第19讲 三角函数的概念（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第19讲 三角函数的概念（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：三角函数的概念 知识点02：正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 知识点03：公式一 知识点04：利用同角三角函数的基本关系求值 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由终边或终边上的点求三角函数值 题型02：特殊角的三角函数 题型03：各象限角三角函数值的符号 题型04：已知正(余)弦求余(正)弦 题型05：由条件等式求正、余弦 题型06：sinα±cosα和sinα▪cosα的关系 题型07：已知弦(切)求切(弦) 题型08：正、余弦齐次式的计算 题型09：三角函数的化简、求值--同角三角函数基本关系 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】三角函数的概念 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x， x∈ 注意点： (1)三角函数值是比值，是一个实数． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关． 【例1】已知角的终边经过点，求的值。 解：第一步：确定坐标并计算距离 由题意得： 第二步：根据定义分别求解三角函数值 正弦值： 余弦值： 正切值： 答： 【知识点02】正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 【例2】判定的正负。 解：1. 判定： ，为第三象限角，第三象限正弦值为负，故。 2. 判定： ，为第四象限角，第四象限余弦值为正，故。 3. 判定： 终边与重合，为第三象限角，第三象限正切值为正，故。 答：为负，为正，为正。 【知识点03】公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 即 sinα＋k·2π＝sin α， cosα＋k·2π＝cos α， tanα＋k·2π＝tan α， 其中k∈Z. 【例3】利用公式一求的值。 解：第一步：化简 ，由公式一得： 第二步：化简 ，由公式一得： 答： 【知识点04】利用同角三角函数的基本关系求值 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan α 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 注意点： (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立． (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α∈成立． (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 【例4】已知，且为第二象限角，求的值。 解：第一步：利用平方关系求 由，变形得： 代入： 第二步：根据象限判定符号 为第二象限角，第二象限余弦值为负，故。 第三步：利用商数关系求 答： 【题型01】由终边或终边上的点求三角函数值 【典例1-1】（25-26高一下·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 【变式1-1】（25-26高一下·山东日照·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得. 【变式1-2】（多选）（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为角的终边经过点， ， 所以， ， ， 所以AC错误，BD正确. 【变式1-3】（25-26高一下·广西河池·期中）已知角的终边过，求，和的值． 【答案】；；. 【分析】先求，再根据任意角的三角函数的定义求三角函数值. 【详解】因为， 所以；；. 【题型02】特殊角的三角函数 【典例2-1】（25-26高一下·广西北海·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 【变式2-1】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）已知，则可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，当时，. 【变式2-2】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）计算：______. 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】原式. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·浙江衢州·阶段检测）__________. 【答案】3 【详解】原式 . 【题型03】各象限角三角函数值的符号 【典例3-1】（2025高一上·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义即可解答． 【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【分析】由和可得，求得的范围，继而分类讨论得到所在象限. 【详解】因，由可得, 则为第一象限角，即, 也即. 当时，,即为第一象限角； 当时，，即为第三象限角. 综上，角为第一或第三象限角. 故选：D 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）如果，且，那么角x是第__________象限的角. 【答案】一 【分析】通过三角函数值的符号，直接判断角的象限即可． 【详解】因为，所以同号， 又，所以， 所以角x是第一象限的角， 故答案为：一. 【变式3-3】（多选）（24-25高一下·江西·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先判断角终边所在位置，在判断其三角函数的符号，逐项判断即可. 【详解】因为，为第二象限角，故， 得. 故选：BD 【题型04】已知正(余)弦求余(正)弦 【典例4-1】（25-26高一下·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故. 【变式4-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________. 【答案】/ 【详解】由条件可知，. 【变式4-2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，，则________. 【答案】/ 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 又因为，则. 故答案为：. 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据同角关系即可求解， 【详解】，易知是第一象限角或第四象限角， 则， 当是第一象限角，. 当是第四象限角， 故选：AB 【题型05】由条件等式求正、余弦 【典例5-1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角正弦，余弦关系结合题设可得答案. 【详解】由题得整理可得，注意到，则． 【变式5-1】（25-26高一上·山西忻州·期末）若，，则______.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再代入求值. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，并且，求的值 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，结合求出这两个量的值，即可得解. 【详解】因为，则，， 由已知条件可得，解得， 因此，. 【题型06】sinα±cosα和sinα▪cosα的关系 【典例6-1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知是关于的一元二次方程的两根，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值. 【详解】已知是关于的一元二次方程的两根， 则有， 又由， 得，解得. 故选：B 【变式6-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，则__________. 【答案】 【分析】求的平方，利用计算求解. 【详解】， . 故答案为：. 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为①， 所以，则， 因为，所以，，所以，故A正确； 所以， 所以②，故D正确； 由①②联立可得，，，故B错误； 所以，故C错误． 故选：AD 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方得解； （2）先求的平方，再开方得解. 【详解】（1）将平方得， 解得， 即，即． （2）， ． 【题型07】已知弦(切)求切(弦) 【典例7-1】（25-26高一下·全国·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，由，可得. 则. 【变式7-1】（25-26高一下·江西萍乡·期中）已知是锐角三角形的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为为锐角三角形的一个内角，则，， 由同角三角函数的基本关系得，解得，. 【变式7-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知在第二象限，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解. 【详解】由在第二象限，得， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. （2）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. 【详解】（1）因为是第二象限角， 所以；． （2）或 因为是第三象限角，所以 【题型08】正、余弦齐次式的计算 【典例8-1】（25-26高一下·广西桂林·期末）若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系计算. 【详解】 【变式8-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】根据已知及弦化切得，再应用“1”的代换及齐次式法求函数值. 【详解】由，则， 所以. 【变式8-2】（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知则=____． 【答案】/0.8 【详解】由于则. 【变式8-3】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，且为第二象限角，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得. （2）将所求表达式转化为只含的表达式，从而求得正确答案. 【详解】（1）∵为第二象限角，∴． 又，∴． ∴． （2） ． 【题型09】三角函数的化简、求值--同角三角函数基本关系 【典例9-1】（25-26高一下·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以. . 【变式9-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，则_______ 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，求出，进而求出即可. 【详解】因为，所以， 联立， 解得（负根舍去），则. 故答案为： 【变式9-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简． 【答案】 【分析】切化弦后，结合平方关系化简. 【详解】原式 ． 【变式9-3】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用的展开式，结合已知条件列方程，筛选出符合范围的的值. （2）借助立方和公式将变形，代入与的值计算. （3）先通过完全平方公式求出，再用平方差公式变形，代入相关值求解. 【详解】（1）因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 所以. （2） . （3）. 因为，所以，即为第二象限角. 所以，所以. 知识点01任意角三角函数的概念 1. 标准定义 在平面直角坐标系中，设任意角终边上任意一点（不与原点重合），点到原点的距离： 由此定义三个基础三角函数：、、 2. 核心性质 三角函数值仅由角的终边位置决定，与终边上选取点的远近、位置无关；终边相同的角，三角函数值完全相同。 定义域备注：正切函数，终边落在轴时正切无意义。 知识点02各象限三角函数值的符号规律 1. 符号判定依据 恒为正，因此三角函数符号由坐标正负决定： 符号由纵坐标决定； 符号由横坐标决定； 符号由比值正负决定。 2. 象限符号口诀（必背） 一全正、二正弦、三正切、四余弦 第一象限： 全为正； 第二象限：仅，其余为负； 第三象限：仅，其余为负； 第四象限：仅，其余为负。 知识点03诱导公式一（终边相同角公式） 1. 公式内容 所有相差整数倍的角，终边重合，三角函数值相等： 其中 。 2. 核心作用 将任意大角、负角的三角函数值，化简为范围内的角求值，是三角化简的基础工具。 知识点04同角三角函数的基本关系 1. 平方恒等关系 对任意角恒成立： 常用变形： 2. 商数关系 3. 核心应用场景 ① 知一求二：已知一个三角函数值，结合角的象限求另外两个值； ② 三角式化简、恒等式证明； ③ 结合方程求解三角函数相关参数。 知识点05本节核心思想与解题规范 1. 数形结合思想：依托坐标系、终边位置判断三角函数符号、求值； 2. 化归思想：利用公式一将任意角转化为常见角，简化运算； 3. 分类取舍思想：同角开方求值必须根据象限判定正负，杜绝直接取值。 知识点06高频易错考点总结 1. 忽略正切函数定义域，误用不存在的正切值参与计算； 2. 同角平方关系开方后不判断象限，符号取值错误； 3. 公式一遗漏条件，书写不规范； 4. 混淆三角函数定义，错用对应正、余弦函数； 5. 负角、超大角无法正确利用公式一化简求值。 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 代入，化简得， 又，，所以， 则有，. 2．（25-26高一上·河南·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数值的符号判断角的象限，再由同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】因为，，所以角的终边在第二象限， 所以． 故选：B 3．（25-26高一下·海南海口·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用任意角余弦函数的定义，先计算终边上点到原点的距离，再代入公式求解即可. 【详解】 由题干可知，角终边上的点坐标为，即，， 因此： ， 代入余弦公式得. 4．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的平方关系及商数关系求解即可. 【详解】平方得，即， 所以. 6．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，则， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以． 7．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】D 【详解】由 ，得， 两边平方得：，即，故， 由及，可得， 所以， 联立，解得, 所以 8．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 故. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】，为二、四象限角，且， 又，所以，解得， 当为第二象限角时，， 当为第四象限角时，． 故选：BD 10．（25-26高一下·江西抚州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，为第二象限角，故， 得， 所以A错，B对，C错，D对. 11．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，，则______． 【答案】/ 【详解】因为，，所以，故. 13．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，且为第二象限角，则的值等于________. 【答案】 【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系，得，即可求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. 14．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知为第二象限角，且，则___________． 【答案】 【分析】对等式同时平方求出，然后求出，即可联立方程求出正、余弦值，从而根据同角三角函数商的关系求出正切值. 【详解】同时平方可得，， 因为为第二象限角，所以， ，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边经过点，求． 【答案】. 【分析】根据三角函数的定义求出三角函数值即可. 【详解】由，得 故． 16．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）（1）已知，求的值. （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用齐次式“弦化切”的方法求解； （2）利用同角三角函数的基本关系对等式左侧进行化简证明. 【详解】（1）已知， 所以. （2）证明：. 17．（25-26高一下·河南南阳·期中）（1）已知终边上一点 ，且 ，求的值. （2）已知角的终边过点 ，求的值. 【答案】（1）（2）若，则；若，则． 【分析】（1）利用三角函数定义，由终边上点的坐标表示出，与已知条件联立方程解得，再代入定义式求出； （2）先由点的坐标算出，依据的符号分类讨论以确定角所在的象限和三角函数的正负号，再由定义求出和的值，最后代入给定的线性表达式完成计算. 【详解】（1）由题意知，由三角函数定义得． 又, ，，, 所以． （2）， ①若，则，角是第二象限角， 所以，所以． ②若，则，角是第四象限角，所以． 所以． 综上，若，则；若，则． 18．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， . （2）由得，，解得， 所以与异号，因为，所以，则，， 所以，， ， 所以. 19．（25-26高一上·四川广元·期末）已知是第三象限角，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用弦化切的知识求得，再根据齐次化及弦化切的知识，即可得解； （2）根据平方关系化简，结合角所在象限去绝对值，即可得解. 【详解】（1）由题可知，， 得，得. . （2）， ， 又因为是第三象限角，故， 故 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 三角函数的概念（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：三角函数的概念 知识点02：正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 知识点03：公式一 知识点04：利用同角三角函数的基本关系求值 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由终边或终边上的点求三角函数值 题型02：特殊角的三角函数 题型03：各象限角三角函数值的符号 题型04：已知正(余)弦求余(正)弦 题型05：由条件等式求正、余弦 题型06：sinα±cosα和sinα▪cosα的关系 题型07：已知弦(切)求切(弦) 题型08：正、余弦齐次式的计算 题型09：三角函数的化简、求值--同角三角函数基本关系 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】三角函数的概念 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x， x∈ 注意点： (1)三角函数值是比值，是一个实数． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关． 【例1】已知角的终边经过点，求的值。 【知识点02】正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 【例2】判定的正负。 【知识点03】公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 即 sinα＋k·2π＝sin α， cosα＋k·2π＝cos α， tanα＋k·2π＝tan α， 其中k∈Z. 【例3】利用公式一求的值。 【知识点04】利用同角三角函数的基本关系求值 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan α 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 注意点： (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立． (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α∈成立． (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 【例4】已知，且为第二象限角，求的值。 【题型01】由终边或终边上的点求三角函数值 【典例1-1】（25-26高一下·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，则（     ） A．-3 B．4 C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·山东日照·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【变式1-2】（多选）（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·广西河池·期中）已知角的终边过，求，和的值． 【题型02】特殊角的三角函数 【典例2-1】（25-26高一下·广西北海·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）已知，则可以是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）计算：______. 【变式2-3】（25-26高一上·浙江衢州·阶段检测）__________. 【题型03】各象限角三角函数值的符号 【典例3-1】（2025高一上·河南安阳·专题练习）若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【变式3-2】（24-25高一上·上海·课后作业）如果，且，那么角x是第__________象限的角. 【变式3-3】（多选）（24-25高一下·江西·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型04】已知正(余)弦求余(正)弦 【典例4-1】（25-26高一下·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________. 【变式4-2】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，，则________. 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【题型05】由条件等式求正、余弦 【典例5-1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·山西忻州·期末）若，，则______.（用含的式子表示） 【变式5-2】（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则______． 【变式5-3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，并且，求的值 【题型06】sinα±cosα和sinα▪cosα的关系 【典例6-1】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知是关于的一元二次方程的两根，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，则__________. 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求： (1)； (2)． 【题型07】已知弦(切)求切(弦) 【典例7-1】（25-26高一下·全国·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一下·江西萍乡·期中）已知是锐角三角形的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知在第二象限，则的值为__________. 【变式7-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【题型08】正、余弦齐次式的计算 【典例8-1】（25-26高一下·广西桂林·期末）若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式8-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【变式8-2】（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知则=____． 【变式8-3】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，且为第二象限角，求： (1)的值； (2)的值． 【题型09】三角函数的化简、求值--同角三角函数基本关系 【典例9-1】（25-26高一下·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 【变式9-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，则_______ 【变式9-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简． 【变式9-3】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 知识点01任意角三角函数的概念 1. 标准定义 在平面直角坐标系中，设任意角终边上任意一点（不与原点重合），点到原点的距离： 由此定义三个基础三角函数：、、 2. 核心性质 三角函数值仅由角的终边位置决定，与终边上选取点的远近、位置无关；终边相同的角，三角函数值完全相同。 定义域备注：正切函数，终边落在轴时正切无意义。 知识点02各象限三角函数值的符号规律 1. 符号判定依据 恒为正，因此三角函数符号由坐标正负决定： 符号由纵坐标决定； 符号由横坐标决定； 符号由比值正负决定。 2. 象限符号口诀（必背） 一全正、二正弦、三正切、四余弦 第一象限： 全为正； 第二象限：仅，其余为负； 第三象限：仅，其余为负； 第四象限：仅，其余为负。 知识点03诱导公式一（终边相同角公式） 1. 公式内容 所有相差整数倍的角，终边重合，三角函数值相等： 其中 。 2. 核心作用 将任意大角、负角的三角函数值，化简为范围内的角求值，是三角化简的基础工具。 知识点04同角三角函数的基本关系 1. 平方恒等关系 对任意角恒成立： 常用变形： 2. 商数关系 3. 核心应用场景 ① 知一求二：已知一个三角函数值，结合角的象限求另外两个值； ② 三角式化简、恒等式证明； ③ 结合方程求解三角函数相关参数。 知识点05本节核心思想与解题规范 1. 数形结合思想：依托坐标系、终边位置判断三角函数符号、求值； 2. 化归思想：利用公式一将任意角转化为常见角，简化运算； 3. 分类取舍思想：同角开方求值必须根据象限判定正负，杜绝直接取值。 知识点06高频易错考点总结 1. 忽略正切函数定义域，误用不存在的正切值参与计算； 2. 同角平方关系开方后不判断象限，符号取值错误； 3. 公式一遗漏条件，书写不规范； 4. 混淆三角函数定义，错用对应正、余弦函数； 5. 负角、超大角无法正确利用公式一化简求值。 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·海南海口·期末）已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 6．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若则＝（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．-2 8．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知，则可能是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·江西抚州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，，则______． 13．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，且为第二象限角，则的值等于________. 14．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知为第二象限角，且，则___________． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边经过点，求． 16．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）（1）已知，求的值. （2）证明：. 17．（25-26高一下·河南南阳·期中）（1）已知终边上一点 ，且 ，求的值. （2）已知角的终边过点 ，求的值. 18．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 19．（25-26高一上·四川广元·期末）已知是第三象限角，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $