精品解析：重庆市荣昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

荣昌区2024－2025学年度第二学期八年级期末测试 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，使用答题卡的必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑；若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回； 6．本卷如没作特殊说明计算结果若有根号保留根号． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡表格中对应的位置． 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形中，边长为5，则该菱形周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 4. 已知一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 一组数据是：35，42，36，38，40，75，42，50，这组数据的中位数是（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题：①对角线互相垂直的四边形是正方形；②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；③对角线相等的矩形是正方形．其中是真命题的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 9. 如图，矩形中，，的角平分线交于点，连接交于点，过点作交于点，则长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. ______． 12. 如图，中，，，，则______． 13. 一组数据平均数、中位数、众数、方差，这几个统计量中最能反映这组数据的波动程度的是______． 14. 关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是______． 15. 如图，中，，边，过点作于点，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，若点为中点，则线段______，边______． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，其百位数字比个位数字大2，我们称这样的三位自然数为“大二数”，记．比如624，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字6比个位数字4大2，所以624是“大二数”，则______；若一个“大二数”使能被13整除，则满足题意的的最大值与最小值的差是______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18小题每小题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答． （1）如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明：，①______． ，，②______． ，③______． ． 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等． 20. 今年五一，我区推出“千年荣昌，来了就是一家人”为主题的文旅宣传品牌，展示荣昌风采．为促进同学们更深入学习“千年荣昌”历史文化，某校举行了相关知识竞赛，罗老师从甲、乙两个班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．． 甲班10名学生竞赛成绩在C组的数据是：92，94，90． 乙班10名学生竞赛成绩是：86，96，82，96，90，89，86，100，99，96． 甲乙两班抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 92 100 50.4 乙班 92 93 34.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为甲乙哪个班级学生竞赛成绩更优秀？请说明理由（一条理由即可）； （3）若甲班有50人，乙班共45人，两个班所有同学都参加了此次知识竞赛，请估计这两个班此次竞赛的成绩优秀的学生人数是多少？ 21. 夏布是荣昌非遗产品．夏布小镇某夏布营销店最畅销的是A，B两种夏布产品，已知A产品的单价比B产品的单价高30元，经测算，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同． （1）求A，B两种夏布产品的单价分别是多少？ （2）今年“五一”期间，该商店生意爆火，仅A，B两种夏布产品销售额就达到万元．在“五一”假期结束盘点商店货品时发现，这两种产品共售出件．则这个“五一”假期，该店销售了A，B两种夏布产品各多少件？ 22. 如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线运动（点不与点重合），设点运动路程为，面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）在图2中给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据函数图象写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出面积大于2时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，四边形是某公园游览步道．我班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正西方向、点在东北方向，在点处测得点在正东方，点在南偏西方向；第二小组测得米．（参考数据：，） （1）计算的长度； （2）某同学欲从去往处，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 24. 如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1． （1）求该一次函数的解析式； （2）轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点坐标； （3）在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标． 25. 正方形中，点是边上一动点，连接． （1）如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长； （2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌区2024－2025学年度第二学期八年级期末测试 数学试题 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，使用答题卡的必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑；若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回； 6．本卷如没作特殊说明计算结果若有根号保留根号． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡表格中对应的位置． 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可求解． 【详解】解：根据题意有：， ∴， 故选：A． 2. 如图，菱形中，边长为5，则该菱形周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵菱形边长为5， ∴， ∴该菱形周长是． 故选：C 3. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：，即，被开方数含分母2，需化为，故本选项的二次根式不是最简二次根式． 选项B：的被开方数为，无法分解为平方和以外的形式，且无分母，满足最简条件，故本选项的二次根式是最简二次根式． 选项C：的被开方数含分母3，需化为，故本选项的二次根式不是最简二次根式． 选项D：的被开方数含平方因数4，可化简为，故本选项的二次根式不是最简二次根式． 故选：B． 4. 已知一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数图象，熟练掌握k、b的符号与图象的位置关系是解题关键．根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 【详解】解∶∵， ∴该函数图象经过第一、二、四象限， 故选：A 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简原式，再结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 6. 一组数据是：35，42，36，38，40，75，42，50，这组数据的中位数是（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数．根据中位数的定义，将数据从小到大排列后，位于中间位置的数或中间两个数的平均数即为中位数，据此求解即可． 【详解】解：1． 数据排序：将原数据从小到大排列： 原数据：35，42，36，38，40，75，42，50 排序后：35，36，38，40，42，42，50，75 2． 确定数据个数：共有8个数据，为偶数个． 3． 计算中位数： 偶数个数据时，中位数为中间两个数的平均数． 中间两个数为第4个和第5个数，即40和42． 即中位数为：． 因此，这组数据的中位数是41， 故选：D． 7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判定直角三角形的条件，熟练掌握勾股定理和三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理和三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A：设，则，， ∵， ∴，满足勾股定理，能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； B：设，则，， ∴，解得， ∴，，，不是直角三角形，故该选项符合题意； C：由可知，边对角为直角，符合勾股定理，能判定为直角三角形，该选项不符合题意； D：∵， 又∵， ∴， 解得，是直角三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 8. 下列命题：①对角线互相垂直的四边形是正方形；②对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；③对角线相等的矩形是正方形．其中是真命题的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查辨别命题的真假，正方形的判定，根据正方形的判定方法判断即可． 【详解】解：①对角线互相垂直的四边形不一定是正方形．例如，菱形的对角线互相垂直，但菱形不一定是正方形（需同时满足对角线相等）．故①为假命题． ②对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形．若对角线未互相平分，则四边形可能仅为一般四边形，而非正方形．例如，可构造对角线相等且垂直但不对称的四边形．故②为假命题． ③矩形本身对角线相等，但需对角线互相垂直（或邻边相等）才是正方形．普通矩形（长宽不相等）对角线相等但非正方形，故③为假命题． 综上，真命题个数为0． 故选：D． 9. 如图，矩形中，，的角平分线交于点，连接交于点，过点作交于点，则长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由矩形中与平分得到，推出，证明，可得，从而在中，根据勾股定理可求出，．由，，得到，根据相似三角形的性质求出，从而根据即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在矩形中，， ∴在中，，即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D 10. 已知实数，有，，，对于，有以下结论： ①对任意实数，若成立，则； ②当时，的值一定是； ③当时，若为负整数，则整数的值有2个． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． ①将转化为关于的不等式，判断其恒成立的条件； ②代入计算的值； ③当时，将分式化简并分析可能的整数解． 【详解】由得，化简得，即．因此，若对任意成立，则必须满足，结论①正确； 当时，，，，与无关，结论②正确； 当时，分式需为负整数， 由分式值为整数得分母为6的因数，可取，可取， 又分式值为负数，对的值逐个检验，只有，，符合题意，故共2个整数解，结论③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【详解】解：中，，，， ∴． 故答案为：． 13. 一组数据的平均数、中位数、众数、方差，这几个统计量中最能反映这组数据的波动程度的是______． 【答案】方差 【解析】 【分析】本题考查数据的集中与离散，根据平均数、中位数、众数表示一组数据的集中情况，方程表示一组数据的离散程度，进行判断即可． 【详解】解：由题意，最能反映这组数据的波动程度的是方差； 故答案为：方差． 14. 关于的方程有整数解，且使关于的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数的值的和是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数，分别求出不等式组的解集，分式方程的解，根据解集和解的情况求出的取值范围，确定整数的值，求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程有整数解， ∴为整数，且， ∴， ∴， 解，得：， ∵使关于的不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 15. 如图，中，，边，过点作于点，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，若点为中点，则线段______，边______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度的角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理求出的长，作交的延长线于点，证明，得到，，在中，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴； ∴； 故答案为：，． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，其百位数字比个位数字大2，我们称这样的三位自然数为“大二数”，记．比如624，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字6比个位数字4大2，所以624是“大二数”，则______；若一个“大二数”使能被13整除，则满足题意的的最大值与最小值的差是______． 【答案】 ①. 38 ②. 596 【解析】 【分析】本题考查新定义，整式加减运算的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键，根据新定义，列出算式进行计算求出即可，设，根据新定义，得到，表示出，根据能被13整除，求出满足题意的最大值和最小值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，； ∵是“大二数”， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵能被13整除，， ∴能被13整除， 当最大时，则：，，此时能被13整除，满足题意， 此时，， 当最小时，则：，此时当时，能被13整除，满足题意， 此时，， ∴； 故答案：38，596． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18小题每小题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，先利用分式的运算法则化简得到化简结果，再把字母的值代入利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 19. 在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答． （1）如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明：，①______． ，，②______． ，③______． ． 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等． 【答案】（1）见解析 （2），，；两腰上的中线，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线的作图等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据垂线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论，再证明．即可证明猜想得到的结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：， ①． ，， ②． ， ③． ． 故答案为：，， 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形两腰上的中线相等． 证明：，，是的中线， ．， ， ． ． 故答案为：两腰上的中线 20. 今年五一，我区推出“千年荣昌，来了就是一家人”为主题的文旅宣传品牌，展示荣昌风采．为促进同学们更深入学习“千年荣昌”历史文化，某校举行了相关知识竞赛，罗老师从甲、乙两个班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．． 甲班10名学生竞赛成绩在C组的数据是：92，94，90． 