5.3 二次函数的应用 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形面积最值中的应用，通过广告公司设计矩形广告牌的实际情境导入，衔接二次函数性质，以直角三角形内矩形面积探究为支架，引导学生逐步掌握问题解决方法。 其亮点在于用真实情境培养数学眼光，通过相似三角形推理（如△CBE∽△FAE）发展数学思维，归纳“四步法”强化模型意识。帮助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源，有效落实重难点。

2026-2027学年北师大版数学九年级上册 5.3 二次函数的应用 第2课时 几何图形面积问题 1.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 2.弄清面积问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 学习目标 现在一个广告公司接到了一笔业务，需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌，公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，你能否设计出令公司满意的广告牌？ 导入新课 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，点C在斜边上. 设矩形的一边AB=x m. (1)AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,当x取什么值时,y的值最大？最大值是多少? （2）用x表示出面积y，借助二次函数即可求出y的最大值. x 分析：（1）由图形易得△CBE△FAE，进而得到对应边成比例，进而可用x表示AD的长度. 探究新知 解：（1）∵ BC∥AD， ∴ ∠CBE＝∠FAE＝90°. 又∵ ∠E＝∠E， ∴ △CBE∽△FAE． x ∴ ＝． 又∵ EA＝40，AB＝x，EB＝40-x， ∴＝． ∴ BC＝． ∴ AD＝BC＝． 探究新知 探究1 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。 (1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？ 30 m 40 m F C D B E A 解:(1)由图易证△FDC∽△FAE ∴ ∴ ∴ 30 m 40 m F C D B E A ∵<0， 结论：有两边在三角形的两直角边上时，矩形的最大面积为300 m2，是在AB＝20 m时取得的． (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （2）由题意可得 ∴ ∴当x=20时，y最大，y最大＝300. 议一议：在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 分析：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决. x F G E N M 解：过E作EN⊥GF交AD与M，则GF=50,EN=24, MN=AB=x. ∵ AD∥BC， ∴ ∠EAD＝∠EFG. 又∵ ∠DEA＝∠GEF=90°， ∴ △EAD∽△EFG． ∴ ＝,即∴＝． ∴ AD＝． （2）y= = ∴当x为12m时，y有值最大，最大值仍然是300m2. 【探究2】如果我们将这个问题再进行变式： 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上。 (1)设矩形的一边BC＝x m， 那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？ 30 m 40 m C D B M N O A 解：过点O作OH⊥MN，易得△OAD∽△OMN，MN＝50 m，OH＝24 m，　　　　　　　　 30 m 40 m C D B M N O A H ∴＝，　　　　　　　　　　　 化简得AB＝24－x。 ∴y＝x(24－x)＝－(x－25)2＋300。　 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 2.求出函数解析式和自变量的取值范围； 3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4.检验结果的合理性：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 应用举例 【例1】某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多? 此时，窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) 正确识图，所有黑线之和应为7x＋4y＋πx＝15，可求y与x的关系式是y＝。 解：∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝。 ∵0＜x＜15，且0＜＜15， ∴0＜x＜1.48。 设窗户的面积是S m2, 则 因此，当x约为1.07时，窗户的面积最大.此时，窗户的面积约为4.02 m2. . ∴当时，S取得最大值， 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，设EB＝BF＝GD＝DH＝x，则四边形EFGH的最大面积为____。 2 【解析】四边形EFGH的面积可以用矩形面积减去4个三角形的面积来求。设四边形EFGH的面积为S，则S＝S矩形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CGF－S△DGH＝3×1－(1－x)(3－x)－x2－(1－x)(3－x)－x2＝－2(x－1)2＋2。∵－2＜0，∴当x＝1时，S有最大值，为2。 D D 1.某中学计划用20 m的围栏靠墙围成一个如图所示的矩形花园ABCD，设AB＝x m，矩形的面积为S m²， S的最大值是（ ） A.20 m² B.30 m² C.40 m² D.50 m² 2.用长为8m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为(　　) A. m2 B. m2 C.m2 D.4 m2 课堂小练 3.周长为16 cm的矩形的最大面积为　 cm2.  16 30 20 75 4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是　　　m, 　　　 m.  5.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为 m2. 随堂练习 6. 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，那么问题的结果会怎样？你是怎么得到的？ 解：∵AD=xm，DC∥AB， ∴ ， ∴DC=AB= 40- x ， 30 m 40 m F C D B E A ∴y=AD·AB=x （ 40- x ） (0＜x＜30) ∴当x=15时， y有最大值300. = - （x-15）²+300 30 m 40 m F C D B E A 建立函数关系式 二次函数的应用（2） 依据图形的面积公式建立函数关系式 1.需保证线段长度>0； 2.结合题目限制自变量区间. 确定自变量的取值范围 确定最大(小)面积 利用配方法或公式求最大(小)值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 $