课时规范练66　概率与统计综合问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦概率统计综合应用，以实际情境为载体，系统覆盖统计图表分析、随机变量模型、回归预测及概率递推，突出知识逻辑与核心素养融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计图表与数字特征|1题|频率分布直方图求均值、方差比较|从数据整理到数字特征计算，体现用数学眼光观察现实世界| |随机变量与概率模型|2题|超几何分布、二项分布、期望计算|事件概率→分布列构建→期望方差分析，培养数学思维严谨性| |回归分析与预测|1题|线性回归方程建立与应用|数据关联→模型拟合→预测推断，强化数学语言表达能力| |比赛与递推概率|1题|三局两胜制、投篮概率递推|动态概率建模→递推关系构建，提升复杂情境问题解决能力|

课时规范练66　概率与统计综合问题 1.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的活动成果,该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试,记录他们的成绩,测试卷满分100分,将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图. (1)若全校学生参加同样的测试,试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替); (2)在样本中,从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人,用X表示其成绩在[90,100]中的人数,求X的分布列及数学期望; (3)在(2)抽取的3人中,用Y表示其成绩在[80,90)的人数,试判断方差D(X)与D(Y)的大小.(直接写结果) 2.某商家决定借助线上平台开展销售活动.现有甲、乙两个平台供选择,且当每件商品的售价为a(300≤a≤500)元时,从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下: 商品日销售量/件 6 7 8 9 10 甲平台的天数 14 26 26 24 10 乙平台的天数 10 25 35 20 10 假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等,且每天的销售量互不影响. (1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率,并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量,其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率; (2)已知甲平台的收费方案为:每天佣金60元,且每销售一件商品,平台收费30元;乙平台的收费方案为:每天不收取佣金,但采用分段收费,即每天销售商品不超过8件的部分,每件收费40元,超过8件的部分,每件收费35元.某商家决定在两个平台中选择一个长期合作,从日销售收入(单价×日销售量-平台费用)的期望值较大的角度,你认为该商家应如何决策?说明理由. 3.数据报告显示,2021~2025年期间,某公司旗下一款软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势,具体数据如下表. 年份 代码x 1 2 3 4 5 活跃用户 数y/亿 11.51 12.25 12.58 13.67 18.01 (1)根据上表的数据,可用函数模型x+拟合y与x的关系,请建立y关于x的经验回归方程(计算的值时精确到0.01),并预测2028年的活跃用户数; (2)公司规定,活跃用户数大于12.00(单位:亿)的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中,将活跃用户数低于13.00的视为良好,赋1分;将活跃用户数不低于13.00的视为优秀,赋2分.现从企业腾飞年中任取两年,用X表示赋分之和,求X的分布列和均值. (参考数据:≈13.60,xiyi=218.48,) 4.(2025广西第三中学二模)为丰富校园文化生活,学校举办了乒乓球比赛.决赛采用三局两胜制的比赛规则(先赢得2局的队伍获胜并结束比赛).已知甲、乙两队进入决赛,且根据以往比赛统计得知,在每局比赛中甲队获胜的概率为p(0<p<1),乙队获胜的概率为1-p,每局比赛的结果互不影响. (1)若p=,求乙队以2∶0获胜的概率; (2)若p=,比赛结束时甲队获胜的局数记为X,求X的期望; (3)若比赛打满3局的概率记为f(p),请直接写出f(p)的最大值及此时p的值,并解释此时的实际意义. 5.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 参考答案 1.解 (1)由直方图可得第二组的频率为1-0.06-0.18-0.32-0.20-0.10=0.14, 故全校学生的平均成绩为 45×0.06+55×0.14+65×0.18+75×0.32+85×0.20+95×0.10=72.6. (2)由题可知成绩在80分及以上的学生共有50×(0.20+0.10)=15人,其中[90,100]中的人数为5,所以X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=1. (3)D(X)=D(Y). 2.解(1)令事件A=“甲平台日销售量不低于8件”, 则P(A)=. 令事件B=“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量,其中至少有2天日销售量不低于8件”,则P(B)=×()2××()3=. (2)设甲平台的日销售收入为X,则X的所有可能取值为6a-240,7a-270,8a-300,9a-330,10a-360. 所以X的分布列为 X 6a-240 7a-270 8a-300 9a-330 10a-360 P 所以E(X)=(6a-240)×+(7a-270)×+(8a-300)×+(9a-330)×+(10a-360)×=7.9a-297. 设乙平台的日销售收入为Y,则Y的所有可能取值为6a-240,7a-280,8a-320,9a-355,10a-390. 所以Y的分布列为 Y 6a-240 7a-280 8a-320 9a-355 10a-390 P 所以E(Y)=(6a-240)×+(7a-280)×+(8a-320)×+(9a-355)×+(10a-390)×=7.95a-316. 所以E(Y)-E(X)=0.05a-19. 令0.05a-19≥0,得a≥380. 令0.05a-19<0,得a<380. 所以当300≤a<380时,选择甲平台; 当a=380时,选择甲、乙平台均可; 当380<a≤500时,选择乙平台. 3.解 (1)由表格计算可得,=3,-5=(1+4+9+16+25)-5×9=10. ∵≈13.60,xiyi=218.48,5≈204, ∴=1.448≈1.45. ∵()满足x+,即=13.60-1.45×3=9.25,∴y关于x的经验回归方程是=1.45x+9.25. 令x=8,得=1.45×8+9.25=20.85,所以2028年的活跃用户数约为20.85亿. (2)由表格可知,企业腾飞年有4个,其中计分为1分的年份有2个,计分为2分的年份有2个,所以X的可能取值有2,3,4, 则P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=, 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 所以均值为E(X)=2×+3×+4×=3. 4.解 (1)乙队以2∶0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为1-p,因此乙队以2∶0获胜的概率为 P(乙队2 ∶0获胜)=(1-p)2. 代入p=,得P(乙队2∶0获胜)=. (2)比赛结束时甲队获胜的局数X的可能取值为0,1,2. 计算各情况的概率如下. X=0:甲队一局未胜,即乙队以2∶0获胜,概率为P(X=0)=(1-p)2. X=1:甲队仅胜1局,乙队胜2局,可能的情况有两种(甲胜第1局或第2局),概率为P(X=1)=2p(1-p)2. X=2:甲队胜2局,可能的情况有两种(甲胜前2局或前2局胜1局),概率为P(X=2)=p2+2p2(1-p)=p2(3-2p). 因此,X的期望为E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2), 代入p=,得E(X)=0×+1×2×+2××(3-), 化简得E(X)=. (3)比赛打满3局的概率f(p)表示比赛进行到第3局才分出胜负. 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局,因此,f(p)=2p(1-p). 将f(p)视为关于p的函数,其最大值出现在p=处,最大值为 F()=2××(1-)=. 实际意义是当甲、乙两队实力相当时,比赛打满3局的概率最大. 5.解(1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”, 则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6. (2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi,由题意可知p1=, pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi. 则pi+1-pi+(pi-), 故数列{pi-}为公比为的等比数列. 故pi-=(p1-)×,得到pi=,i∈N*. (3)由(2)知,设随机变量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,则Xi服从两点分布. 由题可知,当n≥1时,E(Y)=pi=[1-]+,n∈N*. 综上所述,可知E(Y)=pi=[1-]+,n∈N*. 1 学科网（北京）股份有限公司 $