乙班10名学生竞赛成绩：86，96，82，96，90，89，86，100，99，96． 甲乙两班抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 92 100 50.4 乙班 92 93 34.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为甲乙哪个班级学生竞赛成绩更优秀？请说明理由（一条理由即可）； （3）若甲班有50人，乙班共45人，两个班所有同学都参加了此次知识竞赛，请估计这两个班此次竞赛的成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1）10，96，93 （2）乙班学生竞赛成绩更优秀，理由见解析 （3）估计这两个班此次竞赛的成绩优秀的学生人数是62人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可，求出所占的比例，进而求出所占的比例求出的值即可； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，甲班类成绩所占的比例为， ∴， ∴； 乙班数据中出现次数最多的是96，故； 甲班中数据排序后第5个和第6个数据分别为：和， 故； 故答案为：10，96，93； 【小问2详解】 乙班学生竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个班的平均成绩相同，但是乙班的方差小于甲班的方差，成绩更稳定，故乙班学生竞赛成绩更优秀； 【小问3详解】 （人）； 答：估计这两个班此次竞赛的成绩优秀的学生人数是62人． 21. 夏布是荣昌非遗产品．夏布小镇某夏布营销店最畅销的是A，B两种夏布产品，已知A产品的单价比B产品的单价高30元，经测算，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同． （1）求A，B两种夏布产品的单价分别是多少？ （2）今年“五一”期间，该商店生意爆火，仅A，B两种夏布产品销售额就达到万元．在“五一”假期结束盘点商店货品时发现，这两种产品共售出件．则这个“五一”假期，该店销售了A，B两种夏布产品各多少件？ 【答案】（1）A种夏布产品的单价是元，则B种夏布产品的单价是元； （2）销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，准确列出方程是关键． （1）设A种夏布产品的单价是x元，则B种夏布产品的单价是元，用600元购买A产品的数量与用480元购买B产品的数量相同，据此列方程并解方程和检验即可得到答案； （2）设销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件，A，B两种夏布产品销售额就达到万元，据此列出方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：设A种夏布产品的单价是x元，则B种夏布产品的单价是元， 则 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意； ∴ 答：A种夏布产品的单价是元，则B种夏布产品的单价是元； 【小问2详解】 设销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件， 则 解得， 则 答：销售了A种夏布产品件，则销售了B种夏布产品件． 22. 如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线运动（点不与点重合），设点运动路程为，面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）在图2中给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据函数图象写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出面积大于2时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）分两种情况分别求出函数解析式即可解答； （2）根据（1）中函数关系式，画出函数图象即可，根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，； 【小问2详解】 解：y与x的函数图象如图所示， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：令，； 令，． ∴当时，面积大于2． 23. 如图，四边形是某公园游览步道．我班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正西方向、点在东北方向，在点处测得点在正东方，点在南偏西方向；第二小组测得米．（参考数据：，） （1）计算的长度； （2）某同学欲从去往处，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 【答案】（1）的长度为米 （2）线路①的路程较短 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）作于点，作于点，则：，，在中求出长，在中求出的长即可； （2）求出两条路径的长，进行比较判断即可． 【小问1详解】 解：作于点，作于点，由题意，可得：，，， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 答：的长度为米； 【小问2详解】 由①知：， ∴， 选择线路①的路程为：米； 选择路线②的路程为：米； ∵， 故选择线路①的路程较短． 24. 如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1． （1）求该一次函数的解析式； （2）轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，一次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作关于轴的对称点，连接，得到，进而得到当在线段上时，取的最小值，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （3）求出点坐标，进而得到，得到，平移得到新的函数解析式，进而得到，的坐标，取直线上一点作，且，连接，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式与直线的解析式，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为1，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 作关于轴的对称点， 则：， ∴当在线段上时，取的最小值， ∵，， 同（1）法可得，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，得到，点对应点为， ∴，当时，， 设，过点作，且，连接，则：， 当点在直线下方时，过点作轴于点，作，交的延长线于点， 则：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， ∵， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得：， ∴； 当点在直线上方时，同法可得：，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 25. 正方形中，点是边上一动点，连接． （1）如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长； （2）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）1或 【解析】 【分析】（1）作于点H，则是等腰直角三角形，是含30度角的直角三角形，结合即可求解； （2）延长至点N，使，连接，证明，进而得出，，再证，可得； （3）设正方形边长为a，，则，分两种情况：当时，作于O，作交的延长线于点P，连接，得到矩形， 由等腰三角形的性质可得，进而可得，再证，推出，进而可得 的值；当时，作交的延长线于点Q，连接，同理可证，则，，可得，进而可得 的值． 【小问1详解】 解：如图，作于点H， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 即正方形的边长为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长至点N，使，连接， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设正方形边长为a，，则， 分两种情况： 当时，作于O，作交延长线于点P，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 由旋转知，， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ， ； 当时，作交的延长线于点Q，连接， 同理可证， ，， ， ， ． 综上可知，的值为1或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$