2.5 逆命题和逆定理 教案2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

第2章 特殊三角形 2.5 逆命题和逆定理   一、教材分析 《逆命题和逆定理》是浙教版八年级上册的内容，是在学生已学习命题、定理等知识基础上的拓展.它衔接了前面的逻辑推理知识，又为后续深入学习几何证明、特殊图形性质与判定等奠定基础，是培养学生罗辑思维和推理能力的关键环节，让学生理解命题的双向性，完善对数学逻辑体系的认知. 教材通过具体命题实例，先引出逆命题概念，对比原命题与逆命题的条件和结论，再延伸到逆定理，清晰呈现命题-逆命题-定理-逆定理”的逻辑链条.借助生活及数学中的命题、定理实例，帮助学生理解概念，同时安排“做一做”“课内练习”等，让学生在实践中巩固，逐步掌握知识应用.  二、教学目标 1.理解逆命题和逆定理的概念，能准确写出命题的逆命题，判断逆命题真假. 2.掌握定理与逆定理的区别与联系，会识别互逆定理，能探索简单定理的逆定理. 3.通过实例探究、合作交流，培养逻辑推理能力和逆向思维，感受数学知识的严谨性与关联性.   三、教学重难点 重点：理解逆命题和逆定理的概念，能准确写出命题的逆命题，判断逆命题真假． 难点：掌握定理与逆定理的区别与联系，会识别互逆定理，能探索简单定理的逆定理.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：什么是命题？命题由什么组成？ 答：对某件事情作出判断的句子叫做命题.命题由条件、结论组成. 问题2：所有的命题都是真命题吗？ 答：命题有真有假，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题. 师生活动：教师提问，学生举手回答问题． 设计意图：关联旧知引入，回顾命题的组成(条件、结论)，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫. · 探究新知 　　活动一：探究逆命题和逆定理的定义 问题：考虑两个命题：“等腰三角形是轴对称图形.”“轴对称图形是等腰三角形.”这两个命题有什么不同?有什么联系?它们都是真命题吗? 师生活动：教师提问，学生自主思考后，同桌交流讨论，尝试表达对两句话条件、结论及正确性的看法. 答：等腰三角形是轴对称图形: 条件：三角形是等腰三角形；结论：它是轴对称图形； 是真命题 轴对称图形是等腰三角形： 条件：三角形是轴对称图形；结论：这个三角形是等腰三角形 是假命题 联系：这两个命题的条件和结论是相反的. 设计意图:以生活中图形相关表述为情境，贴近学生认知，激发好奇心，自然关联命题的条件和结论，为引出逆命题概念做铺垫，让学生初步感受“逆”向表述的特点. 问题：填表并思考：命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？ 师生活动：教师操作:PPT 呈现教材表中的四个命题，引导学生分析.小组内交流，填写表格，明确每个命题的条件和结论，小组内分享发现，理解逆命题是条件和结论互换位置，尝试用自己的话表述逆命题概念，再结合教师总结，准确把握定义。接着，完成教师给出的简单命题写逆命题的练习，初步应用概念. 答： (1)的条件是(2)的结论，(2)的结论是(1)的条件； (3)的条件是(4)的结论，(4)的结论是(3)的条件 . 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 问题：由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？ 每个命题都有它的逆命题，原命题正确，逆命题不一定正确. 原命题错误，逆命题不一定错误 两个命题为互逆命题，它们的真假性没有关系 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理. 设计意图:借助教材表格，让学生自主分析、小组协作，从具体命题中归纳逆命题概念，符合“做中学”理念，提升自主探究和归纳能力. 做一做 1.说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假. (1)长方形有两条对称轴；(2)正数大于零. 答：(1)逆命题：有两条对称轴的图形是长方形.是假命题 (2)逆命题：大于零的数是正数.是真命题 2.说出两对互逆的定理. 答：(1)同旁内角互补，两直线平行. 两直线平行，同旁内角互补. (2) 等腰三角形的两个底角相等. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 设计意图:通过“做一做” 练习，让学生在实践中运用逆命题概念，同桌交流、上台分享，促进思维碰撞，教师引导总结方法，帮助学生突破“逆命题真假判断”的难点，提升逻辑推理能力. 活动二：探究线段垂直平分线性质定理的逆定理 问题：线段的垂直平分线有什么性质？ 答：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 问题：请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题. 师生活动：教师以“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”为例，引导学生找逆命题(到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上)，提问:“怎么证明这个逆命题是真的呀?大家想想，能不能利用全等三角形或者垂直平分线的定义。”简单提示后，让学生尝试梳理证明逻辑，教师补充完善证明过程，强调“只有逆命题为真且是定理，才是逆定理，定理和逆定理互为逆定理”学生倾听教师对逆定理概念的讲解，结合实例理解“逆命题为真且是定理”这一条件.在分析线段垂直平分线定理逆命题证明时，自主思考证明方法，尝试发言，参与证明过程的理，明晰逆定理的严谨性. 答：这个定理的逆命题是： 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以过点P作AB的垂线，然后证明它恰好平分线段AB. 证明：(1)当点P在线段AB上时，结论显然成立. (2)当点P不在线段AB上时，如图所示， 作PC⊥AB于点O. 由PA＝PB，PO⊥AB，可得OA＝OB， 故PC是AB的垂直平分线. 所以点P 在线段AB的垂直平分线上. OA＝OB的原理：等腰三角形三线合一性质 总结：线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： 因为PA=PB 所以点P在AB的垂直平分线上. 设计意图：从逆命题自然过渡到逆定理，结合熟悉的定理实例，降低概念理解难度.通过分析线段垂直平分线定理的逆定理及证明，让学生感受逆定理的形成过程，理解其与原定理的互逆关系，提升逻辑推理的严谨性. · 应用新知 【教材例题】 例1写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由. 解：逆命题是：“ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”这个逆命题是假命题。举反例如下： 如图，在△ABC中，AB≠AC. AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的面积相等，但它们不全等. 所以这个逆命题是假命题. △ABD与△ACD的面积相等，但它们不全等的原因：△ABD和△ACD等底同高所以面积相等，又因为AB≠AC，不满足全等三角形判定条件所以不全等. 总结：说明一个命题是真命题需经证明，而说明一个命题是假命题只需举一个反例. 例2 写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA=45°． 求证：△ABC是直角三角形. 　　证明：因为BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线， 所以∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA， 所以∠OAB+∠OBA=（∠CAB+∠CBA）， 所以180°-∠AOB=（180°-∠C）， 所以∠AOB=90°+∠C 又因为∠EOA=45°， 所以∠AOB=135°=90°+∠C， 所以∠C=90°， 所以△ABC是直角三角形． 师生活动：教师讲解例1、例2的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间，引导学生在操作中思考、总结. · 课堂练习 教材练习 1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假. (1)同位角相等； (2)如果|a|=|b|，那么a=b. 解：(1)原命题是假命题. 逆命题：相等的两个角是同位角.是假命题 (2) 原命题是假命题. 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b| 2.下列定理中，哪些有逆定理?如果有，说出它的逆定理. (1)等腰三角形的两个底角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个角都是60°； (4)对顶角相等. 解：(1)有逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (2)有逆定理：两直线平行，内错角相等. (3)有逆定理：三个角都是60°的三角形是等边三角形 （4）没有逆定理. 3.下列判断是正确的是（　　 ） A．真命题的逆命题是假命题 B．假命题的逆命题是真命题 C．定理逆命题的逆命题是真命题 D．真命题都是定理 分析：A、错误，真命题的逆命题有可能是真命题，也有可能是假命题 B、错误，假命题的逆命题有可能是真命题，也有可能是假命题 C、正确，定理逆命题的逆命题是这个定理 D、错误，经过证明正确的命题叫定理 答：C 4.下列命题中，逆命题不正确的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等腰三角形两腰上的高线长相等 C．全等三角形对应角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 答：C 5.已知命题“如果a=b，那么a2=b2．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 解：(1)条件：a=b； 结论：a2=b2 (2)逆命题：如果a2=b2，那么a=b (3)此命题的逆命题是假命题，例如：当a=2，b=-2时，22=(-2)2，但是2≠-2 6.求证：等腰三角形两底角的平分线相等.根据条件和结论，结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”，并进行证明. 分析：先根据命题写出已知和求证，再利用全等三角形的判定和性质进行证明. 已知：在△ABC中，AB=AC，BD平分ABC，CE平分ACB. 求证：BD=CE. 证明：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB 因为BD平分ABC，CE平分ACB， 所以∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB. 所以∠DBC=∠ECB 在△DBC和△ECB中，, 所以△DBC≌△ECB（ASA）. 所以BD=CE. 所以等腰三角形两底角的平分线相等. 7.求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． (要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明). 已知：如图，AD是不等边三角形ABC的中线. 求证：点B和点E到AD的距离相等. 证明：分别过B点和C点作BE⊥AD于E， CF⊥AD于F ，所以∠BED=∠CFD=90° 因为AD是不等边△ABC的中线 所以BD=CD，又因为∠BDE=∠CDF(对顶角相等) 所以△BDE≌△CDF（AAS） 所以BE=CF ， 所以B点和C点到AD的距离相等. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：基础练习巩固逆命题、逆定理概念及真假判断，同桌检査促进学生互相学习、强化知识.小组讨论互逆定理，提升合作探究能力，让学生在交流中深化对定理互逆关系的理解。 · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.逆命题的定义是什么？关键点是什么？ 3.逆定理的定义是什么？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． · 实践作业：生活命题收集 目标：观察生活，提炼数学命题(如交通灯规则、购物满减)，转化为数学命题后写逆命题，结合实际判断真假，分析生活合理性. 例如：交通规则：“红灯停，绿灯行” —— 数学命题“若信号灯是红灯，则车辆停止；若信号灯是绿灯，则车辆通行”，写出逆命题“若车辆停止，则信号灯是红灯；若车辆通行，则信号灯是绿灯”.分析生活中是否成立(结合实际，存在黄灯等情况，判断逆命题真假). 成果：记最3-5个生活案例，完成命题转化、逆命题构造及真假分析，形成文字报告，说明数学与生活的关联. 学科网（北京）股份有限公司 $