上海市洋泾中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

洋泾中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．设全集，集合，则________． 2．已知复数，其中为虚数单位，则________． 3．函数的定义域为________． 4．现有如下9个数据：20，24，6，15，18，10，42，57，2，则这批数据的第25百分位数为________． 5．在的二项展开式中，含项的系数为________．（结果用数值表示） 6．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 7．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 8．在各项为正数的等比数列中，，，则________． 9．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为________． 10．已知点是双曲线左支上一点，，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是________． 11．在中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是________． 12．对于函数，若关于的方程，恰有个实数根，则称函数为“”函数．①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有________个． 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13．设，是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）． A． B． C． D． 14．已知函数，下列说法中正确的是（ ）． A．函数的图像关于点中心对称； B．函数的图像关于直线对称； C．函数的图像可由的图像向右平移个单位得到； D．方程在上有两个不相等的实数根． 15．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 16．已知函数的定义域为，集合．若函数使得，则（ ）． A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值 C．可能是增函数 D．可能在处取极小值 三、解答题（14+14+14+18+18） 17（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知． （1）若函数的图象过点，解不等式； （2）存在实数使得、、成等差数列，求的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） “堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且． （1）当米时，求的长； （2）当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”． （1）若，请直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的“-距离”不小于1，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增，若对任意，都有且直线与的“距离”相等，证明：是偶函数． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．在中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】取，连接，如图所示， 则, 设，则三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设，则， 故-9，故当时，可得的最小值是-9. 故答案为：-9． 二、选择题 13.C 14.D 15.D 16.B 15．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】D 【解析】A项，掷两颗骰子，观察掷得的点数，两个点数除了都是偶数或奇数外，还可以是一奇一偶，∴与不是对立事件； 项，的事件为＂两个点数之和是偶数且两个点数的乘积是偶数＂， 即＂两个点数都是偶数＂，∴和是相等事件，B项错误； C项，事件和不可能同时发生，两者不是相互独立事件，C项错误； D项，是必然事件，的发生不影响的发生，反之亦然，与相互独立，项正确．故选． 16．已知函数的定义域为，集合．若函数使得，则（ ）． A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值 C．可能是增函数 D．可能在处取极小值 【答案】B 【解析】对于选项：若函数为奇函数，由题意存在，使得， 则，所以，所以，而，不合题意，故错； 对于选项：令满足题意，此时在处取最小值，故正确； 对于选项如果是增函数，则当时，存在， 使得，得出，不合题意，故错误； 对于选项：由题意，对于，若，则， 若在处取极小值，则对于任意，不合题意，故错误．故选：． 三、解答题 17.（1）证明略 （2） 18.（1） （2） 19.（1）米 （2）在弧中点位置时，的面积最大，最大值为平方米 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明：； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）直线恒过点． 【解析】（1） （2）证明：因为，设的方程为， 直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以 ， 因为， 所以， 同理得，因为，所以， 因为，所以，则； （3）证明：设直线的方程为， 因为直线过点，所以，① 设，直线的方程为， 因为直线过点，所以，② 直线的方程为， 联立①②，可得，所以， 此时直线的方程为即 则直线恒过点． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“-距离”． （1）若，请直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的“-距离”不小于1，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增，若对任意，都有且直线与的“距离”相等，证明：是偶函数． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】（1）的值域是，即对任意 若，当时，， 会存在使，不满足成立； 当时，，也会存在使，不满足条件，所以， 当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故， 则； （2）由题意，直线的距离为函数的最小值， 令，则，故当时函数严格递增，无最小值． 从而，且当时严格递减，当时严格递增． 因此直线的距离为． 令，则，同上可知当时最大， 从而,； （3）证明：对任意给定的， 记其中常数， 则由严格递增， 当时，严格递减；当时，严格递增， 故，即恒成立， 所以是直线的－距离． 于是且是直线的距离． 记，则恒成立， 于是，即，故． 由的任意性知，，故，即是偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 $