为 【小问2详解】 解：横向分割时， 由于两种矩形的长和宽是2倍关系，故只需讨论它们的宽与夏布的宽之间的关系即可， 假设A型矩形x行，B型矩形y行， 则 解得该二元一次方程没有正整数解， 当时，与最接近，即浪费布料最少， 此时A型矩形5行，B型矩形1行， ， ， 即A型矩形70块，B型矩形16块； 纵向分割时，只需讨论它们的长与夏布的长之间的关系即可， 假设A型矩形a列，B型矩形b列， 则 解得或 ， 或， 即A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． 【小问3详解】 解：横向分割时：（元） 纵向分割时：（元） 或（元） 答：纵向分割时获得的销售额最大，最大销售额是元． 22. 如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点从点出发，沿路线以0.5个单位每秒的速度匀速运动，设点运动时间为秒（），线段的长度为，线段的长度为． （1）直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据函数图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）列表如下， 1 2 3 4 5 1 2 3 2 1 0.5 1 1.5 2 2.5 如图所示， 针对函数，当，随x的增大而增大， 针对函数，在中，随x的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差关系，运动路程的数量关系解即可； （2）根据函数解析式作图，结合图象得到性质即可； （3）根据函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设点运动时间为秒（），，动点从点出发，沿路线以1个单位每秒的速度匀速运动， ∴当时，，当时，， ∴； ，点从点出发，沿路线以0.5个单位每秒的速度匀速运动， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：根据函数图象，当时，． 23. 如图，四边形是校园小湖步道．某班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正东方向、点在东北方向，在点处测得点在正西方，点在南偏东方向；第二小组测得米．（参考数据：，，，） （1）计算的长度（计算结果保留到根号形式）； （2）学校购置了两台机器人清扫小湖步道，甲机器人清扫路线是方向，乙机器人清扫路线是方向，已知甲机器人清扫的速度是每分3米，乙的清扫速度是每分2米．两台机器人同时开始工作，多少时间能够相遇？（计算结果保留整数）． 【答案】（1）米 （2）两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，过点D作于点F，结合题意得到四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到米，米，则米，再根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）根据题意得到米，两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇，由此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F，则， ∴四边形是矩形，则， 根据题意，， ∵在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：由（1）可得米， ∴（米）， ∴（米）， 设两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇， ∴， 解得，， ∴两台机器人同时开始工作，分钟能够相遇． 24. 如图，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． （1）求该一次函数的解析式； （2）将正比例函数的图象沿轴向右平移个单位长度得到直线，点对应点为，直线与直线交点为点，轴上有一动点，轴上有一动点，连接，，，当取最小值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，点为直线上一点，若，请直接写出点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）点的坐标为或，求解过程如下： 如图，当点M在点D左侧时，过点D作交于点H，过点D作于点K，过点H作于点J， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴点H的横坐标为，点H的纵坐标为， ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 联立和得， 解得 ∴； 当点M在点D右侧时，，过点D作交于点L，过点D作轴，过点G作于点Q，过点L作于点P ∵，，，轴 ∴， 同理可得， ∴， ∴点L的横坐标为，点L的纵坐标为 ∴ 同理可得，所在直线表达式为 联立和得， 解得 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出直线的解析式，然后求出，联立求出，作点E关于y轴的对称点，作点D关于x轴的对称点连接，，，当点，F，G，四点共线时，取得最小值，最小值为的长度，然后利用勾股定理和待定系数法求解； （3）根据题意分两种情况讨论：当点M在点D左侧时，当点M在点D右侧时，分别构造全等三角形，求出所在直线表达式，然后和直线联立求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴ 设一次函数的解析式为 将，代入得 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵将正比例函数的图象沿轴向右平移个单位长度得到直线 ∴直线的解析式为 ∵点对应点为 ∴将代入得， 解得 ∴ 联立和得， 解得 ∴ 如图，作点E关于y轴的对称点，作点D关于x轴的对称点连接，， 由对称得，，，， ∴ ∴当点，F，G，四点共线时，取得最小值，最小值为的长度 ∴ ∴的最小值为 设所在直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 当时， 解得 ∴； 【小问3详解】 略 25. 菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． （1）如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； （2）如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 如图，连接，，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用菱形的性质求出，然后得到，求出，，进而得到，，，然后利用四边形的面积求解即可； （2）连接，，设与交于点，证明，得到，然后证明，得到，，推出是等边三角形，得到，然后等量代换求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H，证明，得到，然后判断出点M在垂直于的直线上运动，当时，取得最小值，此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I，设，然后求出，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴四边形的面积 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H 由旋转得，，，， ∴，即， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在垂直于的直线上运动， ∴当时，取得最小值． ∵， ∴， ∴此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $