2.3 分式的乘法和除法 教案 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

该教案聚焦分式的乘除法法则，通过长方体容器装水、拖拉机耕地的实际问题导入，引导学生列出运算式，再回顾分数乘除法法则，类比构建分式法则的学习支架，衔接新旧知识。 亮点在于以核心素养为导向，情境导入培养数学眼光，从现实抽象问题，探究中类比分数法则到分式，发展推理意识，例题练习提升应用能力。类比迁移的教学方法助学生自主构建知识，既落实素养又提升教师教学效率。

第二章分式 2.3分式的乘法和除法 第2课时 一、教学目标 1.理解分式乘方的运算法则； 2.能熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算； 3.经历乘方法则的探究过程，培养学生的观察、类比、归纳等数学能力； 4.通过乘方以及分式乘、除、乘方混合的运算，使学生感受到数学的严谨，从而体会学习数学的价值. 二、教学重难点 重点：理解分式乘方的运算法则. 难点：能熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 1.如何进行分式的乘除法运算？ 预设：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母.即. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即 2.乘方的意义？ 预设：n个相同的数相乘. a·a ·a · · · ·a=an(n为正整数) n个a 设计意图：通过复习分式乘除运算法则和乘方意义，唤醒学生旧知，为后续学习分式乘方等相关知识奠定基础. 【探究新知】 师生活动：让学生根据乘方的意义做一做，并类比分数的乘方运算，计算分式的乘方，并进行验证. 【做一做】 根据乘方的意义计算下列各式： 预设： 【思考】 类比分数的乘法，你能计算下列各式吗？ 预设：（1） （2） 提问：对比你有什么发现？ 预设：由乘方的意义和分式的乘法法则： 设计意图：借助乘方意义和分式乘法法则计算分式乘方，通过类比分数乘方，让学生探究分式乘方规律，培养运算与归纳能力. 【议一议】 你能说明吗？ 由于多项式的乘法满足交换律和结合律，因此，由分式乘法的定义可以证明：分式的乘法也满足交换律和结合律. 由于分式的乘法满足结合律，因此对于任意正整数n，有 ① 由乘方的意义推导可知 ② 由①式和②式得. 思考：如何进行分式的乘方运算? 【总结】 分式的乘方运算法则为:分式乘方要把分子、分母分别乘方. 一般地，当n是正整数时，有 设计意图：通过思考、议一议等环节，让学生类比分数乘法探究分式乘方计算，经历证明过程，理解法则推导.帮助学生归纳分式乘方法则，培养逻辑推理和抽象概括能力，加深对分式运算的理解. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 计算： 分析：根据分式乘方，分子、分母分别乘方进行计算即可. 解： 注意：分式乘方时，一定要将分式加上括号，并且要将分子、分母分别乘方. 经典例题 例2 计算： 分析：把a-b看成一个整体，按照分式乘方的运算法则进行计算. 解： 注意：分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方. 【归纳】 (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同：正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负； (2)分式乘方时，一定要将分式加上括号，并且要将分子、分母分别乘方； (3)分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方. 教材例题 例3 计算： 分析：先算分式的乘方，再算分式的乘除． 解： 注意：分式混合运算顺序与分数的混合运算顺序一样. 【归纳】 (1)进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，有括号先算括号里的，最后结果应化成最简分式或整式； (2)若分式中含有多项式，应将其看作一个整体，若能因式分解，应结合计算过程分解因式； (3)进行约分化简时，通常使得结果符号尽可能为正(即：底数互为相反数的幂约分化简时，往往对偶次幂进行变号)； (4)对于含负号的分式，奇次方为负，偶次方为正． 设计意图：通过几个例题的练习，帮助学生全面掌握分式的乘方及分式的乘除混合运算，提升运算能力与知识应用能力. 【课堂练习】 自选习题 1.计算：的结果为（ ）. A. b B. a C. 1 D. 答案：B. 2.化简的结果为__________. 答案： 教材练习 3.计算： 解： 4.计算： 解： 自选习题 5.计算下列各式： 解： 6.先化简，再求值： ， 其中a=2，b=1 . 解： 当a=2，b=1时，原式 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章分式 2.3分式的乘法和除法 第1课时 一、教学目标 1.理解并掌握分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2.会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理. 3.经历探索分式的乘除运算法则的过程，培养学生类比的思想方法，提高分析问题，解决问题的能力. 4.通过联系实际探究分式乘除运算法则的过程，培养学生与他人的合作意识. 二、教学重难点 重点：理解并掌握分式的乘除法法则. 难点：会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【情境导入】 教师活动：教师展示问题，引导学生列出算式. 1.一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器的水占容积的时，水的高度是________； 2.大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的________倍. 预设：1.; 2. 上述两式是分式乘法、除法的计算，接下来我们将探究如何将这两式化简！ 设计意图：通过长方体容器装水和拖拉机耕地的实际问题，引出分式乘法、除法运算式子。旨在让学生感受数学与生活联系，激发探究欲，为后续探究分式运算化简做铺垫，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力. 【探究新知】 师生活动：让学生尝试自主做一做，并回顾分数的乘法运算法则. 【做一做】 =_______； (2)=_______； (3)=_______； (4)=_______. 预设：; （2）；（3）；（4）. 【说一说】 分数的乘法运算法则是怎样的? 预设：分数相乘，把分子乘分子，分母乘分母. 注意：能约分的要进行约分，结果保证是最简形式. 设计意图：通过说一说，让学生回顾并巩固已学的异分母分数加减法法则，为后续内容做铺垫. 【思考】 类比分数的乘法，想想下面式子怎么计算？ 预设： 猜一猜：分式的乘法运算法则？ 【抽象】 类似地，规定分式的乘法运算法则为： 分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母. 上述法则可用式子表示为：. 注意：①此运算法则，不局限于分母是否相同；②运算所得的结果，需要化成最简分式． 设计意图：通过“做一做”巩固分数乘法运算，“说一说”回顾法则，再经“思考”“猜一猜”类比分数乘法探究分式乘法,逐步引导学生归纳分式乘法法则，培养类比推理能力，加深对法则的理解与掌握. 【说一说】 分数的除法运算法则是怎样的? 预设： 分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘. 思考：类似于分数的除法，分式的除法法则应是怎样的? 【抽象】 类似地，规定分式的除法运算法则为: 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 上述法则可用式子表示为： 注意：①此运算法则，不局限于分母是否相同，除式的分子； ②把除法转化为乘法，再按照乘法运算法则进行运算． 设计意图：通过回顾分数除法运算法则，引导学生类比思考分式除法法则.让学生经历从熟悉的分数运算到分式运算的迁移过程，培养类比推理能力，帮助学生理解并掌握分式除法运算法则. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 计算： 分析：根据分式相乘，分子乘分子、分母乘分母进行计算即可. 解： 也可以：（先约分再计算） 注意：分式与分式相乘，如果分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式化为最简分式或整式；也可以先约分再计算. 例2 计算： 分析：先按照分式的乘法运算法则运算，分子、分母是多项式时，先分解因式，便于约分. 解： 也可以： 注意：最后的结果一定是最简分式或整式. 【归纳】 (1)两个分式相乘，如果分子或分母是多项式，那么要先对分子或分母因式分解，然后运用分式的乘法法则进行计算； (2)最后计算的结果要通过约去分子、分母的公因式(数)化为最简分式； (3)在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘因式. 例3 计算： 分析：先将除法转化为乘法，再按照乘法法则运算． 解： 注意：在运算过程中，分子分母有公因式，可以先约分再计算. 例4 计算： 分析：先将除法转化为乘法，再按照乘法法则运算． 解： 将除法转化为乘法 分母是多项式，先分解因式 例5 计算： 分析：先对括号里的进行通分计算，再按照除法法则计算即可． 解： 注意：分式的混合运算，有括号的先算括号里的再进行除法运算. 经典例题 例6先化简，再求值： ，其中x=2025. 分析：先对分式进行化简，再代入值求解. 解： 当x=2025时，原式=. 注意：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值. 设计意图：通过几个例题的练习，帮助学生全面掌握分式的乘除法法则，提升运算能力与知识应用能力. 【课堂练习】 教材练习 1.计算： 解： 2.计算： 解： 自选习题 3.计算下列各式： 解： 4.计算下列各式： 5.先化简，再求值：，其中 解： 当a=2，b=1时， 6.先化简，再求值： ，其中x=8，y=11. 解： 当x=8，y=11时，原式= 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $