5.2.2 同角三角函数的基本关系（3知识点+7题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

5.2.2 同角三角函数的基本关系 明确学习目标 课标要求 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 重点难点 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1,即：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系：＝tan α,即：同一个角α正弦、余弦的商等于角α的正切. 2.要点理解 (1)“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． (2)是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 3.已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (3)若已知tan α＝m，则由tan α＝＝m，可得sin α＝mcos α，结合sin2α＋cos2α＝1，求解． (4)注意要根据角的终边所在的象限，判断三角函数值的符号． 知识点2 利用同角三角函数的基本关系化简 1.平方关系的变形：sin2α＋cos2α＝1⇒ 2.商的关系的变形：tan α＝⇒ 3.三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 知识点3 一般恒等式的证明 证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 提升学科能力 题型一 三角函数值的计算 例1．已知是第二象限角，，则等于（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 . 3．在中，若tanA=，则sinA= ，cosA= . 题型二 弦化切齐次式 例2．已知. (1)求； (2)求的值. 跟踪训练2 1．已知角的终边经过点，则（    ）． A．3 B． C． D． 2．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．已知，计算： (1)； (2) 题型三 由条件等式求正余弦 例3．已知，其中为第一象限角，则（    ） A． B． C．1 D．2 跟踪训练3 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，A为第四象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 3．若，且 ，则 . 题型四 利用平方关系求参数 例4．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 跟踪训练4 1．已知，，则实数k的值为 . 2．已知，，其中，则 . 3．已知，且为第二象限角，则m的值为 . 题型五sina·cosa与sina+cosa的关系 例5．若，且是方程的两实根，则的值是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．若是的一个内角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 题型六 三角函数的化简求值 例6．已知 (1)化简；(2)若为第三象限角，且，求，. 跟踪训练6 1．（1）化简： （2）已知，计算 2．化简： (1)； (2). 3．已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 题型七 恒等式的证明 例7．求证： (1)； (2)； (3)． 跟踪训练7 1．求证： (1)； (2). 2．求证： (1)； (2). 3．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 质量检测评价 一、单选题 1．若是第二象限角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 3．求（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 二、多选题 7．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．若，则 ． 11．若为第二象限角，则可化简为 . 12．已知，，且为第二象限角，则m的值为 ， ． 四、解答题 13．已知求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 14．在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 15．求证:. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2 同角三角函数的基本关系 明确学习目标 课标要求 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 重点难点 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 同角三角函数的基本关系 1.同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝1,即：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系：＝tan α,即：同一个角α正弦、余弦的商等于角α的正切. 2.要点理解 (1)“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． (2)是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 3.已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (3)若已知tan α＝m，则由tan α＝＝m，可得sin α＝mcos α，结合sin2α＋cos2α＝1，求解． (4)注意要根据角的终边所在的象限，判断三角函数值的符号． 知识点2 利用同角三角函数的基本关系化简 1.平方关系的变形：sin2α＋cos2α＝1⇒ 2.商的关系的变形：tan α＝⇒ 3.三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 知识点3 一般恒等式的证明 证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 提升学科能力 题型一 三角函数值的计算 例1．已知是第二象限角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由α是第二象限角可得，再由同角三角函数的基本关系，即可得答案. 【详解】任意角的三角函数 ∵，∴， ，是第二象限角∴. 故选：A 跟踪训练1 1．已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合平方关系得到，即可求结果. 【详解】由题设知：，即，且， 所以，而终边在第二或四象限， 所以. 故选：C 2．已知，则 . 【答案】 【解析】由结合条件可得，再由可得解. 【详解】由，可得， 所以， 故答案为：. 3．在中，若tanA=，则sinA= ，cosA= . 【答案】 【分析】先由已知条件判断出解A为锐角，然后利用同角三角函数的平方关系和商数关系，列方程组可求得答案 【详解】由tanA=>0，且角A是的内角，可得0<A<， 又 解得sinA=，cosA=. 故答案为：； 【点睛】此题考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 题型二 弦化切齐次式 例2．已知. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）上下同除，将正余弦化成正切即可计算； （2）借助，将原式化为齐次分式后上下同除，将正余弦化成正切后借助的值即可计算. 【详解】（1），， 解得； （2） . 跟踪训练2 1．已知角的终边经过点，则（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 2．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B． 3．已知，计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分子分母同时除以弦化切，然后代入可得； （2）利用平方关系式将目标式化为齐次式，然后弦化切可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以 题型三 由条件等式求正余弦 例3．已知，其中为第一象限角，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】弦化切得到得到关于的方程，再根据范围解出即可. 【详解】等式，两边同除得或， 因为为第一象限角，则， 所以. 故选：B 跟踪训练3 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】由得：， ， 解得：或， 又，，即，， . 故选：C. 2．已知，A为第四象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过来实现知求，进而可，，则可求. 【详解】 可得， . . 又  A为第四象限角， 又 所以，. 所以. 答案：C. 3．若，且 ，则 . 【答案】 【分析】根据同角平方和关系可解得，进而根据角的范围可得，进而可求. 【详解】因为，所以 即 ，∴解得或 （舍去）． ， ，因此 ． 故答案为： 题型四 利用平方关系求参数 例4．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解. 【详解】由可得或， 由于为第二象限角，所以， 故当时，不符合要求， 则符合要求， 故选：D 跟踪训练4 1．已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 2．已知，，其中，则 . 【答案】 【分析】根据公式和条件求，再结合公式，即可求解. 【详解】由，得， 解得：或， 当时，，，与矛盾，舍去， 当时，，，成立， 所以. 故答案为： 3．已知，且为第二象限角，则m的值为 . 【答案】4 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【详解】由得， ， 或， 又为第二象限角， ，， 把m的值代入检验得，. 故答案为： 题型五sina·cosa与sina+cosa的关系 例5．若，且是方程的两实根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解. 【详解】由于是方程的两实根，所以， 又，所以， 故， 由于，，所以，故，因此，所以， 故选：D 跟踪训练5 1．若是的一个内角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求式子平方后，利用完全平方公式展开，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入，开方即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以， 所以， 则， 故选：A. 2．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件两边平方结合同角关系可求，结合同角关系求. 【详解】因为，所以，， 与异号．而已知，所以，． 因为，所以取． 故选：C. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可得，结合 计算即可. 【详解】，等式两边同时平方， 得，即， 所以， 所以 . 故选：C 题型六 三角函数的化简求值 例6．已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简； （2）利用同角三角函数的基本关系求值计算，注意“符号优先”. 【详解】（1）. （2）∵为第三象限角，∴，， 又因为. 故，. 跟踪训练6 1．（1）化简： （2）已知，计算 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可；（2）利用弦切互化求解即可. 【详解】（1） （2） 2．化简： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角公式的平方关系，结合通分变形，化简即得. （2）利用同角公式化简即得. 【详解】（1）原式. （2）原式. 3．已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1)35 (2) (3) 【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案. （3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案. 【详解】（1）由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. （2）原式 原式 （3）由得. 由可得. 因此. 另解：原方程即，两根为， 由得，于是， 因此. 题型七 恒等式的证明 例7．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 跟踪训练7 1．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论； （2）利用平方关系可证结论. 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 2．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可. 【详解】（1） . 所以原式成立. （2）. 所以原式成立. 3．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【分析】根据同角关系即可化简求解. 【详解】（1）左边==右边，故得证， （2）左边==右边，故得证， （3）左边==右边，故得证， （4）左边==右边，故得证 质量检测评价 一、单选题 1．若是第二象限角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】因为若是第二象限角，且 ， 所以. 故选：D. 2．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【分析】根据角的范围确定三角函数的正负即可求解. 【详解】在中，为钝角，则为锐角，则， 则点在第二象限， 故选：B 3．求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用平方关系化简，结合在第四象限,去绝对值符号即可. 【详解】由， 又，则， 所以. 故选：C 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故选：A 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平方关系，化为齐次式，然后弦化切转化为的代数式，代入求值． 【详解】由题意． 故选：C． 6．若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【解析】已知式平方后可判断为正判断的正负，从而判断三角形形状． 【详解】解：∵，∴， ∵是三角形的一个内角，则， ∴， ∴为钝角，∴这个三角形为钝角三角形. 故选：A． 二、多选题 7．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解. 【详解】因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； 又由， 所以，所以D正确； 联立方程组 ，解得，所以B正确； 由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，对已知等式化简结合同角三角函数的关系可求出，对于B，结合求出，从而可进行判断，对于C，利用平方差公式化简计算，对于D，化简后结合已知条件判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，所以，所以A正确， 对于B，因为，，所以， 因为，所以，， 所以，，所以，所以B错误， 对于C，因为，， 所以 ，所以C正确， 对于D，因为， 所以 ，所以D正确， 故选：ACD 9．下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据同角三角函数平方关系和商数关系直接求解即可. 【详解】对于AB，当时，，，A错误，B正确； 对于CD，由得：，，C错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题 10．若，则 ． 【答案】1 【分析】将两边平方，再根据平方关系可得，则或．再分类讨论，计算可得； 【详解】解：因为，所以． 又，所以，所以或． 当时，，此时有，； 当时，，此时有，．综上，，． 故答案为： 11．若为第二象限角，则可化简为 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系化简即可. 【详解】因为为第二象限角，所以， ， 故答案为： 12．已知，，且为第二象限角，则m的值为 ， ． 【答案】 4 【分析】由同角三角函数的基本关系及角所在象限即可列出方程及不等式求解. 【详解】∵，， ∴， ∴或． ∵为第二象限角， ∴，，∴， ∴，， ∴． 故答案为：4；. 四、解答题 13．已知求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）（2）（3）根据已知可以求出，将各齐次式由弦化切求值即可； 【详解】（1）由题意，则； （2）由（1），； （3）由（1），. 14．在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)时,；时, (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）由为第二象限角得，利用同角三角函数关系式得，代入计算即可. 【详解】（1）因为,,所以， 当时，； 当时，， 综上，时，；时，. （2）因为为第二象限角，所以， 则， 所以 15．求证:. 【答案】证明见解析 【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值. 方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果. 【详解】方法一:左边= = = = = =右边. 方法二:左边 = = = = =     =右边. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$