第03讲 集合的基本运算（知识详解+9典例精讲+课后作业）讲义-2026年暑假新高一预习数学人教A版必修第一册

第03讲 集合的基本运算（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：并集的运算 知识点02：交集的运算 知识点03：全集与补集 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：交集的概念及运算 题型02：并集的概念及运算 题型03：补集的概念及运算 题型04：交并补混合运算 题型05：根据集合运算求参数 题型06：根据并集结果求集合元素个数 题型07：容斥原理的应用 题型08：集合新定义 题型09：利用Venn图求集合 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】并集的运算 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 【例1】已知集合，集合，求。 解：理集合A元素：1、2、3、4 梳理集合B元素：3、4、5、6 合并全部元素，剔除重复元素3、4： 代入并集公式： 【知识点02】交集的运算 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 【例2】已知集合，集合，求。 解：简集合A： 化简集合B： 寻找两个集合公共元素：0、1、2 代入交集公式： 【知识点03】全集与补集 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 【例3】设全集，集合，求，并验证和的结果。 解:列出全集U全部元素：1,2,3,4,5,6,7 剔除集合A中元素：2、4、6 剩余元素构成补集： 验证并集： 验证交集： 【题型01】交集的概念及运算 【典例1-1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则. 【变式1-1】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，， ． 【变式1-2】（25-26高一上·山西晋城·期末）已知集合或，集合，则___________． 【答案】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为或，， 则或, 故答案为： 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的交集： (1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【答案】(1)； (2)； (3); (4) 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答. 【详解】（1）因为A和B的公共元素只有，所以. （2）因为C和D没有公共元素，所以． （3）在数轴上表示出区间E和F，如图， 由图得. （4）联立，解得， 所以. 【题型02】并集的概念及运算 【典例2-1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知， ． 【变式2-1】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，， 所以. 【变式2-2】已知集合，则___________． 【答案】 【分析】利用集合的并集定义计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合，，则______ 【答案】 【分析】求出集合，利用并集的运算求解. 【详解】，， ，. 故答案为：. 【题型03】补集的概念及运算 【典例3-1】（25-26高一上·广东佛山·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据集合的补集运算即可求解. 【详解】由题意得或， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·浙江金华·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知全集，集合，则__________． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可得出答案. 【详解】全集，集合，则， 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知全集，集合，则________（用区间表示）. 【答案】 【分析】利用补集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 【题型04】交并补混合运算 【典例4-1】（25-26高一下·山西运城·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 【变式4-1】（25-26高一下·重庆·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又，所以， 因为全集，所以. 【变式4-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，且，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用补集的意义求得，再结合，可求得的取值范围. 【详解】因为，所以，又， 把集合表示在数轴上为： 由，可得，所以的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【详解】（1）由，，则或， 则，或； （2）由于，则有，解得. 【题型05】根据集合运算求参数 【典例5-1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， . 【变式5-1】（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的并集性质转化为子集关系，再分情况讨论的可能取值，结合元素互异性验证结果即可得解. 【详解】由已知，则，所以的值可能为,或. 由元素互异性可知，， 当时，解得，此时 或，满足题意. 当时，解得，若， 则集合中会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 当时，解得或1，若， 则集合和集合中均会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 因此，实数的值可以为. 故选：ACD. 【变式5-3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【题型06】根据并集结果求集合元素个数 【典例6-1】（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）已知，，则中元素个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．以上都不对 【答案】C 【分析】求得，即可求解. 【详解】， 所以中元素个数为8， 故选：C 【变式6-2】集合各含8个元素，含5个元素，则含有___个元素. 【答案】11 【分析】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案. 【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素， 所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为. 故答案为：. 【变式6-3】若集合，，，则集合中的元素个数是________. 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 【题型07】容斥原理的应用 【典例7-1】（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 【变式7-1】（25-26高一上·陕西西安·期中）某校高一（5）班有50名同学，其中参加科技兴趣小组的有22人，参加演讲兴趣小组的有35人，这两个兴趣小组都参加的有12人，则既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有（   ） A．7人 B．5人 C．4人 D．2人 【答案】B 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】根据容斥原理得既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有： 人. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·新疆·阶段检测）现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为______. 【答案】4 【分析】根据集合的容斥原理求解. 【详解】既是奇函数又是偶函数的函数个数为. 故答案为：4 【变式7-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是______． 【答案】. 【分析】根据容斥原理即可计算. 【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得 ，解得， 即这两项成绩都合格的人数是． 故答案为：. 【题型08】集合新定义 【典例8-1】（25-26高一·全国·寒假作业）定义差集：，若，，则______． 【答案】 【分析】由新定义直接计算即可. 【详解】由新定义得：， 所以， 故答案为： 【变式8-1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题干中所定义集合运算，结合题意可得答案. 【详解】因为，，， 所以，， ，. 故选：AD． 【变式8-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 【变式8-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）对任意，，记，称为集合，的对称差． (1)若为2的倍数，为3的倍数，求； (2)若，，，求，； (3)证明：对任意，，，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义及集合的运算求解； （2）根据新定义，分类讨论即可得解； （3）根据集合的新定义结合交集及并集计算证明. 【详解】（1）因为；，则,， 则； （2）因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则，可得，， 则，所以； （3）设， ； 设， ； 所以. 【题型09】利用Venn图求集合 【典例9-1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 【变式9-1】（多选）（25-26高一上·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 【变式9-2】（25-26高一上·新疆·期中）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为__________. 【答案】 【分析】分析可知，阴影部分区域所表示的集合为，结合集合的运算可得结果. 【详解】因为全集，集合，，则， 由图可知，阴影部分区域所表示的集合为. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高一上·贵州·阶段检测）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 知识点1三大集合运算核心概念对比 从关键词、本质含义、Venn图区域三个维度区分并集、交集、补集，直击做题审题关键点 运算类型 符号 核心关键词 本质含义 Venn图对应区域 并集 或 属于A，或者属于B 两个集合全部覆盖区域 交集 且 属于A，并且属于B 两个集合公共重叠区域 补集 剩余 在全集U中，不属于集合A 全集内除去集合A的剩余区域 知识点02标准运算公式（微软公式原版，直接复用） 1. 并集公式 2. 交集公式 3. 全集与补集公式 全集：研究范围内所有元素构成的集合，记作 补集： 知识点03集合运算全部性质汇总（必考） （一）并集运算性质 （自身并集不变） （并空集等于本身） （交换律，顺序无关） 若，则（子集并入大集合，结果为大集合） （二）交集运算性质 （自身交集不变） （交空集结果为空集） （交换律，顺序无关） 若，则（子集与大集合相交，结果为子集） （三）补集运算性质（高频考点） （补集的补集还原原集合） （全集补集为空，空集补集为全集） （集合与其补集合并为全集） （集合与其补集无公共元素） 知识点04德摩根定律（拓展必考，集合混合运算神器） 适用于并集、交集结合补集的综合题型，考试大题高频使用 口诀记忆：补集分配进去，并变交，交变并 知识点05高频易错点避坑梳理 易错点1：混淆“或”与“且”：并集是或，满足一个条件即可；交集是且，必须同时满足两个条件，审题第一步圈画关键词 易错点2：集合元素互异性：并集运算中重复元素只能保留一次，不可重复书写 易错点3：补集无全集无意义：同一个集合，全集发生变化，补集结果一定会改变，做题必须先找准全集U 易错点4：区间集合运算勿忘端点：数集用数轴求解交并补时，分清实心点（包含）和空心点（不包含） 一、单选题 1．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据并集的概念和运算即可. 【详解】由， 得，共6个元素. 故选：C 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助并集与补集定义即可得. 【详解】由，则， 由，故. 3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先化简全集，再结合集合间的运算求解. 【详解】由题意可知：， 且，所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据补集得出或，再代入检验得出参数. 【详解】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 6．（24-25高一上·广西柳州·阶段检测）定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】C 【分析】由定义运算求出集合，由集合中的元素个数，求真子集个数即可. 【详解】由定义可知，集合中有4个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：C. 7．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 8．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】， 则，，则AB正确. 10．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合是小于的正整数， ，则中元素个数为_____. 【答案】 【分析】首先求解出集合，然后再根据补集的定义进行求解即可. 【详解】已知，， 可得：.故中元素个数为. 故答案为： 13．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 【答案】8 【分析】先求，再根据，列举分析即可． 【详解】，根据，可知，即， 所以共有8种， 所以集合B至多有8个． 故答案为：8． 14．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，集合，求. 【答案】，，或. 【分析】根据交集、并集及补集的定义求解即可. 【详解】 ； 或. 16．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【详解】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【详解】（1）由题意，集合， 当时，集合， 所以，. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为 18．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 19．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：并集的运算 知识点02：交集的运算 知识点03：全集与补集 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：交集的概念及运算 题型02：并集的概念及运算 题型03：补集的概念及运算 题型04：交并补混合运算 题型05：根据集合运算求参数 题型06：根据并集结果求集合元素个数 题型07：容斥原理的应用 题型08：集合新定义 题型09：利用Venn图求集合 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】并集的运算 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 【例1】 【知识点02】交集的运算 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 【例2】已知集合，集合，求。 【知识点03】全集与补集 1．全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 【例3】设全集，集合，求，并验证和的结果。 【题型01】交集的概念及运算 【典例1-1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·山西晋城·期末）已知集合或，集合，则___________． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列每对集合的交集： (1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【题型02】并集的概念及运算 【典例2-1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，集合（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合，则___________． 【变式2-3】（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合，，则______ 【题型03】补集的概念及运算 【典例3-1】（25-26高一上·广东佛山·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（25-26高一上·浙江金华·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知全集，集合，则__________． 【变式3-3】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知全集，集合，则________（用区间表示）. 【题型04】交并补混合运算 【典例4-1】（25-26高一下·山西运城·期中）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·重庆·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知，且，的取值范围是_____． 【变式4-3】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 【题型05】根据集合运算求参数 【典例5-1】（25-26高一下·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【题型06】根据并集结果求集合元素个数 【典例6-1】（24-25高一下·云南·期中）设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【变式6-1】（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）已知，，则中元素个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．以上都不对 【变式6-2】集合各含8个元素，含5个元素，则含有___个元素. 【变式6-3】若集合，，，则集合中的元素个数是________. 【题型07】容斥原理的应用 【典例7-1】（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【变式7-1】（25-26高一上·陕西西安·期中）某校高一（5）班有50名同学，其中参加科技兴趣小组的有22人，参加演讲兴趣小组的有35人，这两个兴趣小组都参加的有12人，则既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有（   ） A．7人 B．5人 C．4人 D．2人 【变式7-2】（25-26高一上·新疆·阶段检测）现有20个函数，其中奇函数的个数为12，偶函数的个数为10，既不是奇函数也不是偶函数的函数个数为2，则既是奇函数又是偶函数的函数个数为______. 【变式7-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是______． 【题型08】集合新定义 【典例8-1】（25-26高一·全国·寒假作业）定义差集：，若，，则______． 【变式8-1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【变式8-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）对任意，，记，称为集合，的对称差． (1)若为2的倍数，为3的倍数，求； (2)若，，，求，； (3)证明：对任意，，，． 【题型09】利用Venn图求集合 【典例9-1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（多选）（25-26高一上·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·新疆·期中）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为__________. 【变式9-3】（24-25高一上·贵州·阶段检测）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 知识点1三大集合运算核心概念对比 从关键词、本质含义、Venn图区域三个维度区分并集、交集、补集，直击做题审题关键点 运算类型 符号 核心关键词 本质含义 Venn图对应区域 并集 或 属于A，或者属于B 两个集合全部覆盖区域 交集 且 属于A，并且属于B 两个集合公共重叠区域 补集 剩余 在全集U中，不属于集合A 全集内除去集合A的剩余区域 知识点02标准运算公式（微软公式原版，直接复用） 1. 并集公式 2. 交集公式 3. 全集与补集公式 全集：研究范围内所有元素构成的集合，记作 补集： 知识点03集合运算全部性质汇总（必考） （一）并集运算性质 （自身并集不变） （并空集等于本身） （交换律，顺序无关） 若，则（子集并入大集合，结果为大集合） （二）交集运算性质 （自身交集不变） （交空集结果为空集） （交换律，顺序无关） 若，则（子集与大集合相交，结果为子集） （三）补集运算性质（高频考点） （补集的补集还原原集合） （全集补集为空，空集补集为全集） （集合与其补集合并为全集） （集合与其补集无公共元素） 知识点04德摩根定律（拓展必考，集合混合运算神器） 适用于并集、交集结合补集的综合题型，考试大题高频使用 口诀记忆：补集分配进去，并变交，交变并 知识点05高频易错点避坑梳理 易错点1：混淆“或”与“且”：并集是或，满足一个条件即可；交集是且，必须同时满足两个条件，审题第一步圈画关键词 易错点2：集合元素互异性：并集运算中重复元素只能保留一次，不可重复书写 易错点3：补集无全集无意义：同一个集合，全集发生变化，补集结果一定会改变，做题必须先找准全集U 易错点4：区间集合运算勿忘端点：数集用数轴求解交并补时，分清实心点（包含）和空心点（不包含） 一、单选题 1．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西柳州·阶段检测）定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 7．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 8．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合是小于的正整数， ，则中元素个数为_____. 13．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 14．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题 15．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，集合，求. 16．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 18．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $