2.4 逆命题和逆定理（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦互逆命题与互逆定理核心知识点，系统梳理命题与逆命题的转化关系，深入探究线段垂直平分线、角平分线性质定理的逆定理，构建从概念理解到几何推理应用的学习支架。 资料通过概念对比表明晰互逆关系，分层题型强化推理训练，随学随练与综合拓展题助力学生用数学思维构建推理链条，规范几何语言表达，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第二章 特殊三角形 2.4 互逆命题与互逆定理 课标要点 1.结合本章知识体系，理解逆命题、逆定理的概念，掌握命题与逆命题、定理与逆定理的相互转化关系，能准确写出任意命题的逆命题。 2.学会判断原命题与逆命题的真假，掌握举反例判断假命题的方法，明确并非所有定理都有逆定理，能区分定理、逆定理、真命题、假命题的概念差异。 3.能结合轴对称相关性质、特殊三角形性质，对命题、逆命题进行真假推理与证明，规范几何语言，完善几何逻辑推理体系。 4.探索并证明线段垂直平分线与角平分线性质定理的逆定理，分清性质与逆定理的双向逻辑关系。 学习重难点 重点： 1.理解逆命题、逆定理的定义，熟练掌握原命题改写逆命题的方法，能准确辨析命题、逆命题、定理、逆定理的关系。 2.能判断原命题与逆命题的真假，熟练运用举反例的方法证明假命题，掌握常见几何命题的真假判定规律。 3.熟练用逆定理完成判定、线段相等、垂直证明。 难点： 1.对条件隐蔽、句式复杂的几何命题，准确提取条件与结论，正确改写逆命题，避免改写遗漏、句式错误。 2.准确区分“逆命题为真”与“原定理有逆定理”的逻辑关系，理解定理不一定存在逆定理的本质原因。 3.结合轴对称性质与命题推理，完成综合性几何说理与证明，整合图形性质与逻辑推理知识，构建严谨的推理链条。 4.综合题型灵活搭配线段垂直平分线与角平分线性质定理逆定理，规范写出完整证明步骤。 知识点 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 特别提醒 1）互逆命题只交换条件和结论，命题真假性互不影响； 2）定理一定是真命题，但它的逆命题不一定是真命题，不一定是逆定理。 随学随练 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 知识点 线段垂直平分线性质定理的逆定理（重点） 1. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。易错提醒 1）必须满足“点到线段两个端点距离相等”，单点距离相等无法判定； 2）不能直接得出直线是垂直平分线，需两点确定一条直线； 3）区分：性质是“垂直平分→距离相等”，逆定理是“距离相等→在垂直平分线上”。 随学随练 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 知识点 角平分线性质定理的逆定理（重点） 1. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 易错提醒 1）必须满足角的内部+到两边垂线段距离相等，缺一不可； 2）距离特指垂线段长度，不是点到边的斜线段长度； 3）区分：性质是“角平分线上→距离相等”，逆定理是“距离相等→在角平分线上”。 随学随练 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 拓展 互逆命题与互逆定理核心概念对比 1.二者为易混淆基础概念，核心区别在于真假性、定理属性，具体对比如下： 对比维度 互逆命题 互逆定理 定义本质 两个命题的条件、结论互相互换，仅为命题结构上的互逆关系 两个定理互为逆关系，是经过证明为真的互逆命题 真假性要求 原命题为真，逆命题可真可假，无强制真假关联 原定理和逆定理必须均为真命题 从属关系 范围更广，所有互逆定理都是互逆命题 是特殊的互逆命题，仅真命题才可成为互逆定理 活学活用 1．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 2．下列命题中，其逆命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 拓展 两大核心逆定理内容与适用范围对比 对比维度 线段垂直平分线性质逆定理 角平分线性质逆定理 定理内容 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 判定依据 点到线段两端点的距离相等 点到角的两条边的距离相等（垂线段距离） 适用范围 平面内任意点与线段的位置关系判定 仅限角的内部的点，外部点不适用该定理 核心作用 判定点在线段垂直平分线上，可用于证明线段垂直、相等关系 判定点在角平分线上，可用于证明角相等、距离相等关系 活学活用 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 2．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 题型 判断是否为命题的逆命题 解题贴士 先明确原命题的题设（条件）和结论，将二者互换得到新命题，再依据“可以判断真假的陈述句为命题”，判定所得语句是否为逆命题。 ▌例1．下列命题的逆命题正确的是（    ）． A．对顶角相等 B．互为相反数的两个数的平方相等 C．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．等边三角形是锐角三角形 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．全等三角形的三条对应边相等 C．在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．对顶角相等 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的各角都等于 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 ▌对点练1-3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的对应角相等 题型 写出命题的逆命题 解题贴士 先把原命题改写为“如果…那么…”标准形式，精准拆分条件与结论，直接互换条件和结论，整理语句通顺即可。 ▌例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）写出“如果，那么”的逆命题．________． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题___________． ▌对点练1-3．命题“如果，那么与互为邻补角”的逆命题是________________________，它是______命题（填“真”或“假”）． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 题型 互逆定理 解题贴士 1）一个定理的逆命题经过证明为真命题，即为原定理的逆定理，二者互为互逆定理； 2）核心判定：原定理、逆命题均为真命题。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 ▌例2．（25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________． ▌对点练1-1．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形 C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边 ▌对点练1-2．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 ▌对点练1-3．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 题型 线段垂直平分线的判定 解题贴士 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线，取两个满足条件的点，即可确定线段垂直平分线。 ▌例1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 ▌对点练1-2．如图，，．直线是线段的垂直平分线吗？ ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 题型 线段垂直平分线的性质与判定综合 解题贴士 先用判定定理证明点在垂直平分线上，再用性质定理得线段相等、垂直平分关系；反复结合等量代换、三角形周长、角度计算、证明。 ▌例1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． ▌例2．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 题型 角平分线的判定 解题贴士 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；距离特指点到边的垂线段长度，据此可判定角平分线。 ▌例1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·福建福州·期末）在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 ▌对点练1-2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． ▌对点练1-4．，直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 题型 角平分线的性质与判定综合 解题贴士 先通过垂线段相等用判定证角平分线，再用性质得新的垂线段相等，结合面积、边长、角度、三角形内心性质综合求解、证明。 ▌例1．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 基础通关 1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）下列 4 个命题中，是真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同位角相等；②如果两个实数相等，则它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 9．（25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果__________________，那么_____________________． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 11．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）请将下面的解答过程补充完整． 在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由． 解：与的位置关系为： ① ，理由如下： （已知） （垂直的定义） 是的角平分线（已知） ② ， ③ （同位角相等，两直线平行） ④ （ ⑤ ） ⑥ 13．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 素养提升 1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 2．（2026·山东聊城·二模）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．两条直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 3．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，已知于点，于点，且，，，则____． 4．（2026·山东临沂·二模）命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 7．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 9．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 2．（2025·广东惠州·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.4 互逆命题与互逆定理 课标要点 1.结合本章知识体系，理解逆命题、逆定理的概念，掌握命题与逆命题、定理与逆定理的相互转化关系，能准确写出任意命题的逆命题。 2.学会判断原命题与逆命题的真假，掌握举反例判断假命题的方法，明确并非所有定理都有逆定理，能区分定理、逆定理、真命题、假命题的概念差异。 3.能结合轴对称相关性质、特殊三角形性质，对命题、逆命题进行真假推理与证明，规范几何语言，完善几何逻辑推理体系。 4.探索并证明线段垂直平分线与角平分线性质定理的逆定理，分清性质与逆定理的双向逻辑关系。 学习重难点 重点： 1.理解逆命题、逆定理的定义，熟练掌握原命题改写逆命题的方法，能准确辨析命题、逆命题、定理、逆定理的关系。 2.能判断原命题与逆命题的真假，熟练运用举反例的方法证明假命题，掌握常见几何命题的真假判定规律。 3.熟练用逆定理完成判定、线段相等、垂直证明。 难点： 1.对条件隐蔽、句式复杂的几何命题，准确提取条件与结论，正确改写逆命题，避免改写遗漏、句式错误。 2.准确区分“逆命题为真”与“原定理有逆定理”的逻辑关系，理解定理不一定存在逆定理的本质原因。 3.结合轴对称性质与命题推理，完成综合性几何说理与证明，整合图形性质与逻辑推理知识，构建严谨的推理链条。 4.综合题型灵活搭配线段垂直平分线与角平分线性质定理逆定理，规范写出完整证明步骤。 知识点 互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题。 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 特别提醒 1）互逆命题只交换条件和结论，命题真假性互不影响； 2）定理一定是真命题，但它的逆命题不一定是真命题，不一定是逆定理。 随学随练 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形． ∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意． B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线． ∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意． C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形． ∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形． ∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意． 选C． 2．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 知识点 线段垂直平分线性质定理的逆定理（重点） 1. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。易错提醒 1）必须满足“点到线段两个端点距离相等”，单点距离相等无法判定； 2）不能直接得出直线是垂直平分线，需两点确定一条直线； 3）区分：性质是“垂直平分→距离相等”，逆定理是“距离相等→在垂直平分线上”。 随学随练 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，的角平分线，相交于点O． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；见详解 (2) 证明：如图， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 知识点 角平分线性质定理的逆定理（重点） 1. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 易错提醒 1）必须满足角的内部+到两边垂线段距离相等，缺一不可； 2）距离特指垂线段长度，不是点到边的斜线段长度； 3）区分：性质是“角平分线上→距离相等”，逆定理是“距离相等→在角平分线上”。 随学随练 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 拓展 互逆命题与互逆定理核心概念对比 1.二者为易混淆基础概念，核心区别在于真假性、定理属性，具体对比如下： 对比维度 互逆命题 互逆定理 定义本质 两个命题的条件、结论互相互换，仅为命题结构上的互逆关系 两个定理互为逆关系，是经过证明为真的互逆命题 真假性要求 原命题为真，逆命题可真可假，无强制真假关联 原定理和逆定理必须均为真命题 从属关系 范围更广，所有互逆定理都是互逆命题 是特殊的互逆命题，仅真命题才可成为互逆定理 活学活用 1．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】B 【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确； C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误； D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．下列命题中，其逆命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识．分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“如果，那么”，错误，为假命题，故A选项不符合题意； B选项的逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B选项不符合题意； C选项的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C选项不符合题意； D选项的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，为真命题，故D选项符合题意； 故选：D． 拓展 两大核心逆定理内容与适用范围对比 对比维度 线段垂直平分线性质逆定理 角平分线性质逆定理 定理内容 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 判定依据 点到线段两端点的距离相等 点到角的两条边的距离相等（垂线段距离） 适用范围 平面内任意点与线段的位置关系判定 仅限角的内部的点，外部点不适用该定理 核心作用 判定点在线段垂直平分线上，可用于证明线段垂直、相等关系 判定点在角平分线上，可用于证明角相等、距离相等关系 活学活用 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】解：点在的平分线上，理由如下： 如图，过点作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上． 【分析】过点作于点，连接，先根据角平分线的性质定理可得，，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：略． 题型 判断是否为命题的逆命题 解题贴士 先明确原命题的题设（条件）和结论，将二者互换得到新命题，再依据“可以判断真假的陈述句为命题”，判定所得语句是否为逆命题。 ▌例1．下列命题的逆命题正确的是（    ）． A．对顶角相等 B．互为相反数的两个数的平方相等 C．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】C 【分析】先交换每个原命题的题设和结论得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：命题A的逆命题为：“相等的角是对顶角”，对顶角是满足特殊位置的两个角，相等的角不一定是对顶角，故逆命题错误； 命题B的逆命题为：“平方相等的两个数互为相反数”，举例，如，但与不是相反数，故逆命题错误； 命题C的逆命题为：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，这是线段垂直平分线的性质定理，故逆命题正确； 命题D的逆命题为：“锐角三角形是等边三角形”，举例，如内角为，，的三角形是锐角三角形，但不是等边三角形，因此逆命题错误． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．全等三角形的三条对应边相等 C．在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查互逆命题，命题真假判断．写出命题的逆命题，先写出各选项中原命题的逆命题，再依据初中数学相关定理判断逆命题是否成立，进而找出逆命题不成立的选项即可． 【详解】解：选项A的原命题为同旁内角互补，两直线平行，其逆命题为两直线平行，同旁内角互补，这是平行线的性质定理，逆命题成立，故A不符合题意； 选项B的原命题为全等三角形的三条对应边相等，其逆命题为三条边对应相等的三角形全等，这是全等判定定理，逆命题成立，故B不符合题意； 选项C的原命题为在角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，其逆命题为在角的内部，到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角平分线的判定定理，逆命题成立，故C不符合题意； 选项D的原命题为对顶角相等，其逆命题为相等的角是对顶角，例如两个直角相等，但它们不一定是对顶角，逆命题不成立，故D符合题意； 故选：D． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．若，则 B．等边三角形的各角都等于 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，实数的性质，平行线的判定，等边三角形的判定，全等三角形的判定，把原命题的结论和题设互换，写出对应命题的逆命题，再根据实数的性质，等边三角形的判定，平行线的判定和全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、逆命题为若，则，取，则，但，即不成立，故逆命题不成立，符合题意； B、逆命题为各角都等于的三角形是等边三角形，逆命题成立，不符合题意； C、逆命题为同位角相等，则两条直线平行，此为平行线的判定定理，逆命题成立，不符合题意； D、逆命题为对应边相等的三角形全等，此为三角形全等的判定，逆命题成立，不符合题意． 故选：A． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的判定与真假判断、全等三角形的判定、平行线的判定和绝对值的定义，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再判断其是否成立． 分别写出各选项命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：A、逆命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等， ∵， ∴， ∴逆命题成立，不符合题意； B、逆命题：同位角相等，两直线平行， ∵平行线判定定理， ∴逆命题成立，不符合题意； C、逆命题：对应边相等的三角形全等， ∵全等判定， ∴逆命题成立，不符合题意； D、逆命题：对应角相等的三角形全等， ∵对应角相等只能证明相似，不一定全等， ∴逆命题不成立，符合题意； 故选D． 题型 写出命题的逆命题 解题贴士 先把原命题改写为“如果…那么…”标准形式，精准拆分条件与结论，直接互换条件和结论，整理语句通顺即可。 ▌例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）写出“如果，那么”的逆命题．________． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可． 【详解】解：原命题的题设是“”，结论是“”，互换后得到逆命题“如果 ，那么 ”． 故答案为：如果 ，那么 ． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题___________． 【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行 【分析】本题考查了写逆命题． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题．原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个条件命题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等”． 【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”， 交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”． 故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行． ▌对点练1-3．命题“如果，那么与互为邻补角”的逆命题是________________________，它是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果与互为邻补角，那么 真 【分析】本题考查逆命题，邻补角的定义，熟悉逆命题和邻补角的定义是解决此题的关键．把原命题的条件和结论互换后，写出逆命题，再根据邻补角的定义，即可判断命题的真假． 【详解】解：逆命题为：如果与互为邻补角，那么，是真命题； 故答案为：如果与互为邻补角，那么，真． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 题型 互逆定理 解题贴士 1）一个定理的逆命题经过证明为真命题，即为原定理的逆定理，二者互为互逆定理； 2）核心判定：原定理、逆命题均为真命题。 ▌例1．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． ▌例2．（25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行(答案不唯一) 【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可． 【详解】解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”， 该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理． ▌对点练1-1．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形 C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假． 分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要求； 选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求； 选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求； 选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求； 故选：C． ▌对点练1-2．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． ▌对点练1-3．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 【详解】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 题型 线段垂直平分线的判定 解题贴士 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线，取两个满足条件的点，即可确定线段垂直平分线。 ▌例1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A ▌对点练1-2．如图，，．直线是线段的垂直平分线吗？ 【答案】直线是线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，判断即可． 【详解】解：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点M在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】略 题型 线段垂直平分线的性质与判定综合 解题贴士 先用判定定理证明点在垂直平分线上，再用性质定理得线段相等、垂直平分关系；反复结合等量代换、三角形周长、角度计算、证明。 ▌例1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． ▌例2．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据作图方式得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，继而根据三角形外角的性质得到，通过证明垂直平分，得到，进而根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图，连接， 根据作图方式可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)解：是， 理由如下：连接，如图所示： ∵直线l垂直平分边，点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）连接，由题意易得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19，， ∴， ∴； （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 ▌对点练1-4．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 题型 角平分线的判定 解题贴士 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；距离特指点到边的垂线段长度，据此可判定角平分线。 ▌例1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． ▌例2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ； ； ； 到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·福建福州·期末）在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． ▌对点练1-4．，直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 题型 角平分线的性质与判定综合 解题贴士 先通过垂线段相等用判定证角平分线，再用性质得新的垂线段相等，结合面积、边长、角度、三角形内心性质综合求解、证明。 ▌例1．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． ▌例2．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 根据题意，无法得到与的大小关系， ∴无法得到和的大小关系，故结论④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【答案】(1) 证明：如图1中， 在和中， ， ， ； (2) 是，理由：如图2中，过点作于，于． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则是的角平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识． （1）根据证明，可得结论； （2）过点作于，于．证明，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 基础通关 1．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 2．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每个内角都是 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断及逆命题的概念，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出逆命题为假的选项． 【详解】解：A选项：原命题的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” ∵根据等角对等边的性质 ∴该逆命题为真命题； B选项：原命题的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形” ∵三角形内角和为，若两锐角互余即和为 ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； C选项：原命题的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形” ∵仅对应角相等只能说明三角形相似，不能保证三边相等（如大小不同的等边三角形） ∴该逆命题为假命题； D选项：原命题的逆命题为“每个内角都是的三角形是等边三角形” ∵三角形三个角均为，根据等角对等边，三边相等 ∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题； 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解： ，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）下列 4 个命题中，是真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同位角相等；②如果两个实数相等，则它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，需结合平行线的性质、绝对值的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定定理，逐一分析命题真假，确定真命题的个数． 【详解】解：①∵两直线平行，同位角相等是平行线的基本性质，∴该命题是真命题． ②∵若两个实数相等，则它们的绝对值一定相等，∴该命题是真命题． ③∵全等三角形的对应角相等是全等三角形的基本性质，∴该命题是真命题． ④∵角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是角平分线的判定定理，∴该命题是真命题． 综上，4个命题均为真命题， 故选：D． 6．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【答案】 若，则 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 9．（25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果__________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)直线是的垂直平分线，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由已知条件利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质和垂线定义可得，再由等腰三角形的判定即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：直线是的垂直平分线，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线． 11．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵点M是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）根据题意得出，再由等边三角形的性质得出，，利用线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）请将下面的解答过程补充完整． 在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由． 解：与的位置关系为： ① ，理由如下： （已知） （垂直的定义） 是的角平分线（已知） ② ， ③ （同位角相等，两直线平行） ④ （ ⑤ ） ⑥ 【答案】；；；；两直线平行，同位角相等；． 【分析】根据垂直的定义得到，由角平分线的定义以及推出，得到，推出，即可求解． 【详解】解：与的位置关系为：，理由如下： （已知） （垂直的定义） 是的角平分线（已知） ， ， ， （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ． 故答案为：；；；；两直线平行，同位角相等；． 13．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 素养提升 1．（25-26八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 2．（2026·山东聊城·二模）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．两条直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】先写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A选项，原命题为“等边三角形是锐角三角形”，逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，锐角三角形不一定是等边三角形，逆命题是假命题． B选项，原命题为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”，逆命题为“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，例如但，逆命题是假命题． C选项，原命题为“两条直线平行，内错角相等”，逆命题为“内错角相等，两条直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题是真命题． D选项，原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形大小不一定相等，不一定全等，逆命题是假命题． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，已知于点，于点，且，，，则____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线定理的判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由题意可得，是的平分线，则，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴是的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 4．（2026·山东临沂·二模）命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据分式有意义的条件判断逆命题的真假即可． 【详解】解：逆命题为：如果，那么， 当，时，分式与无意义，则等式不成立， ∴逆命题是假命题． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 7．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 9．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【答案】（1）． 证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 2．（2025·广东惠州·一模）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 【答案】 【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分） 【任务2】 1、角的性质：筝形有一组对角相等． 2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线． 角的性质证明如下：连接， 在和中， ∵， ∴ ∴． 故筝形有一组对角相等得证． 对角线的性质证明如下：连接，交点为O 在和中， ∵， ∴ ∴，即是的角平分线． 又∵， ∴是的垂直平分线，即 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 任务1：根据定义画出图形即可； 任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可； 【详解】解：【任务1】略 【任务2】 略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $