专题2.2 分式的加法和减法（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦分式的加法和减法核心知识点，系统梳理同分母分式加减（分母不变分子加减）、通分（化异分母为同分母）、最简公分母（各分母因式最高次幂的积）、异分母分式加减（先通分再加减）的递进关系，构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型系统归纳（10类，含实际应用、新定义问题），例题与变式结合，通过“友好分式组”“阶分式”等实例培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升分式运算与问题解决能力。

专题2.2 分式的加法和减法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 同分母分式的加减】 2 【题型2 通分】 2 【题型3 最简公分母】 3 【题型4 异分母分式的加减】 3 【题型5 整式与分式的加减】 3 【题型6 分式的加减混合运算】 4 【题型7 已知分式恒等式确定分子或分母】 4 【题型8 利用分式的加减比较大小】 4 【题型9 分式加减的实际应用】 4 【题型10 与分式加减有关的新定义问题】 5 考点1 分式的加减 知识点1 同分母分式的加减 同分母分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 知识点2 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 知识点3 异分母分式的加减 异分母分式的加减：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 备注：异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母（这样的公分母称为最简公分母），利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式（这个过程叫作通分），然后再相加（减）． 【题型1 同分母分式的加减】 【例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）化简：__________． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【题型2 通分】 【例2】分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【变式2-1】（2026八年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式2-2】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)． (2) 【题型3 最简公分母】 【例3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）分式与分式的最简公分母是______． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是______． 【题型4 异分母分式的加减】 【例4】（2026·山西·中考真题）计算的结果是_____． 【变式4-1】（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）式子的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】计算：___________． 【题型5 整式与分式的加减】 【例5】（2026·湖北十堰·模拟预测）计算的结果是________． 【变式5-1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】计算：的结果是________． 【变式5-3】化简的结果是(    )． A． B． C． D． 【题型6 分式的加减混合运算】 【例6】（24-25八年级上·北京·期中）化简：． 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算： 【变式6-3】计算：_____． 【题型7 已知分式恒等式确定分子或分母】 【例7】已知，求，的值． 【变式7-1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】为常数，如果，则___________． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则__________． 【题型8 利用分式的加减比较大小】 【例8】已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式8-1】比较与的大小（x是正数）．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【变式8-3】已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【题型9 分式加减的实际应用】 【例9】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式9-1】（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【变式9-2】甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是__________元/，乙所购面粉的平均单价是__________元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为__________元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【变式9-3】（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知：一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成． (1)若甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？ (2)若甲单独做两小时后，乙才加入工程一起合作，此时完成该工程所用的时间与甲、乙两人一起完成这项工程所需要的时间相比是否变短了？请说明理由． 【题型10 与分式加减有关的新定义问题】 【例10】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【变式10-1】（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-3】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 分式的加法和减法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 同分母分式的加减】 2 【题型2 通分】 3 【题型3 最简公分母】 5 【题型4 异分母分式的加减】 6 【题型5 整式与分式的加减】 8 【题型6 分式的加减混合运算】 9 【题型7 已知分式恒等式确定分子或分母】 11 【题型8 利用分式的加减比较大小】 13 【题型9 分式加减的实际应用】 15 【题型10 与分式加减有关的新定义问题】 18 考点1 分式的加减 知识点1 同分母分式的加减 同分母分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 知识点2 分式的通分 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母． 3. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 知识点3 异分母分式的加减 异分母分式的加减：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 备注：异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母（这样的公分母称为最简公分母），利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式（这个过程叫作通分），然后再相加（减）． 【题型1 同分母分式的加减】 【例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【变式1-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）化简：__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 【题型2 通分】 【例2】分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 【变式2-1】（2026八年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【变式2-2】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式通分的知识点，掌握确定最简公分母的方法最关键． （1）（2）根据两个分式的分母能进行因式分解的，先因式分解，找到最简公分母，再将两个分式的分子分母分别乘以相应的整式，把它们化为同分母分式即可． 【详解】（1）解：， ， （2）解：∵，， ∴两个分式的最简公分母是， 则：， ． 【题型3 最简公分母】 【例3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）分式与分式的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的确定规则，取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式最高次幂的乘积作为最简公分母，即可求解本题. 【详解】解：①确定系数部分，两个分式分母的系数分别为和，系数的最小公倍数为； ②确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； ③确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； 将系数与各字母最高次幂相乘，得到最简公分母为. 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，再相乘得到结果． 【详解】三个分母的系数分别为，，，它们的最小公倍数是， 相同字母的最高次幂为，相同字母的最高次幂为， ∴三个分式的最简公分母为． 【变式3-2】的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 【题型4 异分母分式的加减】 【例4】（2026·山西·中考真题）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式． 【详解】解： ． 【变式4-1】（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）式子的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对原式通分化简，结合分式有意义条件和平方的非负性，判断结果的可能取值，即可得到答案． 【详解】解： ∴， ∴式子的值不可能为0 当时，原式值为，B可能； 当时，原式值为，C可能； 当时，原式值为，D可能． 【变式4-3】计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，关键是熟练应用运算法则进行计算；将分母因式分解后通分，合并分子并约分． 【详解】解：原式＝ ， 故答案为：． 【题型5 整式与分式的加减】 【例5】（2026·湖北十堰·模拟预测）计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：原式． 【变式5-1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【变式5-2】计算：的结果是________． 【答案】． 【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案． 【详解】解： = = = 故答案为． 【点睛】本题考查了分式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-3】化简的结果是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】解：原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减法，分式的通分的运用，解答的过程中注意符号的运用及完全平方公式的运用． 【题型6 分式的加减混合运算】 【例6】（24-25八年级上·北京·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【分析】先通分，再计算，最后约分进行计算即可得． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 【变式6-2】计算： 【答案】原式= 【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键. 【变式6-3】计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 【题型7 已知分式恒等式确定分子或分母】 【例7】已知，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的加减法和解方程组，解此题的关键是得出关于、的方程组．先把方程的右边通分变成和方程左边相同的分母，合并后得出关于、的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：， ， ， ，解得， 即，． 【变式7-1】（25-26七年级下·安徽六安·期末）若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 【变式7-2】为常数，如果，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值即可解答． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． ∴． 故答案为：6． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 【题型8 利用分式的加减比较大小】 【例8】已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 【变式8-1】比较与的大小（x是正数）．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较分式大小，将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案，解题的关键在于正确的通分化简． 【详解】解：由题意可知： ∵x是正数， ∴，， ∴ ∴，即， 故选：C． 【变式8-2】若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 【变式8-3】已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题要求用作差法比较两个分式的大小，先计算，通分化简后，根据的取值范围判断差的符号，即可解答． 【详解】∵，，为正数， ∴， ，差的符号由分子 决定 或 -当 时，，， ，，即 ， 当 或 时，， ，即 ， ， 当 时，，， ，，即 ， ， 综上，当 或 时，总有 ． 【题型9 分式加减的实际应用】 【例9】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 【变式9-1】（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 【变式9-2】甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是__________元/，乙所购面粉的平均单价是__________元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为__________元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【分析】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 【变式9-3】（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知：一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成． (1)若甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？ (2)若甲单独做两小时后，乙才加入工程一起合作，此时完成该工程所用的时间与甲、乙两人一起完成这项工程所需要的时间相比是否变短了？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：完成该工程所用的时间不会变短， 理由：甲先做2小时后，完成的工作量为， 则剩余工作量为， ∴剩余工作量由甲乙合作完成，所需时间为， ∴总时间为， ∵，，， ∴， ∴， ∴甲先单独做两小时再合作的总时间，比甲、乙一开始就合作的时间更长，并没有变短. 【分析】（1）根据题意列式，化简即可； （2）先求出现在完成这项工程的时间，然后根据作差法求解即可. 【详解】（1）解：根据题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为， 所以甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为； （2）略 【题型10 与分式加减有关的新定义问题】 【例10】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 【变式10-1】（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 【变式10-2】定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论． 【详解】解：A.∵， ， ∴与不是和谐分式，故A不符合题意； B.∵， ， ∴与不是和谐分式，故B不符合题意； C.∵， ， ∴，故C符合题意； D.， ， ∴与不是和谐分式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则和乘法运算法则． 【变式10-3】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整数值” (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先求出，再+结合题意得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B是互为“和整分式”， “和整数值”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $