2.4 等腰三角形的判定定理课件2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形判定定理（等角对等边）及等边三角形判定，课堂导入通过观察教室门变化及视频，引导学生从生活现象发现问题，衔接等腰三角形性质，以画图测量、全等证明为支架，构建从性质到判定的知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如开门情境），通过动手探究（画图测量）和逻辑推理（AAS证全等）培养数学思维，结合测量河宽、梯子问题等实例用数学语言表达现实。课堂小结整合判定方法与几何模型，助力学生形成系统认知，教师可借助结构化资源提升教学效率。

浙教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 2.4 等腰三角形的判定定理 第2章　特殊三角形 2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的判定定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 两腰相等 2. 在△ABC中，∠A=∠B=50°，则△ABC的形状是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 3. 下列条件中，不能判定三角形是等腰三角形的是（） A. 有两个内角相等 B. 有两条边相等 C. 三个内角都相等 D. 有一个内角为60° 4. 在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则该三角形一定是（） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 5. 下列说法正确的是（） A. 等角对等边与等边对等角是互逆定理 B. 有一边相等的三角形是等腰三角形 C. 等腰三角形只能用边角关系判定 D. 三个角不等也可能是等腰三角形 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形判定定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么________，简单说成________。 7. 判定一个三角形为等腰三角形有两种方法：一是________，二是________。 8. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，则△ABC________（填“是”或“不是”）等腰三角形。 9. 若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形是________三角形。 10. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的________是等边三角形。 三、解答题（共60分） 11.（18分）根据角度判断三角形形状。 已知△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，求证：△ABC是等腰三角形。 12.（20分）已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD。 要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。 13.（22分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。 参考答案及解析 选择题：1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 解析：本节核心区分性质与判定：等边对等角是性质（已知等腰得角相等），等角对等边是判定（已知角相等得等腰），为高频考点。 填空题：6. 这两个角所对的边相等、等角对等边 7. 两边相等、两角相等 8. 是 9. 等腰 10. 等腰三角形 解析8. ∠C=180°-70°-40°=65°，∠B=∠C，故为等腰三角形。 解答题 11. 证明：∵∠A=50°，∠B=65°（已知），∴∠C=180°-50°-65°=65°。∴∠B=∠C。根据等角对等边，可得AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。 12. 证明：∵BD平分∠ABC（已知），∴∠ABD=∠DBC（角平分线定义）。∵AD∥BC（已知），∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。∴∠ABD=∠ADB。根据等角对等边，∴AB=AD。 13. 证明：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）。∵DE∥BC（已知），∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。∴∠ADE=∠AED。根据等角对等边，AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。 课堂导入 “同学们，观察教室的门（或出示图片），当门打开时，门框和门形成的三角形形状如何变化？在什么情况下，这个三角形看起来两边长度相等？”(观察下面视频) 视频 在开门的过程中，两边长度相等，形成等腰三角形。 如何用数学方法验证一个三角形是等腰三角形？除了测量两边长度，还有其他判定方法吗？ 新知探究 在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点 A。量一量，线段 AB 与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？ B C A AB AC 线段AB与AC 相等 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 新知探究 如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C。求证：△ABC是等腰三角形。 证明：如图所示，作△ABC的角平分线AD。 在△ABD和△ACD中， 因为∠1 = ∠2（角平分线的定义）， ∠B = ∠C（已知），AD = AD（公共边）， 可得△ABD≌△ACD（AAS）， 从而有AB＝AC（全等三角形的对应边相等）， 所以△ABC是等腰三角形。 上述判定定理可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 D 1 2 B 返回 1． 下列条件中能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝3，BC＝7，△ABC的周长为16 中考考法 5 （教材母题）例1一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图 2-25，即测量点 A，B之间的距离。同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点 A 出发，沿着与直线 AB 成 60°角的 AC 方向前进至 C，在 C 处测得∠C＝30°。量出 AC的长，它就是河的宽度（即点 A，B之间的距离）。这个方法正确吗？请说明理由。 典例分析 解：这个方法正确。理由如下： 因为∠CAD＝∠B＋∠C（三角形的外角等于 与它不相邻的两个内角的和）， 而∠B＝∠CAD－∠C＝60°－30°＝30°， 则∠B＝∠C， 所以AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）。 返回 B 2． 如图是一个平板支架及其侧面示意图，若∠ACB＝∠ABC，AB＝12 cm，则AC的长为(　　) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 中考考法 7 变式训练 在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（     ） A .∠ADB=∠ADC B . ∠B=∠C C . BD=CD D . AD平分∠BAC 当∠ADB=∠ADC时， ∵点D在BC上，∴∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD⊥BC，故A选项不符合题意 ∵AB=AC，∴∠B=∠C，不能得到AD⊥BC，故选项B符合 ∵AB=AC。∴当BD=CD或AD平分∠BAC时，AD⊥BC，故选项C、D均不符合题意 B 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，AC于点E，连接BE，如果∠ABE=2∠CBE，那么∠A的度数是_____________． 典例分析 由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，则∠ABC=∠A，再由等边对等角得到∠ABC=∠C，根据已知条件可得∠ABC=∠A，据此根据三角形内角和定义建立方程即可求解 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB，∴∠ABE=∠A, ∵AB=AC，∴∠ABE=2∠CBE ∴∠ABC=∠ABE=∠A ∵∠ABC+∠C+∠A=180° ∴∠A+∠A+∠A=180°∴∠A=45° 45° 变式训练 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，点E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是___________． 由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，由平行线的性质可得∠BME=∠C，因此∠BME=∠B，判定BE=EM，同理CF=MF，得到四边形MEAF的周长等于AB+AC即可 解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C ∵ME∥AC，∴∠BME=∠C ∴∠BME=∠B，∴BE=EM 同理CF=MF，∵AB=AC=5 ∴四边形MEAF的周长为 AE+EM+AF+MF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+5=10 10 新知探究 已知：在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，求证：△ABC是等边三角形（即 AB = BC = CA） 证明：因为 ∠A = ∠B，根据等角对等边，BC = AC。 因为 ∠B = ∠C，根据等角对等边，AC = AB。 因为 ∠A = ∠C，根据等角对等边，AB = BC。 综上，AB = BC = CA，即△ABC的三条边都相等。 在任意三角形中，等角对等边。也就是说，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等。 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 新知探究 已知：等腰三角形ABC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形 证明：①当∠A为底角时，因为△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=60°，则顶角为180°-60°×2=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形。 等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 因为已知 60°的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，所以分两 种情形： ②当∠A为顶角时，因为△ABC是等腰三角形，则底角为（180°-60°）÷2=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形。 典例分析 如图所示，在一个房间内，一把长1.5米的梯子CD斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为75°，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为CE），此时梯子与地面夹角为45°，那么D、E两点间的距离是______米． 解：连接DE ∵∠ACD=75°，∠BCE=45° ∴∠DCE=180°-75°-45°=60° ∵梯子长度不变∴CD=CE=1.5米 ∴△DCE是等边三角形 ∴DE=CD=1.5米 连接DE，先计算出∠DCE=60°，结合梯子长度不变得出CD=CE。判定△DCE是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得到DE=CD=1.5米，从而求出D、E两点间距离。 1.5 变式训练 将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知α=60°．点B，C对应的刻度分别为1cm，3cm，则线段AC的长为______cm 解：∵直尺的两边平行， ∴∠ACB=∠α=60°，∵含30°角的直角三角尺， ∴∠A=60°，∴△ABC是等边三角形， ∵点B、C表示的刻度分别为1cm、3cm ∴BC=2cm，∴AC=BC=2cm ∴线段AC的长为2cm 根据平行线的性质得出∠ACB=60°，进而可得△ABC是等边三角形，根据等边三角的性质即可求解 2 9 返回 3． [2025绍兴月考]如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________． 中考考法 15 4． 返回 2 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝10，BC＝6，则BD的长为________． 中考考法 16 5． 返回 【证明】因为AD∥BC， 所以∠GFE＝∠FEC. 由折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC，所以∠FEG＝∠GFE. 所以GF＝GE.所以△EFG是等腰三角形． 一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，求证：△EFG是等腰三角形． 中考考法 17 6． 返回 2 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________ cm. 中考考法 18 7． 返回 【证明】因为AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，所以△BAE≌△ACD(SAS)． 所以∠ABE＝∠CAD.所以∠ABC＝∠BAC. 所以AC＝BC，又因为AB＝AC，所以AB＝AC＝BC. 所以△ABC为等边三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BA，CB的延长线上，连结AE，CD，且AE＝CD，∠BAE＝∠ACD.求证：△ABC是等边三角形． 中考考法 19 8． 返回 30°或75°或120° 在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝__________________时，△ABC是等腰三角形． 中考考法 20 9． 返回 C 如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处，则B处到灯塔C的距离是(　　) A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里 中考考法 21 10． 返回 A 中考考法 22 11． 返回 C 如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°.P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构成等腰三角形，则满足条件的点P有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 中考考法 12． 4 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝________． 中考考法 【点拨】 返回 中考考法 13． [2025杭州月考]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，延长ED，交CA的延长线于点F. (1)试判断△ADF的形状，并说明理由； 中考考法 【解】△ADF是等腰三角形．理由如下： 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 因为FE⊥BC， 所以∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°. 所以∠F＝∠BDE. 又因为∠BDE＝∠FDA，所以∠F＝∠FDA.所以AF＝AD. 所以△ADF是等腰三角形． 中考考法 (2)若AF＝BE＝4，∠F＝30°，则△ABC的周长为________． 36 中考考法 课堂小结 在证明题中，通过全等三角形（如AAS、ASA）或平行线性质（如内错角相等）间接证明两角相等，再应用判定定理。 识别常见模型（如“角平分线+平行线→等腰三角形”）。 综合应用与几何模型 核心内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即三角形为等腰三角形）。 符号表示：在△ABC中，若∠B = ∠C，则AB = AC。 关键点：判定定理与性质定理（等边对等角）互为逆命题，需注意区分使用条件。 判定定理：等角对等边 核心内容：通过图形的对称性判断等腰三角形。 垂直平分线：若某一边的垂直平分线经过对角顶点，则三角形为等腰。 角平分线+高/中线：若一个角的平分线与对边的高或中线重合，可推导出等腰三角形。 轴对称性判定 01 03 04 02 UTC 2025-07-25 06:45:02 Lavf58.76.100 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.下列结论：①∠A＝67.5°；②AE＝BF；③△DGF是等腰三角形；④S四边形ADGE＝S四边形GHCE.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠CAD＝∠BAD. 因为DE∥AC，所以∠CAD＝∠ADE.所以∠ADE＝∠BAD. 所以AE＝DE.因为BD⊥AD， 所以∠ADE＋∠BDE＝∠BAD＋∠ABD＝90°. 所以∠ABD＝∠BDE.所以DE＝BE. 所以DE＝BE＝AE.所以DE＝AB. 因为AB＝8，所以DE＝×8＝4. $